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Theorem dcun 3390
Description: The union of two decidable classes is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
dcun.a  |-  ( ph  -> DECID  k  e.  A )
dcun.b  |-  ( ph  -> DECID  k  e.  B )
Assertion
Ref Expression
dcun  |-  ( ph  -> DECID  k  e.  ( A  u.  B ) )

Proof of Theorem dcun
StepHypRef Expression
1 elun1 3167 . . . . 5  |-  ( k  e.  A  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
21adantl 271 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
32orcd 687 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
k  e.  ( A  u.  B )  \/ 
-.  k  e.  ( A  u.  B ) ) )
4 df-dc 781 . . 3  |-  (DECID  k  e.  ( A  u.  B
)  <->  ( k  e.  ( A  u.  B
)  \/  -.  k  e.  ( A  u.  B
) ) )
53, 4sylibr 132 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  -> DECID  k  e.  ( A  u.  B )
)
6 elun2 3168 . . . . . 6  |-  ( k  e.  B  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
76adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  k  e.  B
)  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
87orcd 687 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  k  e.  B
)  ->  ( k  e.  ( A  u.  B
)  \/  -.  k  e.  ( A  u.  B
) ) )
98, 4sylibr 132 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  k  e.  B
)  -> DECID  k  e.  ( A  u.  B )
)
10 simplr 497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  -.  k  e.  B
)  ->  -.  k  e.  A )
11 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  -.  k  e.  B
)  ->  -.  k  e.  B )
12 ioran 704 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( k  e.  A  \/  k  e.  B
)  <->  ( -.  k  e.  A  /\  -.  k  e.  B ) )
1310, 11, 12sylanbrc 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  -.  k  e.  B
)  ->  -.  (
k  e.  A  \/  k  e.  B )
)
14 elun 3141 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )
1513, 14sylnibr 637 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  -.  k  e.  B
)  ->  -.  k  e.  ( A  u.  B
) )
1615olcd 688 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  -.  k  e.  B
)  ->  ( k  e.  ( A  u.  B
)  \/  -.  k  e.  ( A  u.  B
) ) )
1716, 4sylibr 132 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  -.  k  e.  B
)  -> DECID  k  e.  ( A  u.  B )
)
18 dcun.b . . . . 5  |-  ( ph  -> DECID  k  e.  B )
19 exmiddc 782 . . . . 5  |-  (DECID  k  e.  B  ->  ( k  e.  B  \/  -.  k  e.  B )
)
2018, 19syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  \/  -.  k  e.  B
) )
2120adantr 270 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  (
k  e.  B  \/  -.  k  e.  B
) )
229, 17, 21mpjaodan 747 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  -> DECID  k  e.  ( A  u.  B )
)
23 dcun.a . . 3  |-  ( ph  -> DECID  k  e.  A )
24 exmiddc 782 . . 3  |-  (DECID  k  e.  A  ->  ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A )
)
2523, 24syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A
) )
265, 22, 25mpjaodan 747 1  |-  ( ph  -> DECID  k  e.  ( A  u.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664  DECID wdc 780    e. wcel 1438    u. cun 2997
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012
This theorem is referenced by:  sumsplitdc  10813
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