Theorem funun 5314

Description: The union of functions with disjoint domains is a function. Theorem 4.6 of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
funun	|- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> Fun ( F u. G ) )

Proof of Theorem funun

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 5287	. . . . 5 |- ( Fun F -> Rel F )
2		funrel 5287	. . . . 5 |- ( Fun G -> Rel G )
3	1, 2	anim12i 338	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> ( Rel F /\ Rel G ) )
4		relun 4791	. . . 4 |- ( Rel ( F u. G ) <-> ( Rel F /\ Rel G ) )
5	3, 4	sylibr 134	. . 3 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> Rel ( F u. G ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> Rel ( F u. G ) )
7		elun 3313	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( F u. G ) <-> ( <. x , y >. e. F \/ <. x , y >. e. G ) )
8		elun 3313	. . . . . . . 8 |- ( <. x , z >. e. ( F u. G ) <-> ( <. x , z >. e. F \/ <. x , z >. e. G ) )
9	7, 8	anbi12i 460	. . . . . . 7 |- ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) <-> ( ( <. x , y >. e. F \/ <. x , y >. e. G ) /\ ( <. x , z >. e. F \/ <. x , z >. e. G ) ) )
10		anddi 822	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. x , y >. e. F \/ <. x , y >. e. G ) /\ ( <. x , z >. e. F \/ <. x , z >. e. G ) ) <-> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) \/ ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) )
11	9, 10	bitri 184	. . . . . 6 |- ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) <-> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) \/ ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) )
12		disj1 3510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) <-> A. x ( x e. dom F -> -. x e. dom G ) )
13	12	biimpi 120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> A. x ( x e. dom F -> -. x e. dom G ) )
14	13	19.21bi 1580	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( x e. dom F -> -. x e. dom G ) )
15		imnan 691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. dom F -> -. x e. dom G ) <-> -. ( x e. dom F /\ x e. dom G ) )
16	14, 15	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> -. ( x e. dom F /\ x e. dom G ) )
17		vex 2774	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
18		vex 2774	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
19	17, 18	opeldm 4880	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. e. F -> x e. dom F )
20		vex 2774	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
21	17, 20	opeldm 4880	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , z >. e. G -> x e. dom G )
22	19, 21	anim12i 338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) -> ( x e. dom F /\ x e. dom G ) )
23	16, 22	nsyl 629	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> -. ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) )
24		orel2 727	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) -> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) ) )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) ) )
26	14	con2d 625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( x e. dom G -> -. x e. dom F ) )
27		imnan 691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. dom G -> -. x e. dom F ) <-> -. ( x e. dom G /\ x e. dom F ) )
28	26, 27	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> -. ( x e. dom G /\ x e. dom F ) )
29	17, 18	opeldm 4880	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. e. G -> x e. dom G )
30	17, 20	opeldm 4880	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , z >. e. F -> x e. dom F )
31	29, 30	anim12i 338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) -> ( x e. dom G /\ x e. dom F ) )
32	28, 31	nsyl 629	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> -. ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) )
33		orel1 726	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) -> ( ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) )
35	25, 34	orim12d 787	. . . . . . 7 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) \/ ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) -> ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) )
36	35	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) \/ ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) -> ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) )
37	11, 36	biimtrid 152	. . . . 5 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) )
38		dffun4 5281	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) )
39	38	simprbi 275	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) )
40	39	19.21bi 1580	. . . . . . . 8 |- ( Fun F -> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) )
41	40	19.21bbi 1581	. . . . . . 7 |- ( Fun F -> ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) )
42		dffun4 5281	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun G <-> ( Rel G /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) -> y = z ) ) )
43	42	simprbi 275	. . . . . . . . 9 |- ( Fun G -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) -> y = z ) )
44	43	19.21bi 1580	. . . . . . . 8 |- ( Fun G -> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) -> y = z ) )
45	44	19.21bbi 1581	. . . . . . 7 |- ( Fun G -> ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) -> y = z ) )
46	41, 45	jaao 720	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) -> y = z ) )
47	46	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) -> y = z ) )
48	37, 47	syld 45	. . . 4 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> y = z ) )
49	48	alrimiv 1896	. . 3 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> A. z ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> y = z ) )
50	49	alrimivv 1897	. 2 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> y = z ) )
51		dffun4 5281	. 2 |- ( Fun ( F u. G ) <-> ( Rel ( F u. G ) /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> y = z ) ) )
52	6, 50, 51	sylanbrc 417	1 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> Fun ( F u. G ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   A.wal 1370   = wceq 1372   e. wcel 2175   u. cun 3163   i^i cin 3164   (/)c0 3459   <.cop 3635   dom cdm 4674   Rel wrel 4679   Fun wfun 5264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-fun 5272

This theorem is referenced by:  funprg  5323  funtpg  5324  funtp  5326  fnun  5381  fvun1  5644  sbthlem7  7064  sbthlemi8  7065  casefun  7186  caseinj  7190  djufun  7205  djuinj  7207  exmidfodomrlemim  7308  setsfun  12809  setsfun0  12810  strleund  12877  strleun  12878