Theorem disj1 3465

Description: Two ways of saying that two classes are disjoint (have no members in common). (Contributed by NM, 19-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
disj1	|- ( ( A i^i B ) = (/) <-> A. x ( x e. A -> -. x e. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem disj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disj 3463	. 2 |- ( ( A i^i B ) = (/) <-> A. x e. A -. x e. B )
2		df-ral 2453	. 2 |- ( A. x e. A -. x e. B <-> A. x ( x e. A -> -. x e. B ) )
3	1, 2	bitri 183	1 |- ( ( A i^i B ) = (/) <-> A. x ( x e. A -> -. x e. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1346   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   i^i cin 3120   (/)c0 3414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-v 2732  df-dif 3123  df-in 3127  df-nul 3415

This theorem is referenced by:  reldisj  3466  disj3  3467  undif4  3477  disjsn  3645  funun  5242  fzodisj  10134