Theorem dcun 3526

Description: The union of two decidable classes is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
dcun.a	|- ( ph -> DECID k e. A )
dcun.b	|- ( ph -> DECID k e. B )

Assertion

Ref	Expression
dcun	|- ( ph -> DECID k e. ( A u. B ) )

Proof of Theorem dcun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun1 3295	. . . . 5 |- ( k e. A -> k e. ( A u. B ) )
2	1	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. ( A u. B ) )
3	2	orcd 729	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( k e. ( A u. B ) \/ -. k e. ( A u. B ) ) )
4		df-dc 831	. . 3 |- (DECID k e. ( A u. B ) <-> ( k e. ( A u. B ) \/ -. k e. ( A u. B ) ) )
5	3, 4	sylibr 133	. 2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> DECID k e. ( A u. B ) )
6		elun2 3296	. . . . . 6 |- ( k e. B -> k e. ( A u. B ) )
7	6	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ k e. B ) -> k e. ( A u. B ) )
8	7	orcd 729	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ k e. B ) -> ( k e. ( A u. B ) \/ -. k e. ( A u. B ) ) )
9	8, 4	sylibr 133	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ k e. B ) -> DECID k e. ( A u. B ) )
10		simplr 526	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> -. k e. A )
11		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> -. k e. B )
12		ioran 748	. . . . . . 7 |- ( -. ( k e. A \/ k e. B ) <-> ( -. k e. A /\ -. k e. B ) )
13	10, 11, 12	sylanbrc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> -. ( k e. A \/ k e. B ) )
14		elun 3269	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
15	13, 14	sylnibr 673	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> -. k e. ( A u. B ) )
16	15	olcd 730	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> ( k e. ( A u. B ) \/ -. k e. ( A u. B ) ) )
17	16, 4	sylibr 133	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> DECID k e. ( A u. B ) )
18		dcun.b	. . . . 5 |- ( ph -> DECID k e. B )
19		exmiddc 832	. . . . 5 |- (DECID k e. B -> ( k e. B \/ -. k e. B ) )
20	18, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. B \/ -. k e. B ) )
21	20	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> ( k e. B \/ -. k e. B ) )
22	9, 17, 21	mpjaodan 794	. 2 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> DECID k e. ( A u. B ) )
23		dcun.a	. . 3 |- ( ph -> DECID k e. A )
24		exmiddc 832	. . 3 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
25	23, 24	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
26	5, 22, 25	mpjaodan 794	1 |- ( ph -> DECID k e. ( A u. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 704  DECID wdc 830   e. wcel 2142   u. cun 3120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-ext 2153

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 831  df-tru 1352  df-nf 1455  df-sb 1757  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-v 2733  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135

This theorem is referenced by:  sumsplitdc  11399