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Theorem 2exeu 2040
Description: Double existential uniqueness implies double unique existential quantification. (Contributed by NM, 3-Dec-2001.)
Assertion
Ref Expression
2exeu  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  ->  E! x E! y ph )

Proof of Theorem 2exeu
StepHypRef Expression
1 excom 1599 . . . . 5  |-  ( E. y E. x ph  <->  E. x E. y ph )
2 hbe1 1429 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ph  ->  A. x E. x ph )
32hbmo 1987 . . . . . . 7  |-  ( E* y E. x ph  ->  A. x E* y E. x ph )
4319.41h 1620 . . . . . 6  |-  ( E. x ( E. y ph  /\  E* y E. x ph )  <->  ( E. x E. y ph  /\  E* y E. x ph ) )
5 19.8a 1527 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. x ph )
65moimi 2013 . . . . . . . 8  |-  ( E* y E. x ph  ->  E* y ph )
76anim2i 334 . . . . . . 7  |-  ( ( E. y ph  /\  E* y E. x ph )  ->  ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
87eximi 1536 . . . . . 6  |-  ( E. x ( E. y ph  /\  E* y E. x ph )  ->  E. x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
94, 8sylbir 133 . . . . 5  |-  ( ( E. x E. y ph  /\  E* y E. x ph )  ->  E. x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
101, 9sylanb 278 . . . 4  |-  ( ( E. y E. x ph  /\  E* y E. x ph )  ->  E. x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
11 simpl 107 . . . . . 6  |-  ( ( E. y ph  /\  E* y ph )  ->  E. y ph )
1211moimi 2013 . . . . 5  |-  ( E* x E. y ph  ->  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
1312adantl 271 . . . 4  |-  ( ( E. x E. y ph  /\  E* x E. y ph )  ->  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
1410, 13anim12i 331 . . 3  |-  ( ( ( E. y E. x ph  /\  E* y E. x ph )  /\  ( E. x E. y ph  /\  E* x E. y ph ) )  ->  ( E. x
( E. y ph  /\ 
E* y ph )  /\  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) ) )
1514ancoms 264 . 2  |-  ( ( ( E. x E. y ph  /\  E* x E. y ph )  /\  ( E. y E. x ph  /\  E* y E. x ph ) )  ->  ( E. x
( E. y ph  /\ 
E* y ph )  /\  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) ) )
16 eu5 1995 . . 3  |-  ( E! x E. y ph  <->  ( E. x E. y ph  /\  E* x E. y ph ) )
17 eu5 1995 . . 3  |-  ( E! y E. x ph  <->  ( E. y E. x ph  /\  E* y E. x ph ) )
1816, 17anbi12i 448 . 2  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  <->  ( ( E. x E. y ph  /\ 
E* x E. y ph )  /\  ( E. y E. x ph  /\ 
E* y E. x ph ) ) )
19 eu5 1995 . . 3  |-  ( E! x E! y ph  <->  ( E. x E! y
ph  /\  E* x E! y ph ) )
20 eu5 1995 . . . . 5  |-  ( E! y ph  <->  ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
2120exbii 1541 . . . 4  |-  ( E. x E! y ph  <->  E. x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
2220mobii 1985 . . . 4  |-  ( E* x E! y ph  <->  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
2321, 22anbi12i 448 . . 3  |-  ( ( E. x E! y
ph  /\  E* x E! y ph )  <->  ( E. x ( E. y ph  /\  E* y ph )  /\  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) ) )
2419, 23bitri 182 . 2  |-  ( E! x E! y ph  <->  ( E. x ( E. y ph  /\  E* y ph )  /\  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) ) )
2515, 18, 243imtr4i 199 1  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  ->  E! x E! y ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102   E.wex 1426   E!weu 1948   E*wmo 1949
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952
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