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Theorem sumsplitdc 11093
Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsplit.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
sumsplit.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
sumsplit.3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
sumsplit.4  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  C_  Z )
sumsplitdc.a  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  -> DECID  k  e.  A
)
sumsplitdc.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  -> DECID  k  e.  B
)
sumsplit.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) )
sumsplit.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  if ( k  e.  B ,  C , 
0 ) )
sumsplit.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  B
) )  ->  C  e.  CC )
sumsplit.8  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
sumsplit.9  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
sumsplitdc  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  u.  B ) C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, F    k, G    k, M    ph, k    k, Z
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem sumsplitdc
StepHypRef Expression
1 sumsplit.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  C_  Z )
2 sumsplitdc.a . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  -> DECID  k  e.  A
)
3 sumsplitdc.b . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  -> DECID  k  e.  B
)
42, 3dcun 3439 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  -> DECID  k  e.  ( A  u.  B )
)
54ralrimiva 2479 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z DECID  k  e.  ( A  u.  B
) )
6 sumsplit.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  B
) )  ->  C  e.  CC )
76ralrimiva 2479 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( A  u.  B ) C  e.  CC )
8 sumsplit.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 sumsplit.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
109eqimssi 3119 . . . . . 6  |-  Z  C_  ( ZZ>= `  M )
1110a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  C_  ( ZZ>= `  M ) )
129eleq2i 2181 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1312biimpri 132 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  Z )
1413orcd 705 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  Z  \/  -.  k  e.  Z )
)
15 df-dc 803 . . . . . . . 8  |-  (DECID  k  e.  Z  <->  ( k  e.  Z  \/  -.  k  e.  Z ) )
1614, 15sylibr 133 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  -> DECID  k  e.  Z
)
1716adantl 273 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  k  e.  Z
)
1817ralrimiva 2479 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  k  e.  Z )
198, 11, 183jca 1144 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  k  e.  Z ) )
2019orcd 705 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  k  e.  Z )  \/  Z  e.  Fin ) )
211, 5, 7, 20isumss2 11054 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  u.  B ) C  =  sum_ k  e.  Z  if (
k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 ) )
22 sumsplit.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) )
23 elun1 3209 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
2423, 6sylan2 282 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
2524adantlr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
26 0cnd 7683 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  -.  k  e.  A )  ->  0  e.  CC )
2725, 26, 2ifcldadc 3467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  e.  CC )
28 sumsplit.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  if ( k  e.  B ,  C , 
0 ) )
29 elun2 3210 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  B  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
3029, 6sylan2 282 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
3130adantlr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
32 0cnd 7683 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  -.  k  e.  B )  ->  0  e.  CC )
3331, 32, 3ifcldadc 3467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  e.  CC )
34 sumsplit.8 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
35 sumsplit.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
369, 8, 22, 27, 28, 33, 34, 35isumadd 11092 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  ( if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
3724addid1d 7834 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  +  0 )  =  C )
38 iftrue 3445 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
3938adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
40 noel 3333 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  k  e.  (/)
41 elin 3225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
42 sumsplit.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
4342eleq2d 2184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A  i^i  B )  <-> 
k  e.  (/) ) )
4441, 43syl5rbbr 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (/)  <->  (
k  e.  A  /\  k  e.  B )
) )
4540, 44mtbii 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
46 imnan 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
)  <->  -.  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
4745, 46sylibr 133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
) )
4847imp 123 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  B )
4948iffalsed 3450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  0 )
5039, 49oveq12d 5746 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( C  + 
0 ) )
51 iftrue 3445 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  C )
5223, 51syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  C )
5352adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  C )
5437, 50, 533eqtr4rd 2158 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
5554adantlr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
5633adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  B ,  C , 
0 )  e.  CC )
5756addid2d 7835 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  -.  k  e.  A )  ->  ( 0  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
58 iffalse 3448 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
5958adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
6059oveq1d 5743 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  if ( k  e.  B ,  C , 
0 ) ) )
6160adantlr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  -.  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C , 
0 ) )  =  ( 0  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
62 biorf 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  e.  A  -> 
( k  e.  B  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B )
) )
63 elun 3183 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )
6462, 63syl6rbbr 198 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  e.  A  -> 
( k  e.  ( A  u.  B )  <-> 
k  e.  B ) )
6564adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  (
k  e.  ( A  u.  B )  <->  k  e.  B ) )
6665ifbid 3459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
6766adantlr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B
) ,  C , 
0 )  =  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
6857, 61, 673eqtr4rd 2158 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B
) ,  C , 
0 )  =  ( if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
69 exmiddc 804 . . . . . 6  |-  (DECID  k  e.  A  ->  ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A )
)
702, 69syl 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  e.  A  \/  -.  k  e.  A
) )
7155, 68, 70mpjaodan 770 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
7271sumeq2dv 11029 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  sum_ k  e.  Z  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
731unssad 3219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
742ralrimiva 2479 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z DECID  k  e.  A )
7524ralrimiva 2479 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
7673, 74, 75, 20isumss2 11054 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
771unssbd 3220 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  Z )
783ralrimiva 2479 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z DECID  k  e.  B )
7930ralrimiva 2479 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
8077, 78, 79, 20isumss2 11054 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
8176, 80oveq12d 5746 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C )  =  ( sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
8236, 72, 813eqtr4rd 2158 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C )  = 
sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 ) )
8321, 82eqtr4d 2150 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  u.  B ) C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680  DECID wdc 802    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2390    u. cun 3035    i^i cin 3036    C_ wss 3037   (/)c0 3329   ifcif 3440   dom cdm 4499   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   Fincfn 6588   CCcc 7545   0cc0 7547    + caddc 7550   ZZcz 8958   ZZ>=cuz 9228    seqcseq 10111    ~~> cli 10939   sum_csu 11014
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664  ax-caucvg 7665
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-isom 5090  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-irdg 6221  df-frec 6242  df-1o 6267  df-oadd 6271  df-er 6383  df-en 6589  df-dom 6590  df-fin 6591  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-fz 9684  df-fzo 9813  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-ihash 10415  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663  df-clim 10940  df-sumdc 11015
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