Theorem 2euswapdc 2039

Description: A condition allowing swap of uniqueness and existential quantifiers. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2euswapdc	⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜑 → (∃!𝑥∃𝑦𝜑 → ∃!𝑦∃𝑥𝜑)))

Proof of Theorem 2euswapdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		excomim 1598	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥∃𝑦𝜑 → ∃𝑦∃𝑥𝜑)
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜑) → (∃𝑥∃𝑦𝜑 → ∃𝑦∃𝑥𝜑))
3		2moswapdc 2038	. . . . 5 ⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜑 → (∃*𝑥∃𝑦𝜑 → ∃*𝑦∃𝑥𝜑)))
4	3	imp 122	. . . 4 ⊢ ((DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜑) → (∃*𝑥∃𝑦𝜑 → ∃*𝑦∃𝑥𝜑))
5	2, 4	anim12d 328	. . 3 ⊢ ((DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜑) → ((∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥∃𝑦𝜑) → (∃𝑦∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑)))
6		eu5 1995	. . 3 ⊢ (∃!𝑥∃𝑦𝜑 ↔ (∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥∃𝑦𝜑))
7		eu5 1995	. . 3 ⊢ (∃!𝑦∃𝑥𝜑 ↔ (∃𝑦∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑))
8	5, 6, 7	3imtr4g 203	. 2 ⊢ ((DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜑) → (∃!𝑥∃𝑦𝜑 → ∃!𝑦∃𝑥𝜑))
9	8	ex 113	1 ⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜑 → (∃!𝑥∃𝑦𝜑 → ∃!𝑦∃𝑥𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102  DECID wdc 780  ∀wal 1287  ∃wex 1426  ∃!weu 1948  ∃*wmo 1949

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952

This theorem is referenced by:  euxfr2dc  2800  2reuswapdc  2819