Theorem undif4 3389

Description: Distribute union over difference. (Contributed by NM, 17-May-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
undif4	|- ( ( A i^i C ) = (/) -> ( A u. ( B \ C ) ) = ( ( A u. B ) \ C ) )

Proof of Theorem undif4

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.621 719	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( ( x e. A \/ -. x e. C ) -> -. x e. C ) )
2		olc 683	. . . . . . 7 |- ( -. x e. C -> ( x e. A \/ -. x e. C ) )
3	1, 2	impbid1 141	. . . . . 6 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( ( x e. A \/ -. x e. C ) <-> -. x e. C ) )
4	3	anbi2d 457	. . . . 5 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( x e. A \/ -. x e. C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ -. x e. C ) ) )
5		eldif 3044	. . . . . . 7 |- ( x e. ( B \ C ) <-> ( x e. B /\ -. x e. C ) )
6	5	orbi2i 734	. . . . . 6 |- ( ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) <-> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
7		ordi 788	. . . . . 6 |- ( ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( x e. A \/ -. x e. C ) ) )
8	6, 7	bitri 183	. . . . 5 |- ( ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( x e. A \/ -. x e. C ) ) )
9		elun 3181	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
10	9	anbi1i 451	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ -. x e. C ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ -. x e. C ) )
11	4, 8, 10	3bitr4g 222	. . . 4 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) <-> ( x e. ( A u. B ) /\ -. x e. C ) ) )
12		elun 3181	. . . 4 |- ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) )
13		eldif 3044	. . . 4 |- ( x e. ( ( A u. B ) \ C ) <-> ( x e. ( A u. B ) /\ -. x e. C ) )
14	11, 12, 13	3bitr4g 222	. . 3 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> x e. ( ( A u. B ) \ C ) ) )
15	14	alimi 1412	. 2 |- ( A. x ( x e. A -> -. x e. C ) -> A. x ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> x e. ( ( A u. B ) \ C ) ) )
16		disj1 3377	. 2 |- ( ( A i^i C ) = (/) <-> A. x ( x e. A -> -. x e. C ) )
17		dfcleq 2107	. 2 |- ( ( A u. ( B \ C ) ) = ( ( A u. B ) \ C ) <-> A. x ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> x e. ( ( A u. B ) \ C ) ) )
18	15, 16, 17	3imtr4i 200	1 |- ( ( A i^i C ) = (/) -> ( A u. ( B \ C ) ) = ( ( A u. B ) \ C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 680   A.wal 1310   = wceq 1312   e. wcel 1461   \ cdif 3032   u. cun 3033   i^i cin 3034   (/)c0 3327

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-v 2657  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-nul 3328

This theorem is referenced by:  phplem1  6697