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Theorem sumsplitdc 11454
Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsplit.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
sumsplit.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
sumsplit.3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
sumsplit.4  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  C_  Z )
sumsplitdc.a  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  -> DECID  k  e.  A
)
sumsplitdc.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  -> DECID  k  e.  B
)
sumsplit.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) )
sumsplit.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  if ( k  e.  B ,  C , 
0 ) )
sumsplit.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  B
) )  ->  C  e.  CC )
sumsplit.8  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
sumsplit.9  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
sumsplitdc  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  u.  B ) C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, F    k, G    k, M    ph, k    k, Z
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem sumsplitdc
StepHypRef Expression
1 sumsplit.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  C_  Z )
2 sumsplitdc.a . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  -> DECID  k  e.  A
)
3 sumsplitdc.b . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  -> DECID  k  e.  B
)
42, 3dcun 3545 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  -> DECID  k  e.  ( A  u.  B )
)
54ralrimiva 2560 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z DECID  k  e.  ( A  u.  B
) )
6 sumsplit.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  B
) )  ->  C  e.  CC )
76ralrimiva 2560 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( A  u.  B ) C  e.  CC )
8 sumsplit.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 sumsplit.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
109eqimssi 3223 . . . . . 6  |-  Z  C_  ( ZZ>= `  M )
1110a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  C_  ( ZZ>= `  M ) )
129eleq2i 2254 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1312biimpri 133 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  Z )
1413orcd 734 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  Z  \/  -.  k  e.  Z )
)
15 df-dc 836 . . . . . . . 8  |-  (DECID  k  e.  Z  <->  ( k  e.  Z  \/  -.  k  e.  Z ) )
1614, 15sylibr 134 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  -> DECID  k  e.  Z
)
1716adantl 277 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  k  e.  Z
)
1817ralrimiva 2560 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  k  e.  Z )
198, 11, 183jca 1178 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  k  e.  Z ) )
2019orcd 734 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  k  e.  Z )  \/  Z  e.  Fin ) )
211, 5, 7, 20isumss2 11415 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  u.  B ) C  =  sum_ k  e.  Z  if (
k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 ) )
22 sumsplit.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) )
23 elun1 3314 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
2423, 6sylan2 286 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
2524adantlr 477 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
26 0cnd 7964 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  -.  k  e.  A )  ->  0  e.  CC )
2725, 26, 2ifcldadc 3575 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  e.  CC )
28 sumsplit.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  if ( k  e.  B ,  C , 
0 ) )
29 elun2 3315 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  B  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
3029, 6sylan2 286 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
3130adantlr 477 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
32 0cnd 7964 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  -.  k  e.  B )  ->  0  e.  CC )
3331, 32, 3ifcldadc 3575 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  e.  CC )
34 sumsplit.8 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
35 sumsplit.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
369, 8, 22, 27, 28, 33, 34, 35isumadd 11453 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  ( if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
3724addid1d 8120 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  +  0 )  =  C )
38 iftrue 3551 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
3938adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
40 noel 3438 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  k  e.  (/)
41 sumsplit.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
4241eleq2d 2257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A  i^i  B )  <-> 
k  e.  (/) ) )
43 elin 3330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
4442, 43bitr3di 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (/)  <->  (
k  e.  A  /\  k  e.  B )
) )
4540, 44mtbii 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
46 imnan 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
)  <->  -.  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
4745, 46sylibr 134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
) )
4847imp 124 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  B )
4948iffalsed 3556 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  0 )
5039, 49oveq12d 5906 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( C  + 
0 ) )
51 iftrue 3551 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  C )
5223, 51syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  C )
5352adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  C )
5437, 50, 533eqtr4rd 2231 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
5554adantlr 477 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
5633adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  B ,  C , 
0 )  e.  CC )
5756addid2d 8121 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  -.  k  e.  A )  ->  ( 0  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
58 iffalse 3554 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
5958adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
6059oveq1d 5903 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  if ( k  e.  B ,  C , 
0 ) ) )
6160adantlr 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  -.  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C , 
0 ) )  =  ( 0  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
62 elun 3288 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )
63 biorf 745 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  e.  A  -> 
( k  e.  B  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B )
) )
6462, 63bitr4id 199 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  e.  A  -> 
( k  e.  ( A  u.  B )  <-> 
k  e.  B ) )
6564adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  (
k  e.  ( A  u.  B )  <->  k  e.  B ) )
6665ifbid 3567 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
6766adantlr 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B
) ,  C , 
0 )  =  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
6857, 61, 673eqtr4rd 2231 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B
) ,  C , 
0 )  =  ( if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
69 exmiddc 837 . . . . . 6  |-  (DECID  k  e.  A  ->  ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A )
)
702, 69syl 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  e.  A  \/  -.  k  e.  A
) )
7155, 68, 70mpjaodan 799 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
7271sumeq2dv 11390 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  sum_ k  e.  Z  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
731unssad 3324 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
742ralrimiva 2560 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z DECID  k  e.  A )
7524ralrimiva 2560 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
7673, 74, 75, 20isumss2 11415 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
771unssbd 3325 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  Z )
783ralrimiva 2560 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z DECID  k  e.  B )
7930ralrimiva 2560 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
8077, 78, 79, 20isumss2 11415 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
8176, 80oveq12d 5906 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C )  =  ( sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
8236, 72, 813eqtr4rd 2231 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C )  = 
sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 ) )
8321, 82eqtr4d 2223 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  u.  B ) C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709  DECID wdc 835    /\ w3a 979    = wceq 1363    e. wcel 2158   A.wral 2465    u. cun 3139    i^i cin 3140    C_ wss 3141   (/)c0 3434   ifcif 3546   dom cdm 4638   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Fincfn 6754   CCcc 7823   0cc0 7825    + caddc 7828   ZZcz 9267   ZZ>=cuz 9542    seqcseq 10459    ~~> cli 11300   sum_csu 11375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-er 6549  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-ihash 10770  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-sumdc 11376
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