Theorem disj1 3501

Description: Two ways of saying that two classes are disjoint (have no members in common). (Contributed by NM, 19-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
disj1	|- ( ( A i^i B ) = (/) <-> A. x ( x e. A -> -. x e. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem disj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disj 3499	. 2 |- ( ( A i^i B ) = (/) <-> A. x e. A -. x e. B )
2		df-ral 2480	. 2 |- ( A. x e. A -. x e. B <-> A. x ( x e. A -> -. x e. B ) )
3	1, 2	bitri 184	1 |- ( ( A i^i B ) = (/) <-> A. x ( x e. A -> -. x e. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   i^i cin 3156   (/)c0 3450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-v 2765  df-dif 3159  df-in 3163  df-nul 3451

This theorem is referenced by:  reldisj  3502  disj3  3503  undif4  3513  disjsn  3684  funun  5302  fzodisj  10254