Theorem dcun 3569

Description: The union of two decidable classes is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Oct-2022.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dcun.a	|- ( ph -> DECID C e. A )
dcun.b	|- ( ph -> DECID C e. B )

Assertion

Ref	Expression
dcun	|- ( ph -> DECID C e. ( A u. B ) )

Proof of Theorem dcun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun1 3339	. . . . 5 |- ( C e. A -> C e. ( A u. B ) )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. A ) -> C e. ( A u. B ) )
3	2	orcd 734	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. A ) -> ( C e. ( A u. B ) \/ -. C e. ( A u. B ) ) )
4		df-dc 836	. . 3 |- (DECID C e. ( A u. B ) <-> ( C e. ( A u. B ) \/ -. C e. ( A u. B ) ) )
5	3, 4	sylibr 134	. 2 |- ( ( ph /\ C e. A ) -> DECID C e. ( A u. B ) )
6		elun2 3340	. . . . . 6 |- ( C e. B -> C e. ( A u. B ) )
7	6	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. C e. A ) /\ C e. B ) -> C e. ( A u. B ) )
8	7	orcd 734	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. C e. A ) /\ C e. B ) -> ( C e. ( A u. B ) \/ -. C e. ( A u. B ) ) )
9	8, 4	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. C e. A ) /\ C e. B ) -> DECID C e. ( A u. B ) )
10		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. C e. A ) /\ -. C e. B ) -> -. C e. A )
11		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. C e. A ) /\ -. C e. B ) -> -. C e. B )
12		ioran 753	. . . . . . 7 |- ( -. ( C e. A \/ C e. B ) <-> ( -. C e. A /\ -. C e. B ) )
13	10, 11, 12	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. C e. A ) /\ -. C e. B ) -> -. ( C e. A \/ C e. B ) )
14		elun 3313	. . . . . 6 |- ( C e. ( A u. B ) <-> ( C e. A \/ C e. B ) )
15	13, 14	sylnibr 678	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. C e. A ) /\ -. C e. B ) -> -. C e. ( A u. B ) )
16	15	olcd 735	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. C e. A ) /\ -. C e. B ) -> ( C e. ( A u. B ) \/ -. C e. ( A u. B ) ) )
17	16, 4	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. C e. A ) /\ -. C e. B ) -> DECID C e. ( A u. B ) )
18		dcun.b	. . . . 5 |- ( ph -> DECID C e. B )
19		exmiddc 837	. . . . 5 |- (DECID C e. B -> ( C e. B \/ -. C e. B ) )
20	18, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( C e. B \/ -. C e. B ) )
21	20	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ -. C e. A ) -> ( C e. B \/ -. C e. B ) )
22	9, 17, 21	mpjaodan 799	. 2 |- ( ( ph /\ -. C e. A ) -> DECID C e. ( A u. B ) )
23		dcun.a	. . 3 |- ( ph -> DECID C e. A )
24		exmiddc 837	. . 3 |- (DECID C e. A -> ( C e. A \/ -. C e. A ) )
25	23, 24	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( C e. A \/ -. C e. A ) )
26	5, 22, 25	mpjaodan 799	1 |- ( ph -> DECID C e. ( A u. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   e. wcel 2175   u. cun 3163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178

This theorem is referenced by:  tpfidceq  7009  sumsplitdc  11662