Theorem sbcssg 3534

Description: Distribute proper substitution through a subclass relation. (Contributed by Alan Sare, 22-Jul-2012.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
sbcssg	|- ( A e. V -> ( [. A / x ]. B C_ C <-> [_ A / x ]_ B C_ [_ A / x ]_ C ) )

Proof of Theorem sbcssg

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbcalg 3017	. . 3 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. A. y ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y [. A / x ]. ( y e. B -> y e. C ) ) )
2		sbcimg 3006	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( y e. B -> y e. C ) <-> ( [. A / x ]. y e. B -> [. A / x ]. y e. C ) ) )
3		sbcel2g 3080	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. y e. B <-> y e. [_ A / x ]_ B ) )
4		sbcel2g 3080	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. y e. C <-> y e. [_ A / x ]_ C ) )
5	3, 4	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( ( [. A / x ]. y e. B -> [. A / x ]. y e. C ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ B -> y e. [_ A / x ]_ C ) ) )
6	2, 5	bitrd 188	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( y e. B -> y e. C ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ B -> y e. [_ A / x ]_ C ) ) )
7	6	albidv 1824	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. y [. A / x ]. ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ B -> y e. [_ A / x ]_ C ) ) )
8	1, 7	bitrd 188	. 2 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. A. y ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ B -> y e. [_ A / x ]_ C ) ) )
9		dfss2 3146	. . 3 |- ( B C_ C <-> A. y ( y e. B -> y e. C ) )
10	9	sbcbii 3024	. 2 |- ( [. A / x ]. B C_ C <-> [. A / x ]. A. y ( y e. B -> y e. C ) )
11		dfss2 3146	. 2 |- ( [_ A / x ]_ B C_ [_ A / x ]_ C <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ B -> y e. [_ A / x ]_ C ) )
12	8, 10, 11	3bitr4g 223	1 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. B C_ C <-> [_ A / x ]_ B C_ [_ A / x ]_ C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1351   e. wcel 2148   [.wsbc 2964   [_csb 3059   C_ wss 3131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-in 3137  df-ss 3144

This theorem is referenced by:  sbcrel  4714  sbcfg  5366