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Theorem 2reuswapdc 2977
Description: A condition allowing swap of uniqueness and existential quantifiers. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2017.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reuswapdc |- (DECID E. x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( A. x e. A E* y e. B ph -> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y e. B E. x e. A ph ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, A   x, B
Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( y)
Proof of Theorem 2reuswapdc
StepHypRef Expression
1 df-rmo 2492 . . 3 |- ( E* y e. B ph <-> E* y ( y e. B /\ ph ) )
21ralbii 2512 . 2 |- ( A. x e. A E* y e. B ph <-> A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) )
3 df-ral 2489 . . . 4 |- ( A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) <-> A. x ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) )
4 moanimv 2129 . . . . 5 |- ( E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) )
54albii 1493 . . . 4 |- ( A. x E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> A. x ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) )
63, 5bitr4i 187 . . 3 |- ( A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) <-> A. x E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
7 df-reu 2491 . . . . . 6 |- ( E! x e. A E. y e. B ph <-> E! x ( x e. A /\ E. y e. B ph ) )
8 r19.42v 2663 . . . . . . . . 9 |- ( E. y e. B ( x e. A /\ ph ) <-> ( x e. A /\ E. y e. B ph ) )
9 df-rex 2490 . . . . . . . . 9 |- ( E. y e. B ( x e. A /\ ph ) <-> E. y ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
108, 9bitr3i 186 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ E. y e. B ph ) <-> E. y ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
11 an12 561 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
1211exbii 1628 . . . . . . . 8 |- ( E. y ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) <-> E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
1310, 12bitri 184 . . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ E. y e. B ph ) <-> E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
1413eubii 2063 . . . . . 6 |- ( E! x ( x e. A /\ E. y e. B ph ) <-> E! x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
157, 14bitri 184 . . . . 5 |- ( E! x e. A E. y e. B ph <-> E! x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
16 2euswapdc 2145 . . . . 5 |- (DECID E. x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( A. x E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( E! x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> E! y E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) ) ) )
1715, 16syl7bi 165 . . . 4 |- (DECID E. x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( A. x E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) ) ) )
18 df-reu 2491 . . . . . 6 |- ( E! y e. B E. x e. A ph <-> E! y ( y e. B /\ E. x e. A ph ) )
19 r19.42v 2663 . . . . . . . 8 |- ( E. x e. A ( y e. B /\ ph ) <-> ( y e. B /\ E. x e. A ph ) )
20 df-rex 2490 . . . . . . . 8 |- ( E. x e. A ( y e. B /\ ph ) <-> E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
2119, 20bitr3i 186 . . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ E. x e. A ph ) <-> E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
2221eubii 2063 . . . . . 6 |- ( E! y ( y e. B /\ E. x e. A ph ) <-> E! y E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
2318, 22bitri 184 . . . . 5 |- ( E! y e. B E. x e. A ph <-> E! y E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
2423imbi2i 226 . . . 4 |- ( ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y e. B E. x e. A ph ) <-> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) ) )
2517, 24imbitrrdi 162 . . 3 |- (DECID E. x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( A. x E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y e. B E. x e. A ph ) ) )
266, 25biimtrid 152 . 2 |- (DECID E. x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) -> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y e. B E. x e. A ph ) ) )
272, 26biimtrid 152 1 |- (DECID E. x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( A. x e. A E* y e. B ph -> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y e. B E. x e. A ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 836   A.wal 1371   E.wex 1515   E!weu 2054   E*wmo 2055   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   E!wreu 2486   E*wrmo 2487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492
This theorem is referenced by: (None)
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