Theorem sumsplitdc 11373

Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsplit.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
sumsplit.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
sumsplit.3	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
sumsplit.4	|- ( ph -> ( A u. B ) C_ Z )
sumsplitdc.a	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. A )
sumsplitdc.b	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. B )
sumsplit.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , C , 0 ) )
sumsplit.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
sumsplit.7	|- ( ( ph /\ k e. ( A u. B ) ) -> C e. CC )
sumsplit.8	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
sumsplit.9	|- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
sumsplitdc	|- ( ph -> sum_ k e. ( A u. B ) C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, F   k, G   k, M   ph, k   k, Z

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem sumsplitdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumsplit.4	. . 3 |- ( ph -> ( A u. B ) C_ Z )
2		sumsplitdc.a	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. A )
3		sumsplitdc.b	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. B )
4	2, 3	dcun 3519	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. ( A u. B ) )
5	4	ralrimiva 2539	. . 3 |- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. ( A u. B ) )
6		sumsplit.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. B ) ) -> C e. CC )
7	6	ralrimiva 2539	. . 3 |- ( ph -> A. k e. ( A u. B ) C e. CC )
8		sumsplit.2	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
9		sumsplit.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
10	9	eqimssi 3198	. . . . . 6 |- Z C_ ( ZZ>= ` M )
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> Z C_ ( ZZ>= ` M ) )
12	9	eleq2i 2233	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
13	12	biimpri 132	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. Z )
14	13	orcd 723	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. Z \/ -. k e. Z ) )
15		df-dc 825	. . . . . . . 8 |- (DECID k e. Z <-> ( k e. Z \/ -. k e. Z ) )
16	14, 15	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> DECID k e. Z )
17	16	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. Z )
18	17	ralrimiva 2539	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z )
19	8, 11, 18	3jca 1167	. . . 4 |- ( ph -> ( M e. ZZ /\ Z C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z ) )
20	19	orcd 723	. . 3 |- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ Z C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z ) \/ Z e. Fin ) )
21	1, 5, 7, 20	isumss2 11334	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. B ) C = sum_ k e. Z if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) )
22		sumsplit.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , C , 0 ) )
23		elun1 3289	. . . . . . 7 |- ( k e. A -> k e. ( A u. B ) )
24	23, 6	sylan2 284	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
25	24	adantlr 469	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
26		0cnd 7892	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> 0 e. CC )
27	25, 26, 2	ifcldadc 3549	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , C , 0 ) e. CC )
28		sumsplit.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
29		elun2 3290	. . . . . . 7 |- ( k e. B -> k e. ( A u. B ) )
30	29, 6	sylan2 284	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
31	30	adantlr 469	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
32		0cnd 7892	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. B ) -> 0 e. CC )
33	31, 32, 3	ifcldadc 3549	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC )
34		sumsplit.8	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
35		sumsplit.9	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )
36	9, 8, 22, 27, 28, 33, 34, 35	isumadd 11372	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. Z ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( sum_ k e. Z if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. Z if ( k e. B , C , 0 ) ) )
37	24	addid1d 8047	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C + 0 ) = C )
38		iftrue 3525	. . . . . . . . 9 |- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
39	38	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
40		noel 3413	. . . . . . . . . . . 12 |- -. k e. (/)
41		sumsplit.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
42	41	eleq2d 2236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k e. ( A i^i B ) <-> k e. (/) ) )
43		elin 3305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( A i^i B ) <-> ( k e. A /\ k e. B ) )
44	42, 43	bitr3di 194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. (/) <-> ( k e. A /\ k e. B ) ) )
45	40, 44	mtbii 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
46		imnan 680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. A -> -. k e. B ) <-> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
47	45, 46	sylibr 133	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> -. k e. B ) )
48	47	imp 123	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. k e. B )
49	48	iffalsed 3530	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. B , C , 0 ) = 0 )
50	39, 49	oveq12d 5860	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( C + 0 ) )
51		iftrue 3525	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( A u. B ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = C )
52	23, 51	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( k e. A -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = C )
53	52	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = C )
54	37, 50, 53	3eqtr4rd 2209	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
55	54	adantlr 469	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
56	33	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC )
57	56	addid2d 8048	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> ( 0 + if ( k e. B , C , 0 ) ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
58		iffalse 3528	. . . . . . . . 9 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = 0 )
59	58	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = 0 )
60	59	oveq1d 5857	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( 0 + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
61	60	adantlr 469	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( 0 + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
62		elun 3263	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
63		biorf 734	. . . . . . . . . 10 |- ( -. k e. A -> ( k e. B <-> ( k e. A \/ k e. B ) ) )
64	62, 63	bitr4id 198	. . . . . . . . 9 |- ( -. k e. A -> ( k e. ( A u. B ) <-> k e. B ) )
65	64	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> ( k e. ( A u. B ) <-> k e. B ) )
66	65	ifbid 3541	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
67	66	adantlr 469	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
68	57, 61, 67	3eqtr4rd 2209	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
69		exmiddc 826	. . . . . 6 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
70	2, 69	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
71	55, 68, 70	mpjaodan 788	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
72	71	sumeq2dv 11309	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. Z if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = sum_ k e. Z ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
73	1	unssad 3299	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ Z )
74	2	ralrimiva 2539	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. A )
75	24	ralrimiva 2539	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
76	73, 74, 75, 20	isumss2 11334	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. Z if ( k e. A , C , 0 ) )
77	1	unssbd 3300	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ Z )
78	3	ralrimiva 2539	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. B )
79	30	ralrimiva 2539	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
80	77, 78, 79, 20	isumss2 11334	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. B C = sum_ k e. Z if ( k e. B , C , 0 ) )
81	76, 80	oveq12d 5860	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) = ( sum_ k e. Z if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. Z if ( k e. B , C , 0 ) ) )
82	36, 72, 81	3eqtr4rd 2209	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) = sum_ k e. Z if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) )
83	21, 82	eqtr4d 2201	1 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. B ) C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   u. cun 3114   i^i cin 3115   C_ wss 3116   (/)c0 3409   ifcif 3520   dom cdm 4604   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   Fincfn 6706   CCcc 7751   0cc0 7753   + caddc 7756   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   seqcseq 10380   ~~> cli 11219   sum_csu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by: (None)