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Theorem undif4 3342
Description: Distribute union over difference. (Contributed by NM, 17-May-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
undif4  |-  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( A  u.  ( B  \  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  \  C
) )

Proof of Theorem undif4
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2.621 701 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C
)  ->  ( (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  C
)  ->  -.  x  e.  C ) )
2 olc 667 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  C  -> 
( x  e.  A  \/  -.  x  e.  C
) )
31, 2impbid1 140 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C
)  ->  ( (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  C
)  <->  -.  x  e.  C ) )
43anbi2d 452 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C
)  ->  ( (
( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  C )
)  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  -.  x  e.  C )
) )
5 eldif 3006 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( B  \  C )  <->  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) )
65orbi2i 714 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  A  \/  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
7 ordi 765 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) )  <->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  C
) ) )
86, 7bitri 182 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C ) )  <->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  C
) ) )
9 elun 3139 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
109anbi1i 446 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  -.  x  e.  C
)  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  -.  x  e.  C )
)
114, 8, 103bitr4g 221 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C
)  ->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  -.  x  e.  C ) ) )
12 elun 3139 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C
) ) )
13 eldif 3006 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( A  u.  B )  \  C )  <->  ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  -.  x  e.  C ) )
1411, 12, 133bitr4g 221 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C
)  ->  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <-> 
x  e.  ( ( A  u.  B ) 
\  C ) ) )
1514alimi 1389 . 2  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C )  ->  A. x
( x  e.  ( A  u.  ( B 
\  C ) )  <-> 
x  e.  ( ( A  u.  B ) 
\  C ) ) )
16 disj1 3330 . 2  |-  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  <->  A. x ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C )
)
17 dfcleq 2082 . 2  |-  ( ( A  u.  ( B 
\  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  \  C )  <->  A. x
( x  e.  ( A  u.  ( B 
\  C ) )  <-> 
x  e.  ( ( A  u.  B ) 
\  C ) ) )
1815, 16, 173imtr4i 199 1  |-  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( A  u.  ( B  \  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  \  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664   A.wal 1287    = wceq 1289    e. wcel 1438    \ cdif 2994    u. cun 2995    i^i cin 2996   (/)c0 3284
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-nul 3285
This theorem is referenced by:  phplem1  6548
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