Theorem disj1 3519

Description: Two ways of saying that two classes are disjoint (have no members in common). (Contributed by NM, 19-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
disj1	|- ( ( A i^i B ) = (/) <-> A. x ( x e. A -> -. x e. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem disj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disj 3517	. 2 |- ( ( A i^i B ) = (/) <-> A. x e. A -. x e. B )
2		df-ral 2491	. 2 |- ( A. x e. A -. x e. B <-> A. x ( x e. A -> -. x e. B ) )
3	1, 2	bitri 184	1 |- ( ( A i^i B ) = (/) <-> A. x ( x e. A -> -. x e. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   i^i cin 3173   (/)c0 3468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-v 2778  df-dif 3176  df-in 3180  df-nul 3469

This theorem is referenced by:  reldisj  3520  disj3  3521  undif4  3531  disjsn  3705  funun  5334  fzodisj  10337  fzodisjsn  10341