Theorem cgsex4g 2800

Description: An implicit substitution inference for 4 general classes. (Contributed by NM, 5-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgsex4g.1	|- ( ( ( x = A /\ y = B ) /\ ( z = C /\ w = D ) ) -> ch )
cgsex4g.2	|- ( ch -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
cgsex4g	|- ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ ( C e. R /\ D e. S ) ) -> ( E. x E. y E. z E. w ( ch /\ ph ) <-> ps ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, A   x, B, y, z, w   x, C, y, z, w   x, D, y, z, w   ps, x, y, z, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   ch( x, y, z, w)   R( x, y, z, w)   S( x, y, z, w)

Proof of Theorem cgsex4g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgsex4g.2	. . . . 5 |- ( ch -> ( ph <-> ps ) )
2	1	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ch /\ ph ) -> ps )
3	2	exlimivv 1911	. . 3 |- ( E. z E. w ( ch /\ ph ) -> ps )
4	3	exlimivv 1911	. 2 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ch /\ ph ) -> ps )
5		elisset 2777	. . . . . . . 8 |- ( A e. R -> E. x x = A )
6		elisset 2777	. . . . . . . 8 |- ( B e. S -> E. y y = B )
7	5, 6	anim12i 338	. . . . . . 7 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( E. x x = A /\ E. y y = B ) )
8		eeanv 1951	. . . . . . 7 |- ( E. x E. y ( x = A /\ y = B ) <-> ( E. x x = A /\ E. y y = B ) )
9	7, 8	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> E. x E. y ( x = A /\ y = B ) )
10		elisset 2777	. . . . . . . 8 |- ( C e. R -> E. z z = C )
11		elisset 2777	. . . . . . . 8 |- ( D e. S -> E. w w = D )
12	10, 11	anim12i 338	. . . . . . 7 |- ( ( C e. R /\ D e. S ) -> ( E. z z = C /\ E. w w = D ) )
13		eeanv 1951	. . . . . . 7 |- ( E. z E. w ( z = C /\ w = D ) <-> ( E. z z = C /\ E. w w = D ) )
14	12, 13	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( C e. R /\ D e. S ) -> E. z E. w ( z = C /\ w = D ) )
15	9, 14	anim12i 338	. . . . 5 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ ( C e. R /\ D e. S ) ) -> ( E. x E. y ( x = A /\ y = B ) /\ E. z E. w ( z = C /\ w = D ) ) )
16		ee4anv 1953	. . . . 5 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( x = A /\ y = B ) /\ ( z = C /\ w = D ) ) <-> ( E. x E. y ( x = A /\ y = B ) /\ E. z E. w ( z = C /\ w = D ) ) )
17	15, 16	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ ( C e. R /\ D e. S ) ) -> E. x E. y E. z E. w ( ( x = A /\ y = B ) /\ ( z = C /\ w = D ) ) )
18		cgsex4g.1	. . . . . 6 |- ( ( ( x = A /\ y = B ) /\ ( z = C /\ w = D ) ) -> ch )
19	18	2eximi 1615	. . . . 5 |- ( E. z E. w ( ( x = A /\ y = B ) /\ ( z = C /\ w = D ) ) -> E. z E. w ch )
20	19	2eximi 1615	. . . 4 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( x = A /\ y = B ) /\ ( z = C /\ w = D ) ) -> E. x E. y E. z E. w ch )
21	17, 20	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ ( C e. R /\ D e. S ) ) -> E. x E. y E. z E. w ch )
22	1	biimprcd 160	. . . . . 6 |- ( ps -> ( ch -> ph ) )
23	22	ancld 325	. . . . 5 |- ( ps -> ( ch -> ( ch /\ ph ) ) )
24	23	2eximdv 1896	. . . 4 |- ( ps -> ( E. z E. w ch -> E. z E. w ( ch /\ ph ) ) )
25	24	2eximdv 1896	. . 3 |- ( ps -> ( E. x E. y E. z E. w ch -> E. x E. y E. z E. w ( ch /\ ph ) ) )
26	21, 25	syl5com 29	. 2 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ ( C e. R /\ D e. S ) ) -> ( ps -> E. x E. y E. z E. w ( ch /\ ph ) ) )
27	4, 26	impbid2 143	1 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ ( C e. R /\ D e. S ) ) -> ( E. x E. y E. z E. w ( ch /\ ph ) <-> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-v 2765

This theorem is referenced by:  copsex4g  4280  brecop  6684