Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumsplitdc Unicode version

Theorem sumsplitdc 11093
 Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsplit.1
sumsplit.2
sumsplit.3
sumsplit.4
sumsplitdc.a DECID
sumsplitdc.b DECID
sumsplit.5
sumsplit.6
sumsplit.7
sumsplit.8
sumsplit.9
Assertion
Ref Expression
sumsplitdc
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem sumsplitdc
StepHypRef Expression
1 sumsplit.4 . . 3
2 sumsplitdc.a . . . . 5 DECID
3 sumsplitdc.b . . . . 5 DECID
42, 3dcun 3439 . . . 4 DECID
54ralrimiva 2479 . . 3 DECID
6 sumsplit.7 . . . 4
76ralrimiva 2479 . . 3
8 sumsplit.2 . . . . 5
9 sumsplit.1 . . . . . . 7
109eqimssi 3119 . . . . . 6
1110a1i 9 . . . . 5
129eleq2i 2181 . . . . . . . . . 10
1312biimpri 132 . . . . . . . . 9
1413orcd 705 . . . . . . . 8
15 df-dc 803 . . . . . . . 8 DECID
1614, 15sylibr 133 . . . . . . 7 DECID
1716adantl 273 . . . . . 6 DECID
1817ralrimiva 2479 . . . . 5 DECID
198, 11, 183jca 1144 . . . 4 DECID
2019orcd 705 . . 3 DECID
211, 5, 7, 20isumss2 11054 . 2
22 sumsplit.5 . . . 4
23 elun1 3209 . . . . . . 7
2423, 6sylan2 282 . . . . . 6
2524adantlr 466 . . . . 5
26 0cnd 7683 . . . . 5
2725, 26, 2ifcldadc 3467 . . . 4
28 sumsplit.6 . . . 4
29 elun2 3210 . . . . . . 7
3029, 6sylan2 282 . . . . . 6
3130adantlr 466 . . . . 5
32 0cnd 7683 . . . . 5
3331, 32, 3ifcldadc 3467 . . . 4
34 sumsplit.8 . . . 4
35 sumsplit.9 . . . 4
369, 8, 22, 27, 28, 33, 34, 35isumadd 11092 . . 3
3724addid1d 7834 . . . . . . 7
38 iftrue 3445 . . . . . . . . 9
3938adantl 273 . . . . . . . 8
40 noel 3333 . . . . . . . . . . . 12
41 elin 3225 . . . . . . . . . . . . 13
42 sumsplit.3 . . . . . . . . . . . . . 14
4342eleq2d 2184 . . . . . . . . . . . . 13
4441, 43syl5rbbr 194 . . . . . . . . . . . 12
4540, 44mtbii 646 . . . . . . . . . . 11
46 imnan 662 . . . . . . . . . . 11
4745, 46sylibr 133 . . . . . . . . . 10
4847imp 123 . . . . . . . . 9
4948iffalsed 3450 . . . . . . . 8
5039, 49oveq12d 5746 . . . . . . 7
51 iftrue 3445 . . . . . . . . 9
5223, 51syl 14 . . . . . . . 8
5352adantl 273 . . . . . . 7
5437, 50, 533eqtr4rd 2158 . . . . . 6
5554adantlr 466 . . . . 5
5633adantr 272 . . . . . . 7
5756addid2d 7835 . . . . . 6
58 iffalse 3448 . . . . . . . . 9
5958adantl 273 . . . . . . . 8
6059oveq1d 5743 . . . . . . 7
6160adantlr 466 . . . . . 6
62 biorf 716 . . . . . . . . . 10
63 elun 3183 . . . . . . . . . 10
6462, 63syl6rbbr 198 . . . . . . . . 9
6564adantl 273 . . . . . . . 8
6665ifbid 3459 . . . . . . 7
6766adantlr 466 . . . . . 6
6857, 61, 673eqtr4rd 2158 . . . . 5
69 exmiddc 804 . . . . . 6 DECID
702, 69syl 14 . . . . 5
7155, 68, 70mpjaodan 770 . . . 4
7271sumeq2dv 11029 . . 3
731unssad 3219 . . . . 5
742ralrimiva 2479 . . . . 5 DECID
7524ralrimiva 2479 . . . . 5
7673, 74, 75, 20isumss2 11054 . . . 4
771unssbd 3220 . . . . 5
783ralrimiva 2479 . . . . 5 DECID
7930ralrimiva 2479 . . . . 5
8077, 78, 79, 20isumss2 11054 . . . 4
8176, 80oveq12d 5746 . . 3
8236, 72, 813eqtr4rd 2158 . 2
8321, 82eqtr4d 2150 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wo 680  DECID wdc 802   w3a 945   wceq 1314   wcel 1463  wral 2390   cun 3035   cin 3036   wss 3037  c0 3329  cif 3440   cdm 4499  cfv 5081  (class class class)co 5728  cfn 6588  cc 7545  cc0 7547   caddc 7550  cz 8958  cuz 9228   cseq 10111   cli 10939  csu 11014 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664  ax-caucvg 7665 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-isom 5090  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-irdg 6221  df-frec 6242  df-1o 6267  df-oadd 6271  df-er 6383  df-en 6589  df-dom 6590  df-fin 6591  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-fz 9684  df-fzo 9813  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-ihash 10415  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663  df-clim 10940  df-sumdc 11015 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator