Theorem sbcssg 3518

Description: Distribute proper substitution through a subclass relation. (Contributed by Alan Sare, 22-Jul-2012.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
sbcssg	|- ( A e. V -> ( [. A / x ]. B C_ C <-> [_ A / x ]_ B C_ [_ A / x ]_ C ) )

Proof of Theorem sbcssg

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbcalg 3003	. . 3 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. A. y ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y [. A / x ]. ( y e. B -> y e. C ) ) )
2		sbcimg 2992	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( y e. B -> y e. C ) <-> ( [. A / x ]. y e. B -> [. A / x ]. y e. C ) ) )
3		sbcel2g 3066	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. y e. B <-> y e. [_ A / x ]_ B ) )
4		sbcel2g 3066	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. y e. C <-> y e. [_ A / x ]_ C ) )
5	3, 4	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( ( [. A / x ]. y e. B -> [. A / x ]. y e. C ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ B -> y e. [_ A / x ]_ C ) ) )
6	2, 5	bitrd 187	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( y e. B -> y e. C ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ B -> y e. [_ A / x ]_ C ) ) )
7	6	albidv 1812	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. y [. A / x ]. ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ B -> y e. [_ A / x ]_ C ) ) )
8	1, 7	bitrd 187	. 2 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. A. y ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ B -> y e. [_ A / x ]_ C ) ) )
9		dfss2 3131	. . 3 |- ( B C_ C <-> A. y ( y e. B -> y e. C ) )
10	9	sbcbii 3010	. 2 |- ( [. A / x ]. B C_ C <-> [. A / x ]. A. y ( y e. B -> y e. C ) )
11		dfss2 3131	. 2 |- ( [_ A / x ]_ B C_ [_ A / x ]_ C <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ B -> y e. [_ A / x ]_ C ) )
12	8, 10, 11	3bitr4g 222	1 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. B C_ C <-> [_ A / x ]_ B C_ [_ A / x ]_ C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1341   e. wcel 2136   [.wsbc 2951   [_csb 3045   C_ wss 3116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-in 3122  df-ss 3129

This theorem is referenced by:  sbcrel  4690  sbcfg  5336