ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfiunv2 Unicode version

Theorem dfiunv2 3856
Description: Define double indexed union. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfiunv2  |-  U_ x  e.  A  U_ y  e.  B  C  =  {
z  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  e.  C }
Distinct variable groups:    x, z    y,
z    z, A    z, B    z, C
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    C( x, y)

Proof of Theorem dfiunv2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-iun 3822 . . . 4  |-  U_ y  e.  B  C  =  { w  |  E. y  e.  B  w  e.  C }
21a1i 9 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  U_ y  e.  B  C  =  { w  |  E. y  e.  B  w  e.  C } )
32iuneq2i 3838 . 2  |-  U_ x  e.  A  U_ y  e.  B  C  =  U_ x  e.  A  {
w  |  E. y  e.  B  w  e.  C }
4 df-iun 3822 . 2  |-  U_ x  e.  A  { w  |  E. y  e.  B  w  e.  C }  =  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  { w  |  E. y  e.  B  w  e.  C } }
5 vex 2692 . . . . 5  |-  z  e. 
_V
6 eleq1 2203 . . . . . 6  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  C  <->  z  e.  C ) )
76rexbidv 2439 . . . . 5  |-  ( w  =  z  ->  ( E. y  e.  B  w  e.  C  <->  E. y  e.  B  z  e.  C ) )
85, 7elab 2831 . . . 4  |-  ( z  e.  { w  |  E. y  e.  B  w  e.  C }  <->  E. y  e.  B  z  e.  C )
98rexbii 2445 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  { w  |  E. y  e.  B  w  e.  C }  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  e.  C )
109abbii 2256 . 2  |-  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  {
w  |  E. y  e.  B  w  e.  C } }  =  {
z  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  e.  C }
113, 4, 103eqtri 2165 1  |-  U_ x  e.  A  U_ y  e.  B  C  =  {
z  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  e.  C }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1332    e. wcel 1481   {cab 2126   E.wrex 2418   U_ciun 3820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-in 3081  df-ss 3088  df-iun 3822
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator