Theorem dcun 3604

Description: The union of two decidable classes is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Oct-2022.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dcun.a	|- ( ph -> DECID C e. A )
dcun.b	|- ( ph -> DECID C e. B )

Assertion

Ref	Expression
dcun	|- ( ph -> DECID C e. ( A u. B ) )

Proof of Theorem dcun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun1 3374	. . . . 5 |- ( C e. A -> C e. ( A u. B ) )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. A ) -> C e. ( A u. B ) )
3	2	orcd 740	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. A ) -> ( C e. ( A u. B ) \/ -. C e. ( A u. B ) ) )
4		df-dc 842	. . 3 |- (DECID C e. ( A u. B ) <-> ( C e. ( A u. B ) \/ -. C e. ( A u. B ) ) )
5	3, 4	sylibr 134	. 2 |- ( ( ph /\ C e. A ) -> DECID C e. ( A u. B ) )
6		elun2 3375	. . . . . 6 |- ( C e. B -> C e. ( A u. B ) )
7	6	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. C e. A ) /\ C e. B ) -> C e. ( A u. B ) )
8	7	orcd 740	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. C e. A ) /\ C e. B ) -> ( C e. ( A u. B ) \/ -. C e. ( A u. B ) ) )
9	8, 4	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. C e. A ) /\ C e. B ) -> DECID C e. ( A u. B ) )
10		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. C e. A ) /\ -. C e. B ) -> -. C e. A )
11		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. C e. A ) /\ -. C e. B ) -> -. C e. B )
12		ioran 759	. . . . . . 7 |- ( -. ( C e. A \/ C e. B ) <-> ( -. C e. A /\ -. C e. B ) )
13	10, 11, 12	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. C e. A ) /\ -. C e. B ) -> -. ( C e. A \/ C e. B ) )
14		elun 3348	. . . . . 6 |- ( C e. ( A u. B ) <-> ( C e. A \/ C e. B ) )
15	13, 14	sylnibr 683	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. C e. A ) /\ -. C e. B ) -> -. C e. ( A u. B ) )
16	15	olcd 741	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. C e. A ) /\ -. C e. B ) -> ( C e. ( A u. B ) \/ -. C e. ( A u. B ) ) )
17	16, 4	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. C e. A ) /\ -. C e. B ) -> DECID C e. ( A u. B ) )
18		dcun.b	. . . . 5 |- ( ph -> DECID C e. B )
19		exmiddc 843	. . . . 5 |- (DECID C e. B -> ( C e. B \/ -. C e. B ) )
20	18, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( C e. B \/ -. C e. B ) )
21	20	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ -. C e. A ) -> ( C e. B \/ -. C e. B ) )
22	9, 17, 21	mpjaodan 805	. 2 |- ( ( ph /\ -. C e. A ) -> DECID C e. ( A u. B ) )
23		dcun.a	. . 3 |- ( ph -> DECID C e. A )
24		exmiddc 843	. . 3 |- (DECID C e. A -> ( C e. A \/ -. C e. A ) )
25	23, 24	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( C e. A \/ -. C e. A ) )
26	5, 22, 25	mpjaodan 805	1 |- ( ph -> DECID C e. ( A u. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715  DECID wdc 841   e. wcel 2202   u. cun 3198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  tpfidceq  7121  sumsplitdc  11992