Theorem sumsplitdc 12199

Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsplit.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
sumsplit.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
sumsplit.3	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
sumsplit.4	|- ( ph -> ( A u. B ) C_ Z )
sumsplitdc.a	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. A )
sumsplitdc.b	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. B )
sumsplit.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , C , 0 ) )
sumsplit.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
sumsplit.7	|- ( ( ph /\ k e. ( A u. B ) ) -> C e. CC )
sumsplit.8	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
sumsplit.9	|- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
sumsplitdc	|- ( ph -> sum_ k e. ( A u. B ) C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, F   k, G   k, M   ph, k   k, Z

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem sumsplitdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumsplit.4	. . 3 |- ( ph -> ( A u. B ) C_ Z )
2		sumsplitdc.a	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. A )
3		sumsplitdc.b	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. B )
4	2, 3	dcun 3637	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. ( A u. B ) )
5	4	ralrimiva 2623	. . 3 |- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. ( A u. B ) )
6		sumsplit.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. B ) ) -> C e. CC )
7	6	ralrimiva 2623	. . 3 |- ( ph -> A. k e. ( A u. B ) C e. CC )
8		sumsplit.2	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
9		sumsplit.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
10	9	eqimssi 3304	. . . . . 6 |- Z C_ ( ZZ>= ` M )
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> Z C_ ( ZZ>= ` M ) )
12	9	eleq2i 2305	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
13	12	biimpri 133	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. Z )
14	13	orcd 745	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. Z \/ -. k e. Z ) )
15		df-dc 847	. . . . . . . 8 |- (DECID k e. Z <-> ( k e. Z \/ -. k e. Z ) )
16	14, 15	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> DECID k e. Z )
17	16	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. Z )
18	17	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z )
19	8, 11, 18	3jca 1208	. . . 4 |- ( ph -> ( M e. ZZ /\ Z C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z ) )
20	19	orcd 745	. . 3 |- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ Z C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z ) \/ Z e. Fin ) )
21	1, 5, 7, 20	isumss2 12160	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. B ) C = sum_ k e. Z if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) )
22		sumsplit.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , C , 0 ) )
23		elun1 3396	. . . . . . 7 |- ( k e. A -> k e. ( A u. B ) )
24	23, 6	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
25	24	adantlr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
26		0cnd 8319	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> 0 e. CC )
27	25, 26, 2	ifcldadc 3670	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , C , 0 ) e. CC )
28		sumsplit.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
29		elun2 3397	. . . . . . 7 |- ( k e. B -> k e. ( A u. B ) )
30	29, 6	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
31	30	adantlr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
32		0cnd 8319	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. B ) -> 0 e. CC )
33	31, 32, 3	ifcldadc 3670	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC )
34		sumsplit.8	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
35		sumsplit.9	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )
36	9, 8, 22, 27, 28, 33, 34, 35	isumadd 12198	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. Z ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( sum_ k e. Z if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. Z if ( k e. B , C , 0 ) ) )
37	24	addridd 8475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C + 0 ) = C )
38		iftrue 3645	. . . . . . . . 9 |- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
39	38	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
40		noel 3525	. . . . . . . . . . . 12 |- -. k e. (/)
41		sumsplit.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
42	41	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k e. ( A i^i B ) <-> k e. (/) ) )
43		elin 3412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( A i^i B ) <-> ( k e. A /\ k e. B ) )
44	42, 43	bitr3di 195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. (/) <-> ( k e. A /\ k e. B ) ) )
45	40, 44	mtbii 685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
46		imnan 701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. A -> -. k e. B ) <-> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
47	45, 46	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> -. k e. B ) )
48	47	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. k e. B )
49	48	iffalsed 3650	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. B , C , 0 ) = 0 )
50	39, 49	oveq12d 6103	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( C + 0 ) )
51		iftrue 3645	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( A u. B ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = C )
52	23, 51	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( k e. A -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = C )
53	52	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = C )
54	37, 50, 53	3eqtr4rd 2282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
55	54	adantlr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
56	33	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC )
57	56	addlidd 8476	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> ( 0 + if ( k e. B , C , 0 ) ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
58		iffalse 3648	. . . . . . . . 9 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = 0 )
59	58	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = 0 )
60	59	oveq1d 6100	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( 0 + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
61	60	adantlr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( 0 + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
62		elun 3370	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
63		biorf 756	. . . . . . . . . 10 |- ( -. k e. A -> ( k e. B <-> ( k e. A \/ k e. B ) ) )
64	62, 63	bitr4id 199	. . . . . . . . 9 |- ( -. k e. A -> ( k e. ( A u. B ) <-> k e. B ) )
65	64	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> ( k e. ( A u. B ) <-> k e. B ) )
66	65	ifbid 3662	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
67	66	adantlr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
68	57, 61, 67	3eqtr4rd 2282	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
69		exmiddc 848	. . . . . 6 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
70	2, 69	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
71	55, 68, 70	mpjaodan 810	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
72	71	sumeq2dv 12134	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. Z if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = sum_ k e. Z ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
73	1	unssad 3406	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ Z )
74	2	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. A )
75	24	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
76	73, 74, 75, 20	isumss2 12160	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. Z if ( k e. A , C , 0 ) )
77	1	unssbd 3407	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ Z )
78	3	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. B )
79	30	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
80	77, 78, 79, 20	isumss2 12160	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. B C = sum_ k e. Z if ( k e. B , C , 0 ) )
81	76, 80	oveq12d 6103	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) = ( sum_ k e. Z if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. Z if ( k e. B , C , 0 ) ) )
82	36, 72, 81	3eqtr4rd 2282	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) = sum_ k e. Z if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) )
83	21, 82	eqtr4d 2274	1 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. B ) C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   u. cun 3218   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3638   dom cdm 4774   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Fincfn 7022   CCcc 8177   0cc0 8179   + caddc 8182   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   seqcseq 10884   ~~> cli 12044   sum_csu 12119

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-ihash 11215  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-sumdc 12120

This theorem is used by: (None)