Theorem sbcssg 3555

Description: Distribute proper substitution through a subclass relation. (Contributed by Alan Sare, 22-Jul-2012.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
sbcssg	|- ( A e. V -> ( [. A / x ]. B C_ C <-> [_ A / x ]_ B C_ [_ A / x ]_ C ) )

Proof of Theorem sbcssg

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbcalg 3038	. . 3 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. A. y ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y [. A / x ]. ( y e. B -> y e. C ) ) )
2		sbcimg 3027	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( y e. B -> y e. C ) <-> ( [. A / x ]. y e. B -> [. A / x ]. y e. C ) ) )
3		sbcel2g 3101	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. y e. B <-> y e. [_ A / x ]_ B ) )
4		sbcel2g 3101	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. y e. C <-> y e. [_ A / x ]_ C ) )
5	3, 4	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( ( [. A / x ]. y e. B -> [. A / x ]. y e. C ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ B -> y e. [_ A / x ]_ C ) ) )
6	2, 5	bitrd 188	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( y e. B -> y e. C ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ B -> y e. [_ A / x ]_ C ) ) )
7	6	albidv 1835	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. y [. A / x ]. ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ B -> y e. [_ A / x ]_ C ) ) )
8	1, 7	bitrd 188	. 2 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. A. y ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ B -> y e. [_ A / x ]_ C ) ) )
9		dfss2 3168	. . 3 |- ( B C_ C <-> A. y ( y e. B -> y e. C ) )
10	9	sbcbii 3045	. 2 |- ( [. A / x ]. B C_ C <-> [. A / x ]. A. y ( y e. B -> y e. C ) )
11		dfss2 3168	. 2 |- ( [_ A / x ]_ B C_ [_ A / x ]_ C <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ B -> y e. [_ A / x ]_ C ) )
12	8, 10, 11	3bitr4g 223	1 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. B C_ C <-> [_ A / x ]_ B C_ [_ A / x ]_ C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1362   e. wcel 2164   [.wsbc 2985   [_csb 3080   C_ wss 3153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-in 3159  df-ss 3166

This theorem is referenced by:  sbcrel  4745  sbcfg  5402