Theorem disjsn 3580

Description: Intersection with the singleton of a non-member is disjoint. (Contributed by NM, 22-May-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 30-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
disjsn	|- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )

Proof of Theorem disjsn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disj1 3408	. 2 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> A. x ( x e. A -> -. x e. { B } ) )
2		con2b 658	. . . 4 |- ( ( x e. A -> -. x e. { B } ) <-> ( x e. { B } -> -. x e. A ) )
3		velsn 3539	. . . . 5 |- ( x e. { B } <-> x = B )
4	3	imbi1i 237	. . . 4 |- ( ( x e. { B } -> -. x e. A ) <-> ( x = B -> -. x e. A ) )
5		imnan 679	. . . 4 |- ( ( x = B -> -. x e. A ) <-> -. ( x = B /\ x e. A ) )
6	2, 4, 5	3bitri 205	. . 3 |- ( ( x e. A -> -. x e. { B } ) <-> -. ( x = B /\ x e. A ) )
7	6	albii 1446	. 2 |- ( A. x ( x e. A -> -. x e. { B } ) <-> A. x -. ( x = B /\ x e. A ) )
8		alnex 1475	. . 3 |- ( A. x -. ( x = B /\ x e. A ) <-> -. E. x ( x = B /\ x e. A ) )
9		df-clel 2133	. . 3 |- ( B e. A <-> E. x ( x = B /\ x e. A ) )
10	8, 9	xchbinxr 672	. 2 |- ( A. x -. ( x = B /\ x e. A ) <-> -. B e. A )
11	1, 7, 10	3bitri 205	1 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1329   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   i^i cin 3065   (/)c0 3358   {csn 3522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-v 2683  df-dif 3068  df-in 3072  df-nul 3359  df-sn 3528

This theorem is referenced by:  disjsn2  3581  ssdifsn  3646  orddisj  4456  ndmima  4911  funtpg  5169  fnunsn  5225  ressnop0  5594  ftpg  5597  fsnunf  5613  fsnunfv  5614  enpr2d  6704  phpm  6752  fiunsnnn  6768  ac6sfi  6785  unsnfi  6800  tpfidisj  6809  iunfidisj  6827  pm54.43  7039  dju1en  7062  fzpreddisj  9844  fzp1disj  9853  frecfzennn  10192  hashunsng  10546  hashxp  10565  fsumsplitsn  11172  sumtp  11176  fsumsplitsnun  11181  fsum2dlemstep  11196  fsumconst  11216  fsumabs  11227  fsumiun  11239  ennnfonelemhf1o  11915  structcnvcnv  11964  fsumcncntop  12714