Theorem sumsplitdc 11395

Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsplit.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
sumsplit.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
sumsplit.3	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
sumsplit.4	|- ( ph -> ( A u. B ) C_ Z )
sumsplitdc.a	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. A )
sumsplitdc.b	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. B )
sumsplit.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , C , 0 ) )
sumsplit.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
sumsplit.7	|- ( ( ph /\ k e. ( A u. B ) ) -> C e. CC )
sumsplit.8	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
sumsplit.9	|- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
sumsplitdc	|- ( ph -> sum_ k e. ( A u. B ) C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, F   k, G   k, M   ph, k   k, Z

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem sumsplitdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumsplit.4	. . 3 |- ( ph -> ( A u. B ) C_ Z )
2		sumsplitdc.a	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. A )
3		sumsplitdc.b	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. B )
4	2, 3	dcun 3525	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. ( A u. B ) )
5	4	ralrimiva 2543	. . 3 |- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. ( A u. B ) )
6		sumsplit.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. B ) ) -> C e. CC )
7	6	ralrimiva 2543	. . 3 |- ( ph -> A. k e. ( A u. B ) C e. CC )
8		sumsplit.2	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
9		sumsplit.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
10	9	eqimssi 3203	. . . . . 6 |- Z C_ ( ZZ>= ` M )
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> Z C_ ( ZZ>= ` M ) )
12	9	eleq2i 2237	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
13	12	biimpri 132	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. Z )
14	13	orcd 728	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. Z \/ -. k e. Z ) )
15		df-dc 830	. . . . . . . 8 |- (DECID k e. Z <-> ( k e. Z \/ -. k e. Z ) )
16	14, 15	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> DECID k e. Z )
17	16	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. Z )
18	17	ralrimiva 2543	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z )
19	8, 11, 18	3jca 1172	. . . 4 |- ( ph -> ( M e. ZZ /\ Z C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z ) )
20	19	orcd 728	. . 3 |- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ Z C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z ) \/ Z e. Fin ) )
21	1, 5, 7, 20	isumss2 11356	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. B ) C = sum_ k e. Z if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) )
22		sumsplit.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , C , 0 ) )
23		elun1 3294	. . . . . . 7 |- ( k e. A -> k e. ( A u. B ) )
24	23, 6	sylan2 284	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
25	24	adantlr 474	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
26		0cnd 7913	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> 0 e. CC )
27	25, 26, 2	ifcldadc 3555	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , C , 0 ) e. CC )
28		sumsplit.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
29		elun2 3295	. . . . . . 7 |- ( k e. B -> k e. ( A u. B ) )
30	29, 6	sylan2 284	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
31	30	adantlr 474	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
32		0cnd 7913	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. B ) -> 0 e. CC )
33	31, 32, 3	ifcldadc 3555	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC )
34		sumsplit.8	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
35		sumsplit.9	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )
36	9, 8, 22, 27, 28, 33, 34, 35	isumadd 11394	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. Z ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( sum_ k e. Z if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. Z if ( k e. B , C , 0 ) ) )
37	24	addid1d 8068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C + 0 ) = C )
38		iftrue 3531	. . . . . . . . 9 |- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
39	38	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
40		noel 3418	. . . . . . . . . . . 12 |- -. k e. (/)
41		sumsplit.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
42	41	eleq2d 2240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k e. ( A i^i B ) <-> k e. (/) ) )
43		elin 3310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( A i^i B ) <-> ( k e. A /\ k e. B ) )
44	42, 43	bitr3di 194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. (/) <-> ( k e. A /\ k e. B ) ) )
45	40, 44	mtbii 669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
46		imnan 685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. A -> -. k e. B ) <-> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
47	45, 46	sylibr 133	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> -. k e. B ) )
48	47	imp 123	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. k e. B )
49	48	iffalsed 3536	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. B , C , 0 ) = 0 )
50	39, 49	oveq12d 5871	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( C + 0 ) )
51		iftrue 3531	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( A u. B ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = C )
52	23, 51	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( k e. A -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = C )
53	52	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = C )
54	37, 50, 53	3eqtr4rd 2214	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
55	54	adantlr 474	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
56	33	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC )
57	56	addid2d 8069	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> ( 0 + if ( k e. B , C , 0 ) ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
58		iffalse 3534	. . . . . . . . 9 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = 0 )
59	58	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = 0 )
60	59	oveq1d 5868	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( 0 + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
61	60	adantlr 474	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( 0 + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
62		elun 3268	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
63		biorf 739	. . . . . . . . . 10 |- ( -. k e. A -> ( k e. B <-> ( k e. A \/ k e. B ) ) )
64	62, 63	bitr4id 198	. . . . . . . . 9 |- ( -. k e. A -> ( k e. ( A u. B ) <-> k e. B ) )
65	64	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> ( k e. ( A u. B ) <-> k e. B ) )
66	65	ifbid 3547	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
67	66	adantlr 474	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
68	57, 61, 67	3eqtr4rd 2214	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
69		exmiddc 831	. . . . . 6 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
70	2, 69	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
71	55, 68, 70	mpjaodan 793	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
72	71	sumeq2dv 11331	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. Z if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = sum_ k e. Z ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
73	1	unssad 3304	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ Z )
74	2	ralrimiva 2543	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. A )
75	24	ralrimiva 2543	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
76	73, 74, 75, 20	isumss2 11356	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. Z if ( k e. A , C , 0 ) )
77	1	unssbd 3305	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ Z )
78	3	ralrimiva 2543	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. B )
79	30	ralrimiva 2543	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
80	77, 78, 79, 20	isumss2 11356	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. B C = sum_ k e. Z if ( k e. B , C , 0 ) )
81	76, 80	oveq12d 5871	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) = ( sum_ k e. Z if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. Z if ( k e. B , C , 0 ) ) )
82	36, 72, 81	3eqtr4rd 2214	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) = sum_ k e. Z if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) )
83	21, 82	eqtr4d 2206	1 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. B ) C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703  DECID wdc 829   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   u. cun 3119   i^i cin 3120   C_ wss 3121   (/)c0 3414   ifcif 3526   dom cdm 4611   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Fincfn 6718   CCcc 7772   0cc0 7774   + caddc 7777   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   seqcseq 10401   ~~> cli 11241   sum_csu 11316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by: (None)