Theorem disjsn 3695

Description: Intersection with the singleton of a non-member is disjoint. (Contributed by NM, 22-May-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 30-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
disjsn	|- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )

Proof of Theorem disjsn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disj1 3511	. 2 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> A. x ( x e. A -> -. x e. { B } ) )
2		con2b 671	. . . 4 |- ( ( x e. A -> -. x e. { B } ) <-> ( x e. { B } -> -. x e. A ) )
3		velsn 3650	. . . . 5 |- ( x e. { B } <-> x = B )
4	3	imbi1i 238	. . . 4 |- ( ( x e. { B } -> -. x e. A ) <-> ( x = B -> -. x e. A ) )
5		imnan 692	. . . 4 |- ( ( x = B -> -. x e. A ) <-> -. ( x = B /\ x e. A ) )
6	2, 4, 5	3bitri 206	. . 3 |- ( ( x e. A -> -. x e. { B } ) <-> -. ( x = B /\ x e. A ) )
7	6	albii 1493	. 2 |- ( A. x ( x e. A -> -. x e. { B } ) <-> A. x -. ( x = B /\ x e. A ) )
8		alnex 1522	. . 3 |- ( A. x -. ( x = B /\ x e. A ) <-> -. E. x ( x = B /\ x e. A ) )
9		df-clel 2201	. . 3 |- ( B e. A <-> E. x ( x = B /\ x e. A ) )
10	8, 9	xchbinxr 685	. 2 |- ( A. x -. ( x = B /\ x e. A ) <-> -. B e. A )
11	1, 7, 10	3bitri 206	1 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   i^i cin 3165   (/)c0 3460   {csn 3633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-v 2774  df-dif 3168  df-in 3172  df-nul 3461  df-sn 3639

This theorem is referenced by:  disjsn2  3696  ssdifsn  3761  opwo0id  4294  orddisj  4595  ndmima  5060  funtpg  5326  fnunsn  5384  ressnop0  5767  ftpg  5770  fsnunf  5786  fsnunfv  5787  enpr2d  6913  phpm  6964  fiunsnnn  6980  ac6sfi  6997  unsnfi  7018  tpfidisj  7028  iunfidisj  7050  pm54.43  7300  dju1en  7327  fzpreddisj  10195  fzp1disj  10204  frecfzennn  10573  hashunsng  10954  hashxp  10973  fsumsplitsn  11754  sumtp  11758  fsumsplitsnun  11763  fsum2dlemstep  11778  fsumconst  11798  fsumabs  11809  fsumiun  11821  fprodm1  11942  fprodunsn  11948  fprod2dlemstep  11966  fprodsplitsn  11977  bitsinv1  12306  ennnfonelemhf1o  12817  structcnvcnv  12881  fsumcncntop  15072  dvmptfsum  15230  perfectlem2  15505