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Theorem dcun 3533
Description: The union of two decidable classes is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
dcun.a  |-  ( ph  -> DECID  k  e.  A )
dcun.b  |-  ( ph  -> DECID  k  e.  B )
Assertion
Ref Expression
dcun  |-  ( ph  -> DECID  k  e.  ( A  u.  B ) )

Proof of Theorem dcun
StepHypRef Expression
1 elun1 3302 . . . . 5  |-  ( k  e.  A  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
21adantl 277 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
32orcd 733 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
k  e.  ( A  u.  B )  \/ 
-.  k  e.  ( A  u.  B ) ) )
4 df-dc 835 . . 3  |-  (DECID  k  e.  ( A  u.  B
)  <->  ( k  e.  ( A  u.  B
)  \/  -.  k  e.  ( A  u.  B
) ) )
53, 4sylibr 134 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  -> DECID  k  e.  ( A  u.  B )
)
6 elun2 3303 . . . . . 6  |-  ( k  e.  B  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
76adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  k  e.  B
)  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
87orcd 733 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  k  e.  B
)  ->  ( k  e.  ( A  u.  B
)  \/  -.  k  e.  ( A  u.  B
) ) )
98, 4sylibr 134 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  k  e.  B
)  -> DECID  k  e.  ( A  u.  B )
)
10 simplr 528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  -.  k  e.  B
)  ->  -.  k  e.  A )
11 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  -.  k  e.  B
)  ->  -.  k  e.  B )
12 ioran 752 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( k  e.  A  \/  k  e.  B
)  <->  ( -.  k  e.  A  /\  -.  k  e.  B ) )
1310, 11, 12sylanbrc 417 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  -.  k  e.  B
)  ->  -.  (
k  e.  A  \/  k  e.  B )
)
14 elun 3276 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )
1513, 14sylnibr 677 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  -.  k  e.  B
)  ->  -.  k  e.  ( A  u.  B
) )
1615olcd 734 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  -.  k  e.  B
)  ->  ( k  e.  ( A  u.  B
)  \/  -.  k  e.  ( A  u.  B
) ) )
1716, 4sylibr 134 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  k  e.  A )  /\  -.  k  e.  B
)  -> DECID  k  e.  ( A  u.  B )
)
18 dcun.b . . . . 5  |-  ( ph  -> DECID  k  e.  B )
19 exmiddc 836 . . . . 5  |-  (DECID  k  e.  B  ->  ( k  e.  B  \/  -.  k  e.  B )
)
2018, 19syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  \/  -.  k  e.  B
) )
2120adantr 276 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  (
k  e.  B  \/  -.  k  e.  B
) )
229, 17, 21mpjaodan 798 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  -> DECID  k  e.  ( A  u.  B )
)
23 dcun.a . . 3  |-  ( ph  -> DECID  k  e.  A )
24 exmiddc 836 . . 3  |-  (DECID  k  e.  A  ->  ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A )
)
2523, 24syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A
) )
265, 22, 25mpjaodan 798 1  |-  ( ph  -> DECID  k  e.  ( A  u.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 708  DECID wdc 834    e. wcel 2148    u. cun 3127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142
This theorem is referenced by:  sumsplitdc  11435
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