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Theorem 2exeu 2089
Description: Double existential uniqueness implies double unique existential quantification. (Contributed by NM, 3-Dec-2001.)
Assertion
Ref Expression
2exeu  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  ->  E! x E! y ph )

Proof of Theorem 2exeu
StepHypRef Expression
1 excom 1642 . . . . 5  |-  ( E. y E. x ph  <->  E. x E. y ph )
2 hbe1 1471 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ph  ->  A. x E. x ph )
32hbmo 2036 . . . . . . 7  |-  ( E* y E. x ph  ->  A. x E* y E. x ph )
4319.41h 1663 . . . . . 6  |-  ( E. x ( E. y ph  /\  E* y E. x ph )  <->  ( E. x E. y ph  /\  E* y E. x ph ) )
5 19.8a 1569 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. x ph )
65moimi 2062 . . . . . . . 8  |-  ( E* y E. x ph  ->  E* y ph )
76anim2i 339 . . . . . . 7  |-  ( ( E. y ph  /\  E* y E. x ph )  ->  ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
87eximi 1579 . . . . . 6  |-  ( E. x ( E. y ph  /\  E* y E. x ph )  ->  E. x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
94, 8sylbir 134 . . . . 5  |-  ( ( E. x E. y ph  /\  E* y E. x ph )  ->  E. x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
101, 9sylanb 282 . . . 4  |-  ( ( E. y E. x ph  /\  E* y E. x ph )  ->  E. x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
11 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( E. y ph  /\  E* y ph )  ->  E. y ph )
1211moimi 2062 . . . . 5  |-  ( E* x E. y ph  ->  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
1312adantl 275 . . . 4  |-  ( ( E. x E. y ph  /\  E* x E. y ph )  ->  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
1410, 13anim12i 336 . . 3  |-  ( ( ( E. y E. x ph  /\  E* y E. x ph )  /\  ( E. x E. y ph  /\  E* x E. y ph ) )  ->  ( E. x
( E. y ph  /\ 
E* y ph )  /\  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) ) )
1514ancoms 266 . 2  |-  ( ( ( E. x E. y ph  /\  E* x E. y ph )  /\  ( E. y E. x ph  /\  E* y E. x ph ) )  ->  ( E. x
( E. y ph  /\ 
E* y ph )  /\  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) ) )
16 eu5 2044 . . 3  |-  ( E! x E. y ph  <->  ( E. x E. y ph  /\  E* x E. y ph ) )
17 eu5 2044 . . 3  |-  ( E! y E. x ph  <->  ( E. y E. x ph  /\  E* y E. x ph ) )
1816, 17anbi12i 455 . 2  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  <->  ( ( E. x E. y ph  /\ 
E* x E. y ph )  /\  ( E. y E. x ph  /\ 
E* y E. x ph ) ) )
19 eu5 2044 . . 3  |-  ( E! x E! y ph  <->  ( E. x E! y
ph  /\  E* x E! y ph ) )
20 eu5 2044 . . . . 5  |-  ( E! y ph  <->  ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
2120exbii 1584 . . . 4  |-  ( E. x E! y ph  <->  E. x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
2220mobii 2034 . . . 4  |-  ( E* x E! y ph  <->  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
2321, 22anbi12i 455 . . 3  |-  ( ( E. x E! y
ph  /\  E* x E! y ph )  <->  ( E. x ( E. y ph  /\  E* y ph )  /\  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) ) )
2419, 23bitri 183 . 2  |-  ( E! x E! y ph  <->  ( E. x ( E. y ph  /\  E* y ph )  /\  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) ) )
2515, 18, 243imtr4i 200 1  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  ->  E! x E! y ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   E.wex 1468   E!weu 1997   E*wmo 1998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001
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