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Theorem dcun 3443
Description: The union of two decidable classes is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
dcun.a  |-  ( ph  -> DECID  k  e.  A )
dcun.b  |-  ( ph  -> DECID  k  e.  B )
Assertion
Ref Expression
dcun  |-  ( ph  -> DECID  k  e.  ( A  u.  B ) )

Proof of Theorem dcun
StepHypRef Expression
1 elun1 3213 . . . . 5  |-  ( k  e.  A  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
21adantl 275 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
32orcd 707 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
k  e.  ( A  u.  B )  \/ 
-.  k  e.  ( A  u.  B ) ) )
4 df-dc 805 . . 3  |-  (DECID  k  e.  ( A  u.  B
)  <->  ( k  e.  ( A  u.  B
)  \/  -.  k  e.  ( A  u.  B
) ) )
53, 4sylibr 133 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  -> DECID  k  e.  ( A  u.  B )
)
6 elun2 3214 . . . . . 6  |-  ( k  e.  B  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
76adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  k  e.  B
)  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
87orcd 707 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  k  e.  B
)  ->  ( k  e.  ( A  u.  B
)  \/  -.  k  e.  ( A  u.  B
) ) )
98, 4sylibr 133 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  k  e.  B
)  -> DECID  k  e.  ( A  u.  B )
)
10 simplr 504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  -.  k  e.  B
)  ->  -.  k  e.  A )
11 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  -.  k  e.  B
)  ->  -.  k  e.  B )
12 ioran 726 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( k  e.  A  \/  k  e.  B
)  <->  ( -.  k  e.  A  /\  -.  k  e.  B ) )
1310, 11, 12sylanbrc 413 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  -.  k  e.  B
)  ->  -.  (
k  e.  A  \/  k  e.  B )
)
14 elun 3187 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )
1513, 14sylnibr 651 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  -.  k  e.  B
)  ->  -.  k  e.  ( A  u.  B
) )
1615olcd 708 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  -.  k  e.  B
)  ->  ( k  e.  ( A  u.  B
)  \/  -.  k  e.  ( A  u.  B
) ) )
1716, 4sylibr 133 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  -.  k  e.  B
)  -> DECID  k  e.  ( A  u.  B )
)
18 dcun.b . . . . 5  |-  ( ph  -> DECID  k  e.  B )
19 exmiddc 806 . . . . 5  |-  (DECID  k  e.  B  ->  ( k  e.  B  \/  -.  k  e.  B )
)
2018, 19syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  \/  -.  k  e.  B
) )
2120adantr 274 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  (
k  e.  B  \/  -.  k  e.  B
) )
229, 17, 21mpjaodan 772 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  -> DECID  k  e.  ( A  u.  B )
)
23 dcun.a . . 3  |-  ( ph  -> DECID  k  e.  A )
24 exmiddc 806 . . 3  |-  (DECID  k  e.  A  ->  ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A )
)
2523, 24syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A
) )
265, 22, 25mpjaodan 772 1  |-  ( ph  -> DECID  k  e.  ( A  u.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 682  DECID wdc 804    e. wcel 1465    u. cun 3039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054
This theorem is referenced by:  sumsplitdc  11156
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