Theorem dcun 3504

Description: The union of two decidable classes is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
dcun.a	|- ( ph -> DECID k e. A )
dcun.b	|- ( ph -> DECID k e. B )

Assertion

Ref	Expression
dcun	|- ( ph -> DECID k e. ( A u. B ) )

Proof of Theorem dcun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun1 3274	. . . . 5 |- ( k e. A -> k e. ( A u. B ) )
2	1	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. ( A u. B ) )
3	2	orcd 723	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( k e. ( A u. B ) \/ -. k e. ( A u. B ) ) )
4		df-dc 821	. . 3 |- (DECID k e. ( A u. B ) <-> ( k e. ( A u. B ) \/ -. k e. ( A u. B ) ) )
5	3, 4	sylibr 133	. 2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> DECID k e. ( A u. B ) )
6		elun2 3275	. . . . . 6 |- ( k e. B -> k e. ( A u. B ) )
7	6	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ k e. B ) -> k e. ( A u. B ) )
8	7	orcd 723	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ k e. B ) -> ( k e. ( A u. B ) \/ -. k e. ( A u. B ) ) )
9	8, 4	sylibr 133	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ k e. B ) -> DECID k e. ( A u. B ) )
10		simplr 520	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> -. k e. A )
11		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> -. k e. B )
12		ioran 742	. . . . . . 7 |- ( -. ( k e. A \/ k e. B ) <-> ( -. k e. A /\ -. k e. B ) )
13	10, 11, 12	sylanbrc 414	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> -. ( k e. A \/ k e. B ) )
14		elun 3248	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
15	13, 14	sylnibr 667	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> -. k e. ( A u. B ) )
16	15	olcd 724	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> ( k e. ( A u. B ) \/ -. k e. ( A u. B ) ) )
17	16, 4	sylibr 133	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. k e. A ) /\ -. k e. B ) -> DECID k e. ( A u. B ) )
18		dcun.b	. . . . 5 |- ( ph -> DECID k e. B )
19		exmiddc 822	. . . . 5 |- (DECID k e. B -> ( k e. B \/ -. k e. B ) )
20	18, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. B \/ -. k e. B ) )
21	20	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> ( k e. B \/ -. k e. B ) )
22	9, 17, 21	mpjaodan 788	. 2 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> DECID k e. ( A u. B ) )
23		dcun.a	. . 3 |- ( ph -> DECID k e. A )
24		exmiddc 822	. . 3 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
25	23, 24	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
26	5, 22, 25	mpjaodan 788	1 |- ( ph -> DECID k e. ( A u. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 820   e. wcel 2128   u. cun 3100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115

This theorem is referenced by:  sumsplitdc  11322