Theorem dcun 3535

Description: The union of two decidable classes is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
dcun.a	|- ( ph -> DECID k e. A )
dcun.b	|- ( ph -> DECID k e. B )

Assertion

Ref	Expression
dcun	|- ( ph -> DECID k e. ( A u. B ) )

Proof of Theorem dcun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun1 3304	. . . . 5 |- ( k e. A -> k e. ( A u. B ) )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. ( A u. B ) )
3	2	orcd 733	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( k e. ( A u. B ) \/ -. k e. ( A u. B ) ) )
4		df-dc 835	. . 3 |- (DECID k e. ( A u. B ) <-> ( k e. ( A u. B ) \/ -. k e. ( A u. B ) ) )
5	3, 4	sylibr 134	. 2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> DECID k e. ( A u. B ) )
6		elun2 3305	. . . . . 6 |- ( k e. B -> k e. ( A u. B ) )
7	6	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ k e. B ) -> k e. ( A u. B ) )
8	7	orcd 733	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ k e. B ) -> ( k e. ( A u. B ) \/ -. k e. ( A u. B ) ) )
9	8, 4	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ k e. B ) -> DECID k e. ( A u. B ) )
10		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> -. k e. A )
11		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> -. k e. B )
12		ioran 752	. . . . . . 7 |- ( -. ( k e. A \/ k e. B ) <-> ( -. k e. A /\ -. k e. B ) )
13	10, 11, 12	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> -. ( k e. A \/ k e. B ) )
14		elun 3278	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
15	13, 14	sylnibr 677	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> -. k e. ( A u. B ) )
16	15	olcd 734	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> ( k e. ( A u. B ) \/ -. k e. ( A u. B ) ) )
17	16, 4	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> DECID k e. ( A u. B ) )
18		dcun.b	. . . . 5 |- ( ph -> DECID k e. B )
19		exmiddc 836	. . . . 5 |- (DECID k e. B -> ( k e. B \/ -. k e. B ) )
20	18, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. B \/ -. k e. B ) )
21	20	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> ( k e. B \/ -. k e. B ) )
22	9, 17, 21	mpjaodan 798	. 2 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> DECID k e. ( A u. B ) )
23		dcun.a	. . 3 |- ( ph -> DECID k e. A )
24		exmiddc 836	. . 3 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
25	23, 24	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
26	5, 22, 25	mpjaodan 798	1 |- ( ph -> DECID k e. ( A u. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   e. wcel 2148   u. cun 3129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144

This theorem is referenced by:  sumsplitdc  11442