Theorem disjsn 3751

Description: Intersection with the singleton of a non-member is disjoint. (Contributed by NM, 22-May-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 30-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
disjsn	|- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )

Proof of Theorem disjsn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disj1 3559	. 2 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> A. x ( x e. A -> -. x e. { B } ) )
2		con2b 675	. . . 4 |- ( ( x e. A -> -. x e. { B } ) <-> ( x e. { B } -> -. x e. A ) )
3		velsn 3706	. . . . 5 |- ( x e. { B } <-> x = B )
4	3	imbi1i 238	. . . 4 |- ( ( x e. { B } -> -. x e. A ) <-> ( x = B -> -. x e. A ) )
5		imnan 697	. . . 4 |- ( ( x = B -> -. x e. A ) <-> -. ( x = B /\ x e. A ) )
6	2, 4, 5	3bitri 206	. . 3 |- ( ( x e. A -> -. x e. { B } ) <-> -. ( x = B /\ x e. A ) )
7	6	albii 1519	. 2 |- ( A. x ( x e. A -> -. x e. { B } ) <-> A. x -. ( x = B /\ x e. A ) )
8		alnex 1548	. . 3 |- ( A. x -. ( x = B /\ x e. A ) <-> -. E. x ( x = B /\ x e. A ) )
9		df-clel 2228	. . 3 |- ( B e. A <-> E. x ( x = B /\ x e. A ) )
10	8, 9	xchbinxr 690	. 2 |- ( A. x -. ( x = B /\ x e. A ) <-> -. B e. A )
11	1, 7, 10	3bitri 206	1 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   i^i cin 3210   (/)c0 3508   {csn 3689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-v 2815  df-dif 3213  df-in 3217  df-nul 3509  df-sn 3695

This theorem is referenced by:  disjsn2  3752  ssdifsn  3821  opwo0id  4365  orddisj  4668  ndmima  5139  funtpg  5407  fnunsn  5465  ressnop0  5865  ftpg  5868  fsnunf  5884  fsnunfv  5885  enpr2d  7064  phpm  7120  fiunsnnn  7138  ac6sfi  7155  unsnfi  7179  tpfidisj  7189  iunfidisj  7213  mapfi  7214  pm54.43  7487  dju1en  7520  fzpreddisj  10405  fzp1disj  10414  frecfzennn  10788  hashunsng  11172  hashxp  11191  hashmap  11192  hashfibclem  11206  fsumsplitsn  12096  sumtp  12100  fsumsplitsnun  12105  fsum2dlemstep  12120  fsumconst  12140  fsumabs  12151  fsumiun  12163  fprodm1  12284  fprodunsn  12290  fprod2dlemstep  12308  fprodsplitsn  12319  bitsinv1  12648  ennnfonelemhf1o  13164  structcnvcnv  13228  fsumcncntop  15432  dvmptfsum  15590  perfectlem2  15868  p1evtxdeqfilem  16306  trlsegvdegfi  16462  gfsump1  16868