Theorem dcun 3473

Description: The union of two decidable classes is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
dcun.a	|- ( ph -> DECID k e. A )
dcun.b	|- ( ph -> DECID k e. B )

Assertion

Ref	Expression
dcun	|- ( ph -> DECID k e. ( A u. B ) )

Proof of Theorem dcun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun1 3243	. . . . 5 |- ( k e. A -> k e. ( A u. B ) )
2	1	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. ( A u. B ) )
3	2	orcd 722	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( k e. ( A u. B ) \/ -. k e. ( A u. B ) ) )
4		df-dc 820	. . 3 |- (DECID k e. ( A u. B ) <-> ( k e. ( A u. B ) \/ -. k e. ( A u. B ) ) )
5	3, 4	sylibr 133	. 2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> DECID k e. ( A u. B ) )
6		elun2 3244	. . . . . 6 |- ( k e. B -> k e. ( A u. B ) )
7	6	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ k e. B ) -> k e. ( A u. B ) )
8	7	orcd 722	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ k e. B ) -> ( k e. ( A u. B ) \/ -. k e. ( A u. B ) ) )
9	8, 4	sylibr 133	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ k e. B ) -> DECID k e. ( A u. B ) )
10		simplr 519	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> -. k e. A )
11		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> -. k e. B )
12		ioran 741	. . . . . . 7 |- ( -. ( k e. A \/ k e. B ) <-> ( -. k e. A /\ -. k e. B ) )
13	10, 11, 12	sylanbrc 413	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> -. ( k e. A \/ k e. B ) )
14		elun 3217	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
15	13, 14	sylnibr 666	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> -. k e. ( A u. B ) )
16	15	olcd 723	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> ( k e. ( A u. B ) \/ -. k e. ( A u. B ) ) )
17	16, 4	sylibr 133	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> DECID k e. ( A u. B ) )
18		dcun.b	. . . . 5 |- ( ph -> DECID k e. B )
19		exmiddc 821	. . . . 5 |- (DECID k e. B -> ( k e. B \/ -. k e. B ) )
20	18, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. B \/ -. k e. B ) )
21	20	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> ( k e. B \/ -. k e. B ) )
22	9, 17, 21	mpjaodan 787	. 2 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> DECID k e. ( A u. B ) )
23		dcun.a	. . 3 |- ( ph -> DECID k e. A )
24		exmiddc 821	. . 3 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
25	23, 24	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
26	5, 22, 25	mpjaodan 787	1 |- ( ph -> DECID k e. ( A u. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697  DECID wdc 819   e. wcel 1480   u. cun 3069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084

This theorem is referenced by:  sumsplitdc  11201