Theorem sumsplitdc 11201

Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsplit.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
sumsplit.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
sumsplit.3	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
sumsplit.4	|- ( ph -> ( A u. B ) C_ Z )
sumsplitdc.a	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. A )
sumsplitdc.b	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. B )
sumsplit.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , C , 0 ) )
sumsplit.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
sumsplit.7	|- ( ( ph /\ k e. ( A u. B ) ) -> C e. CC )
sumsplit.8	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
sumsplit.9	|- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
sumsplitdc	|- ( ph -> sum_ k e. ( A u. B ) C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, F   k, G   k, M   ph, k   k, Z

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem sumsplitdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumsplit.4	. . 3 |- ( ph -> ( A u. B ) C_ Z )
2		sumsplitdc.a	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. A )
3		sumsplitdc.b	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. B )
4	2, 3	dcun 3473	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. ( A u. B ) )
5	4	ralrimiva 2505	. . 3 |- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. ( A u. B ) )
6		sumsplit.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. B ) ) -> C e. CC )
7	6	ralrimiva 2505	. . 3 |- ( ph -> A. k e. ( A u. B ) C e. CC )
8		sumsplit.2	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
9		sumsplit.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
10	9	eqimssi 3153	. . . . . 6 |- Z C_ ( ZZ>= ` M )
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> Z C_ ( ZZ>= ` M ) )
12	9	eleq2i 2206	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
13	12	biimpri 132	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. Z )
14	13	orcd 722	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. Z \/ -. k e. Z ) )
15		df-dc 820	. . . . . . . 8 |- (DECID k e. Z <-> ( k e. Z \/ -. k e. Z ) )
16	14, 15	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> DECID k e. Z )
17	16	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. Z )
18	17	ralrimiva 2505	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z )
19	8, 11, 18	3jca 1161	. . . 4 |- ( ph -> ( M e. ZZ /\ Z C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z ) )
20	19	orcd 722	. . 3 |- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ Z C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z ) \/ Z e. Fin ) )
21	1, 5, 7, 20	isumss2 11162	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. B ) C = sum_ k e. Z if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) )
22		sumsplit.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , C , 0 ) )
23		elun1 3243	. . . . . . 7 |- ( k e. A -> k e. ( A u. B ) )
24	23, 6	sylan2 284	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
25	24	adantlr 468	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
26		0cnd 7759	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> 0 e. CC )
27	25, 26, 2	ifcldadc 3501	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , C , 0 ) e. CC )
28		sumsplit.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
29		elun2 3244	. . . . . . 7 |- ( k e. B -> k e. ( A u. B ) )
30	29, 6	sylan2 284	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
31	30	adantlr 468	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
32		0cnd 7759	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. B ) -> 0 e. CC )
33	31, 32, 3	ifcldadc 3501	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC )
34		sumsplit.8	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
35		sumsplit.9	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )
36	9, 8, 22, 27, 28, 33, 34, 35	isumadd 11200	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. Z ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( sum_ k e. Z if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. Z if ( k e. B , C , 0 ) ) )
37	24	addid1d 7911	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C + 0 ) = C )
38		iftrue 3479	. . . . . . . . 9 |- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
39	38	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
40		noel 3367	. . . . . . . . . . . 12 |- -. k e. (/)
41		elin 3259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( A i^i B ) <-> ( k e. A /\ k e. B ) )
42		sumsplit.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
43	42	eleq2d 2209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k e. ( A i^i B ) <-> k e. (/) ) )
44	41, 43	syl5rbbr 194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. (/) <-> ( k e. A /\ k e. B ) ) )
45	40, 44	mtbii 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
46		imnan 679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. A -> -. k e. B ) <-> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
47	45, 46	sylibr 133	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> -. k e. B ) )
48	47	imp 123	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. k e. B )
49	48	iffalsed 3484	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. B , C , 0 ) = 0 )
50	39, 49	oveq12d 5792	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( C + 0 ) )
51		iftrue 3479	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( A u. B ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = C )
52	23, 51	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( k e. A -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = C )
53	52	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = C )
54	37, 50, 53	3eqtr4rd 2183	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
55	54	adantlr 468	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
56	33	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC )
57	56	addid2d 7912	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> ( 0 + if ( k e. B , C , 0 ) ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
58		iffalse 3482	. . . . . . . . 9 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = 0 )
59	58	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = 0 )
60	59	oveq1d 5789	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( 0 + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
61	60	adantlr 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( 0 + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
62		biorf 733	. . . . . . . . . 10 |- ( -. k e. A -> ( k e. B <-> ( k e. A \/ k e. B ) ) )
63		elun 3217	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
64	62, 63	syl6rbbr 198	. . . . . . . . 9 |- ( -. k e. A -> ( k e. ( A u. B ) <-> k e. B ) )
65	64	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> ( k e. ( A u. B ) <-> k e. B ) )
66	65	ifbid 3493	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
67	66	adantlr 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = if ( k e. B , C , 0 ) )
68	57, 61, 67	3eqtr4rd 2183	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
69		exmiddc 821	. . . . . 6 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
70	2, 69	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
71	55, 68, 70	mpjaodan 787	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
72	71	sumeq2dv 11137	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. Z if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) = sum_ k e. Z ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) )
73	1	unssad 3253	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ Z )
74	2	ralrimiva 2505	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. A )
75	24	ralrimiva 2505	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
76	73, 74, 75, 20	isumss2 11162	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. Z if ( k e. A , C , 0 ) )
77	1	unssbd 3254	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ Z )
78	3	ralrimiva 2505	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. B )
79	30	ralrimiva 2505	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
80	77, 78, 79, 20	isumss2 11162	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. B C = sum_ k e. Z if ( k e. B , C , 0 ) )
81	76, 80	oveq12d 5792	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) = ( sum_ k e. Z if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. Z if ( k e. B , C , 0 ) ) )
82	36, 72, 81	3eqtr4rd 2183	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) = sum_ k e. Z if ( k e. ( A u. B ) , C , 0 ) )
83	21, 82	eqtr4d 2175	1 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. B ) C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697  DECID wdc 819   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   u. cun 3069   i^i cin 3070   C_ wss 3071   (/)c0 3363   ifcif 3474   dom cdm 4539   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   Fincfn 6634   CCcc 7618   0cc0 7620   + caddc 7623   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   seqcseq 10218   ~~> cli 11047   sum_csu 11122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123

This theorem is referenced by: (None)