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Theorem 2exeu 2130
Description: Double existential uniqueness implies double unique existential quantification. (Contributed by NM, 3-Dec-2001.)
Assertion
Ref Expression
2exeu  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  ->  E! x E! y ph )

Proof of Theorem 2exeu
StepHypRef Expression
1 excom 1675 . . . . 5  |-  ( E. y E. x ph  <->  E. x E. y ph )
2 hbe1 1506 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ph  ->  A. x E. x ph )
32hbmo 2077 . . . . . . 7  |-  ( E* y E. x ph  ->  A. x E* y E. x ph )
4319.41h 1696 . . . . . 6  |-  ( E. x ( E. y ph  /\  E* y E. x ph )  <->  ( E. x E. y ph  /\  E* y E. x ph ) )
5 19.8a 1601 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. x ph )
65moimi 2103 . . . . . . . 8  |-  ( E* y E. x ph  ->  E* y ph )
76anim2i 342 . . . . . . 7  |-  ( ( E. y ph  /\  E* y E. x ph )  ->  ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
87eximi 1611 . . . . . 6  |-  ( E. x ( E. y ph  /\  E* y E. x ph )  ->  E. x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
94, 8sylbir 135 . . . . 5  |-  ( ( E. x E. y ph  /\  E* y E. x ph )  ->  E. x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
101, 9sylanb 284 . . . 4  |-  ( ( E. y E. x ph  /\  E* y E. x ph )  ->  E. x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
11 simpl 109 . . . . . 6  |-  ( ( E. y ph  /\  E* y ph )  ->  E. y ph )
1211moimi 2103 . . . . 5  |-  ( E* x E. y ph  ->  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
1312adantl 277 . . . 4  |-  ( ( E. x E. y ph  /\  E* x E. y ph )  ->  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
1410, 13anim12i 338 . . 3  |-  ( ( ( E. y E. x ph  /\  E* y E. x ph )  /\  ( E. x E. y ph  /\  E* x E. y ph ) )  ->  ( E. x
( E. y ph  /\ 
E* y ph )  /\  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) ) )
1514ancoms 268 . 2  |-  ( ( ( E. x E. y ph  /\  E* x E. y ph )  /\  ( E. y E. x ph  /\  E* y E. x ph ) )  ->  ( E. x
( E. y ph  /\ 
E* y ph )  /\  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) ) )
16 eu5 2085 . . 3  |-  ( E! x E. y ph  <->  ( E. x E. y ph  /\  E* x E. y ph ) )
17 eu5 2085 . . 3  |-  ( E! y E. x ph  <->  ( E. y E. x ph  /\  E* y E. x ph ) )
1816, 17anbi12i 460 . 2  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  <->  ( ( E. x E. y ph  /\ 
E* x E. y ph )  /\  ( E. y E. x ph  /\ 
E* y E. x ph ) ) )
19 eu5 2085 . . 3  |-  ( E! x E! y ph  <->  ( E. x E! y
ph  /\  E* x E! y ph ) )
20 eu5 2085 . . . . 5  |-  ( E! y ph  <->  ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
2120exbii 1616 . . . 4  |-  ( E. x E! y ph  <->  E. x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
2220mobii 2075 . . . 4  |-  ( E* x E! y ph  <->  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
2321, 22anbi12i 460 . . 3  |-  ( ( E. x E! y
ph  /\  E* x E! y ph )  <->  ( E. x ( E. y ph  /\  E* y ph )  /\  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) ) )
2419, 23bitri 184 . 2  |-  ( E! x E! y ph  <->  ( E. x ( E. y ph  /\  E* y ph )  /\  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) ) )
2515, 18, 243imtr4i 201 1  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  ->  E! x E! y ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104   E.wex 1503   E!weu 2038   E*wmo 2039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042
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