Theorem undif4 3471

Description: Distribute union over difference. (Contributed by NM, 17-May-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
undif4	|- ( ( A i^i C ) = (/) -> ( A u. ( B \ C ) ) = ( ( A u. B ) \ C ) )

Proof of Theorem undif4

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.621 737	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( ( x e. A \/ -. x e. C ) -> -. x e. C ) )
2		olc 701	. . . . . . 7 |- ( -. x e. C -> ( x e. A \/ -. x e. C ) )
3	1, 2	impbid1 141	. . . . . 6 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( ( x e. A \/ -. x e. C ) <-> -. x e. C ) )
4	3	anbi2d 460	. . . . 5 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( x e. A \/ -. x e. C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ -. x e. C ) ) )
5		eldif 3125	. . . . . . 7 |- ( x e. ( B \ C ) <-> ( x e. B /\ -. x e. C ) )
6	5	orbi2i 752	. . . . . 6 |- ( ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) <-> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
7		ordi 806	. . . . . 6 |- ( ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( x e. A \/ -. x e. C ) ) )
8	6, 7	bitri 183	. . . . 5 |- ( ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( x e. A \/ -. x e. C ) ) )
9		elun 3263	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
10	9	anbi1i 454	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ -. x e. C ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ -. x e. C ) )
11	4, 8, 10	3bitr4g 222	. . . 4 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) <-> ( x e. ( A u. B ) /\ -. x e. C ) ) )
12		elun 3263	. . . 4 |- ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) )
13		eldif 3125	. . . 4 |- ( x e. ( ( A u. B ) \ C ) <-> ( x e. ( A u. B ) /\ -. x e. C ) )
14	11, 12, 13	3bitr4g 222	. . 3 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> x e. ( ( A u. B ) \ C ) ) )
15	14	alimi 1443	. 2 |- ( A. x ( x e. A -> -. x e. C ) -> A. x ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> x e. ( ( A u. B ) \ C ) ) )
16		disj1 3459	. 2 |- ( ( A i^i C ) = (/) <-> A. x ( x e. A -> -. x e. C ) )
17		dfcleq 2159	. 2 |- ( ( A u. ( B \ C ) ) = ( ( A u. B ) \ C ) <-> A. x ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> x e. ( ( A u. B ) \ C ) ) )
18	15, 16, 17	3imtr4i 200	1 |- ( ( A i^i C ) = (/) -> ( A u. ( B \ C ) ) = ( ( A u. B ) \ C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   A.wal 1341   = wceq 1343   e. wcel 2136   \ cdif 3113   u. cun 3114   i^i cin 3115   (/)c0 3409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-nul 3410

This theorem is referenced by:  phplem1  6818