Theorem dfiunv2 4001

Description: Define double indexed union. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfiunv2	|- U_ x e. A U_ y e. B C = { z | E. x e. A E. y e. B z e. C }

Distinct variable groups:   x, z   y, z   z, A   z, B   z, C

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   C( x, y)

Proof of Theorem dfiunv2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iun 3967	. . . 4 |- U_ y e. B C = { w | E. y e. B w e. C }
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( x e. A -> U_ y e. B C = { w | E. y e. B w e. C } )
3	2	iuneq2i 3983	. 2 |- U_ x e. A U_ y e. B C = U_ x e. A { w | E. y e. B w e. C }
4		df-iun 3967	. 2 |- U_ x e. A { w | E. y e. B w e. C } = { z | E. x e. A z e. { w | E. y e. B w e. C } }
5		vex 2802	. . . . 5 |- z e. _V
6		eleq1 2292	. . . . . 6 |- ( w = z -> ( w e. C <-> z e. C ) )
7	6	rexbidv 2531	. . . . 5 |- ( w = z -> ( E. y e. B w e. C <-> E. y e. B z e. C ) )
8	5, 7	elab 2947	. . . 4 |- ( z e. { w | E. y e. B w e. C } <-> E. y e. B z e. C )
9	8	rexbii 2537	. . 3 |- ( E. x e. A z e. { w | E. y e. B w e. C } <-> E. x e. A E. y e. B z e. C )
10	9	abbii 2345	. 2 |- { z | E. x e. A z e. { w | E. y e. B w e. C } } = { z | E. x e. A E. y e. B z e. C }
11	3, 4, 10	3eqtri 2254	1 |- U_ x e. A U_ y e. B C = { z | E. x e. A E. y e. B z e. C }

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   E.wrex 2509   U_ciun 3965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-in 3203  df-ss 3210  df-iun 3967

This theorem is referenced by: (None)