Theorem sumsplitdc 12177

Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsplit.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
sumsplit.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
sumsplit.3	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
sumsplit.4	|- ( ph -> ( A u. B ) C_ Z )
sumsplitdc.a	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. A )
sumsplitdc.b	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. B )
sumsplit.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , C , 0 ) )
sumsplit.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
sumsplit.7	|- ( ( ph /\ k e. ( A u. B ) ) -> C e. CC )
sumsplit.8	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
sumsplit.9	|- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
sumsplitdc	|- ( ph -> sum_ k e. ( A u. B ) C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, F   k, G   k, M   ph, k   k, Z

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem sumsplitdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumsplit.4	. . 3 |- ( ph -> ( A u. B ) C_ Z )
2		sumsplitdc.a	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. A )
3		sumsplitdc.b	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. B )
4	2, 3	dcun 3634	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. ( A u. B ) )
5	4	ralrimiva 2623	. . 3 |- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. ( A u. B ) )
6		sumsplit.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. B ) ) -> C e. CC )
7	6	ralrimiva 2623	. . 3 |- ( ph -> A. k e. ( A u. B ) C e. CC )
8		sumsplit.2	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
9		sumsplit.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
10	9	eqimssi 3304	. . . . . 6 |- Z C_ ( ZZ>= ` M )
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> Z C_ ( ZZ>= ` M ) )
12	9	eleq2i 2305	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
13	12	biimpri 133	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. Z )
14	13	orcd 745	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. Z \/ -. k e. Z ) )
15		df-dc 847	. . . . . . . 8 |- (DECID k e. Z <-> ( k e. Z \/ -. k e. Z ) )
16	14, 15	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> DECID k e. Z )
17	16	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. Z )
18	17	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z )
19	8, 11, 18	3jca 1208	. . . 4 |- ( ph -> ( M e. ZZ /\ Z C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z ) )
20	19	orcd 745	. . 3 |- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ Z C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z ) \/ Z e. Fin ) )
21	1, 5, 7, 20	isumss2 12138	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. B ) C = sum_ k e. Z if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) )
22		sumsplit.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , C , 0 ) )
23		elun1 3396	. . . . . . 7 |- ( k e. A -> k e. ( A u. B ) )
24	23, 6	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
25	24	adantlr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
26		0cnd 8309	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> 0 e. CC )
27	25, 26, 2	ifcldadc 3667	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , C , 0 ) e. CC )
28		sumsplit.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
29		elun2 3397	. . . . . . 7 |- ( k e. B -> k e. ( A u. B ) )
30	29, 6	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
31	30	adantlr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
32		0cnd 8309	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. B ) -> 0 e. CC )
33	31, 32, 3	ifcldadc 3667	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC )
34		sumsplit.8	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
35		sumsplit.9	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )
36	9, 8, 22, 27, 28, 33, 34, 35	isumadd 12176	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. Z ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( sum_ k e. Z if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. Z if ( k e. B , C , 0 ) ) )
37	24	addridd 8465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C + 0 ) = C )
38		iftrue 3642	. . . . . . . . 9 |- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
39	38	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
40		noel 3525	. . . . . . . . . . . 12 |- -. k e. (/)
41		sumsplit.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
42	41	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k e. ( A i^i B ) <-> k e. (/) ) )
43		elin 3412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( A i^i B ) <-> ( k e. A /\ k e. B ) )
44	42, 43	bitr3di 195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. (/) <-> ( k e. A /\ k e. B ) ) )
45	40, 44	mtbii 685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
46		imnan 701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. A -> -. k e. B ) <-> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
47	45, 46	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> -. k e. B ) )
48	47	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. k e. B )
49	48	iffalsed 3647	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. B , C , 0 ) = 0 )
50	39, 49	oveq12d 6093	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( C + 0 ) )
51		iftrue 3642	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( A u. B ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = C )
52	23, 51	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( k e. A -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = C )
53	52	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = C )
54	37, 50, 53	3eqtr4rd 2282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
55	54	adantlr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
56	33	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC )
57	56	addlidd 8466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> ( 0 + if ( k e. B , C , 0 ) ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
58		iffalse 3645	. . . . . . . . 9 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = 0 )
59	58	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = 0 )
60	59	oveq1d 6090	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( 0 + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
61	60	adantlr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( 0 + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
62		elun 3370	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
63		biorf 756	. . . . . . . . . 10 |- ( -. k e. A -> ( k e. B <-> ( k e. A \/ k e. B ) ) )
64	62, 63	bitr4id 199	. . . . . . . . 9 |- ( -. k e. A -> ( k e. ( A u. B ) <-> k e. B ) )
65	64	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> ( k e. ( A u. B ) <-> k e. B ) )
66	65	ifbid 3659	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
67	66	adantlr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
68	57, 61, 67	3eqtr4rd 2282	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
69		exmiddc 848	. . . . . 6 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
70	2, 69	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
71	55, 68, 70	mpjaodan 810	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
72	71	sumeq2dv 12112	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. Z if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = sum_ k e. Z ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
73	1	unssad 3406	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ Z )
74	2	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. A )
75	24	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
76	73, 74, 75, 20	isumss2 12138	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. Z if ( k e. A , C , 0 ) )
77	1	unssbd 3407	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ Z )
78	3	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. B )
79	30	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
80	77, 78, 79, 20	isumss2 12138	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. B C = sum_ k e. Z if ( k e. B , C , 0 ) )
81	76, 80	oveq12d 6093	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) = ( sum_ k e. Z if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. Z if ( k e. B , C , 0 ) ) )
82	36, 72, 81	3eqtr4rd 2282	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) = sum_ k e. Z if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) )
83	21, 82	eqtr4d 2274	1 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. B ) C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   u. cun 3218   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3635   dom cdm 4769   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Fincfn 7012   CCcc 8167   0cc0 8169   + caddc 8172   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   seqcseq 10862   ~~> cli 12022   sum_csu 12097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098

This theorem is referenced by: (None)