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Theorem sumsplitdc 11213
Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsplit.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
sumsplit.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
sumsplit.3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
sumsplit.4  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  C_  Z )
sumsplitdc.a  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  -> DECID  k  e.  A
)
sumsplitdc.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  -> DECID  k  e.  B
)
sumsplit.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) )
sumsplit.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  if ( k  e.  B ,  C , 
0 ) )
sumsplit.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  B
) )  ->  C  e.  CC )
sumsplit.8  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
sumsplit.9  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
sumsplitdc  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  u.  B ) C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, F    k, G    k, M    ph, k    k, Z
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem sumsplitdc
StepHypRef Expression
1 sumsplit.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  C_  Z )
2 sumsplitdc.a . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  -> DECID  k  e.  A
)
3 sumsplitdc.b . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  -> DECID  k  e.  B
)
42, 3dcun 3473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  -> DECID  k  e.  ( A  u.  B )
)
54ralrimiva 2505 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z DECID  k  e.  ( A  u.  B
) )
6 sumsplit.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  B
) )  ->  C  e.  CC )
76ralrimiva 2505 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( A  u.  B ) C  e.  CC )
8 sumsplit.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 sumsplit.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
109eqimssi 3153 . . . . . 6  |-  Z  C_  ( ZZ>= `  M )
1110a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  C_  ( ZZ>= `  M ) )
129eleq2i 2206 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1312biimpri 132 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  Z )
1413orcd 722 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  Z  \/  -.  k  e.  Z )
)
15 df-dc 820 . . . . . . . 8  |-  (DECID  k  e.  Z  <->  ( k  e.  Z  \/  -.  k  e.  Z ) )
1614, 15sylibr 133 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  -> DECID  k  e.  Z
)
1716adantl 275 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  k  e.  Z
)
1817ralrimiva 2505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  k  e.  Z )
198, 11, 183jca 1161 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  k  e.  Z ) )
2019orcd 722 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  k  e.  Z )  \/  Z  e.  Fin ) )
211, 5, 7, 20isumss2 11174 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  u.  B ) C  =  sum_ k  e.  Z  if (
k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 ) )
22 sumsplit.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) )
23 elun1 3243 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
2423, 6sylan2 284 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
2524adantlr 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
26 0cnd 7771 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  -.  k  e.  A )  ->  0  e.  CC )
2725, 26, 2ifcldadc 3501 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  e.  CC )
28 sumsplit.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  if ( k  e.  B ,  C , 
0 ) )
29 elun2 3244 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  B  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
3029, 6sylan2 284 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
3130adantlr 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
32 0cnd 7771 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  -.  k  e.  B )  ->  0  e.  CC )
3331, 32, 3ifcldadc 3501 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  e.  CC )
34 sumsplit.8 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
35 sumsplit.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
369, 8, 22, 27, 28, 33, 34, 35isumadd 11212 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  ( if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
3724addid1d 7923 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  +  0 )  =  C )
38 iftrue 3479 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
3938adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
40 noel 3367 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  k  e.  (/)
41 sumsplit.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
4241eleq2d 2209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A  i^i  B )  <-> 
k  e.  (/) ) )
43 elin 3259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
4442, 43bitr3di 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (/)  <->  (
k  e.  A  /\  k  e.  B )
) )
4540, 44mtbii 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
46 imnan 679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
)  <->  -.  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
4745, 46sylibr 133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
) )
4847imp 123 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  B )
4948iffalsed 3484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  0 )
5039, 49oveq12d 5792 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( C  + 
0 ) )
51 iftrue 3479 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  C )
5223, 51syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  C )
5352adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  C )
5437, 50, 533eqtr4rd 2183 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
5554adantlr 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
5633adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  B ,  C , 
0 )  e.  CC )
5756addid2d 7924 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  -.  k  e.  A )  ->  ( 0  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
58 iffalse 3482 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
5958adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
6059oveq1d 5789 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  if ( k  e.  B ,  C , 
0 ) ) )
6160adantlr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  -.  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C , 
0 ) )  =  ( 0  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
62 biorf 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  e.  A  -> 
( k  e.  B  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B )
) )
63 elun 3217 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )
6462, 63syl6rbbr 198 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  e.  A  -> 
( k  e.  ( A  u.  B )  <-> 
k  e.  B ) )
6564adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  (
k  e.  ( A  u.  B )  <->  k  e.  B ) )
6665ifbid 3493 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
6766adantlr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B
) ,  C , 
0 )  =  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
6857, 61, 673eqtr4rd 2183 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B
) ,  C , 
0 )  =  ( if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
69 exmiddc 821 . . . . . 6  |-  (DECID  k  e.  A  ->  ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A )
)
702, 69syl 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  e.  A  \/  -.  k  e.  A
) )
7155, 68, 70mpjaodan 787 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
7271sumeq2dv 11149 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  sum_ k  e.  Z  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
731unssad 3253 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
742ralrimiva 2505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z DECID  k  e.  A )
7524ralrimiva 2505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
7673, 74, 75, 20isumss2 11174 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
771unssbd 3254 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  Z )
783ralrimiva 2505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z DECID  k  e.  B )
7930ralrimiva 2505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
8077, 78, 79, 20isumss2 11174 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
8176, 80oveq12d 5792 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C )  =  ( sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
8236, 72, 813eqtr4rd 2183 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C )  = 
sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 ) )
8321, 82eqtr4d 2175 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  u.  B ) C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697  DECID wdc 819    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416    u. cun 3069    i^i cin 3070    C_ wss 3071   (/)c0 3363   ifcif 3474   dom cdm 4539   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   Fincfn 6634   CCcc 7630   0cc0 7632    + caddc 7635   ZZcz 9066   ZZ>=cuz 9338    seqcseq 10230    ~~> cli 11059   sum_csu 11134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-ihash 10534  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-clim 11060  df-sumdc 11135
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