Theorem 2euswapdc 2128

Description: A condition allowing swap of uniqueness and existential quantifiers. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2euswapdc	⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜑 → (∃!𝑥∃𝑦𝜑 → ∃!𝑦∃𝑥𝜑)))

Proof of Theorem 2euswapdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		excomim 1673	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥∃𝑦𝜑 → ∃𝑦∃𝑥𝜑)
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜑) → (∃𝑥∃𝑦𝜑 → ∃𝑦∃𝑥𝜑))
3		2moswapdc 2127	. . . . 5 ⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜑 → (∃*𝑥∃𝑦𝜑 → ∃*𝑦∃𝑥𝜑)))
4	3	imp 124	. . . 4 ⊢ ((DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜑) → (∃*𝑥∃𝑦𝜑 → ∃*𝑦∃𝑥𝜑))
5	2, 4	anim12d 335	. . 3 ⊢ ((DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜑) → ((∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥∃𝑦𝜑) → (∃𝑦∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑)))
6		eu5 2084	. . 3 ⊢ (∃!𝑥∃𝑦𝜑 ↔ (∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥∃𝑦𝜑))
7		eu5 2084	. . 3 ⊢ (∃!𝑦∃𝑥𝜑 ↔ (∃𝑦∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑))
8	5, 6, 7	3imtr4g 205	. 2 ⊢ ((DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜑) → (∃!𝑥∃𝑦𝜑 → ∃!𝑦∃𝑥𝜑))
9	8	ex 115	1 ⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜑 → (∃!𝑥∃𝑦𝜑 → ∃!𝑦∃𝑥𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 835  ∀wal 1361  ∃wex 1502  ∃!weu 2037  ∃*wmo 2038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041

This theorem is referenced by:  euxfr2dc  2936  2reuswapdc  2955