Theorem funun 5402

Description: The union of functions with disjoint domains is a function. Theorem 4.6 of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
funun	|- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> Fun ( F u. G ) )

Proof of Theorem funun

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 5374	. . . . 5 |- ( Fun F -> Rel F )
2		funrel 5374	. . . . 5 |- ( Fun G -> Rel G )
3	1, 2	anim12i 338	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> ( Rel F /\ Rel G ) )
4		relun 4874	. . . 4 |- ( Rel ( F u. G ) <-> ( Rel F /\ Rel G ) )
5	3, 4	sylibr 134	. . 3 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> Rel ( F u. G ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> Rel ( F u. G ) )
7		elun 3364	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( F u. G ) <-> ( <. x , y >. e. F \/ <. x , y >. e. G ) )
8		elun 3364	. . . . . . . 8 |- ( <. x , z >. e. ( F u. G ) <-> ( <. x , z >. e. F \/ <. x , z >. e. G ) )
9	7, 8	anbi12i 460	. . . . . . 7 |- ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) <-> ( ( <. x , y >. e. F \/ <. x , y >. e. G ) /\ ( <. x , z >. e. F \/ <. x , z >. e. G ) ) )
10		anddi 829	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. x , y >. e. F \/ <. x , y >. e. G ) /\ ( <. x , z >. e. F \/ <. x , z >. e. G ) ) <-> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) \/ ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) )
11	9, 10	bitri 184	. . . . . 6 |- ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) <-> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) \/ ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) )
12		disj1 3563	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) <-> A. x ( x e. dom F -> -. x e. dom G ) )
13	12	biimpi 120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> A. x ( x e. dom F -> -. x e. dom G ) )
14	13	19.21bi 1607	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( x e. dom F -> -. x e. dom G ) )
15		imnan 697	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. dom F -> -. x e. dom G ) <-> -. ( x e. dom F /\ x e. dom G ) )
16	14, 15	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> -. ( x e. dom F /\ x e. dom G ) )
17		vex 2818	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
18		vex 2818	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
19	17, 18	opeldm 4964	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. e. F -> x e. dom F )
20		vex 2818	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
21	17, 20	opeldm 4964	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , z >. e. G -> x e. dom G )
22	19, 21	anim12i 338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) -> ( x e. dom F /\ x e. dom G ) )
23	16, 22	nsyl 633	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> -. ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) )
24		orel2 734	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) -> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) ) )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) ) )
26	14	con2d 629	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( x e. dom G -> -. x e. dom F ) )
27		imnan 697	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. dom G -> -. x e. dom F ) <-> -. ( x e. dom G /\ x e. dom F ) )
28	26, 27	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> -. ( x e. dom G /\ x e. dom F ) )
29	17, 18	opeldm 4964	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. e. G -> x e. dom G )
30	17, 20	opeldm 4964	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , z >. e. F -> x e. dom F )
31	29, 30	anim12i 338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) -> ( x e. dom G /\ x e. dom F ) )
32	28, 31	nsyl 633	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> -. ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) )
33		orel1 733	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) -> ( ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) )
35	25, 34	orim12d 794	. . . . . . 7 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) \/ ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) -> ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) )
36	35	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) \/ ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) -> ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) )
37	11, 36	biimtrid 152	. . . . 5 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) )
38		dffun4 5368	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) )
39	38	simprbi 275	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) )
40	39	19.21bi 1607	. . . . . . . 8 |- ( Fun F -> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) )
41	40	19.21bbi 1608	. . . . . . 7 |- ( Fun F -> ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) )
42		dffun4 5368	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun G <-> ( Rel G /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) -> y = z ) ) )
43	42	simprbi 275	. . . . . . . . 9 |- ( Fun G -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) -> y = z ) )
44	43	19.21bi 1607	. . . . . . . 8 |- ( Fun G -> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) -> y = z ) )
45	44	19.21bbi 1608	. . . . . . 7 |- ( Fun G -> ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) -> y = z ) )
46	41, 45	jaao 727	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) -> y = z ) )
47	46	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) -> y = z ) )
48	37, 47	syld 45	. . . 4 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> y = z ) )
49	48	alrimiv 1923	. . 3 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> A. z ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> y = z ) )
50	49	alrimivv 1924	. 2 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> y = z ) )
51		dffun4 5368	. 2 |- ( Fun ( F u. G ) <-> ( Rel ( F u. G ) /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> y = z ) ) )
52	6, 50, 51	sylanbrc 417	1 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> Fun ( F u. G ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2205   u. cun 3212   i^i cin 3213   (/)c0 3512   <.cop 3697   dom cdm 4754   Rel wrel 4759   Fun wfun 5351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-fun 5359

This theorem is referenced by:  funprg  5411  funtpg  5412  funtp  5414  fnun  5469  fvun1  5748  sbthlem7  7246  sbthlemi8  7247  casefun  7389  caseinj  7393  djufun  7408  djuinj  7410  exmidfodomrlemim  7517  setsfun  13331  setsfun0  13332  strleund  13400  strleun  13401