Theorem undif4 3514

Description: Distribute union over difference. (Contributed by NM, 17-May-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
undif4	|- ( ( A i^i C ) = (/) -> ( A u. ( B \ C ) ) = ( ( A u. B ) \ C ) )

Proof of Theorem undif4

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.621 748	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( ( x e. A \/ -. x e. C ) -> -. x e. C ) )
2		olc 712	. . . . . . 7 |- ( -. x e. C -> ( x e. A \/ -. x e. C ) )
3	1, 2	impbid1 142	. . . . . 6 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( ( x e. A \/ -. x e. C ) <-> -. x e. C ) )
4	3	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( x e. A \/ -. x e. C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ -. x e. C ) ) )
5		eldif 3166	. . . . . . 7 |- ( x e. ( B \ C ) <-> ( x e. B /\ -. x e. C ) )
6	5	orbi2i 763	. . . . . 6 |- ( ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) <-> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
7		ordi 817	. . . . . 6 |- ( ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( x e. A \/ -. x e. C ) ) )
8	6, 7	bitri 184	. . . . 5 |- ( ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( x e. A \/ -. x e. C ) ) )
9		elun 3305	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
10	9	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ -. x e. C ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ -. x e. C ) )
11	4, 8, 10	3bitr4g 223	. . . 4 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) <-> ( x e. ( A u. B ) /\ -. x e. C ) ) )
12		elun 3305	. . . 4 |- ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) )
13		eldif 3166	. . . 4 |- ( x e. ( ( A u. B ) \ C ) <-> ( x e. ( A u. B ) /\ -. x e. C ) )
14	11, 12, 13	3bitr4g 223	. . 3 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> x e. ( ( A u. B ) \ C ) ) )
15	14	alimi 1469	. 2 |- ( A. x ( x e. A -> -. x e. C ) -> A. x ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> x e. ( ( A u. B ) \ C ) ) )
16		disj1 3502	. 2 |- ( ( A i^i C ) = (/) <-> A. x ( x e. A -> -. x e. C ) )
17		dfcleq 2190	. 2 |- ( ( A u. ( B \ C ) ) = ( ( A u. B ) \ C ) <-> A. x ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> x e. ( ( A u. B ) \ C ) ) )
18	15, 16, 17	3imtr4i 201	1 |- ( ( A i^i C ) = (/) -> ( A u. ( B \ C ) ) = ( ( A u. B ) \ C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2167   \ cdif 3154   u. cun 3155   i^i cin 3156   (/)c0 3451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-nul 3452

This theorem is referenced by:  phplem1  6922