Theorem funun 5417

Description: The union of functions with disjoint domains is a function. Theorem 4.6 of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
funun	|- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> Fun ( F u. G ) )

Proof of Theorem funun

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 5389	. . . . 5 |- ( Fun F -> Rel F )
2		funrel 5389	. . . . 5 |- ( Fun G -> Rel G )
3	1, 2	anim12i 338	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> ( Rel F /\ Rel G ) )
4		relun 4889	. . . 4 |- ( Rel ( F u. G ) <-> ( Rel F /\ Rel G ) )
5	3, 4	sylibr 134	. . 3 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> Rel ( F u. G ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> Rel ( F u. G ) )
7		elun 3370	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( F u. G ) <-> ( <. x , y >. e. F \/ <. x , y >. e. G ) )
8		elun 3370	. . . . . . . 8 |- ( <. x , z >. e. ( F u. G ) <-> ( <. x , z >. e. F \/ <. x , z >. e. G ) )
9	7, 8	anbi12i 464	. . . . . . 7 |- ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) <-> ( ( <. x , y >. e. F \/ <. x , y >. e. G ) /\ ( <. x , z >. e. F \/ <. x , z >. e. G ) ) )
10		anddi 833	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. x , y >. e. F \/ <. x , y >. e. G ) /\ ( <. x , z >. e. F \/ <. x , z >. e. G ) ) <-> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) \/ ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) )
11	9, 10	bitri 184	. . . . . 6 |- ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) <-> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) \/ ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) )
12		disj1 3574	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) <-> A. x ( x e. dom F -> -. x e. dom G ) )
13	12	biimpi 120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> A. x ( x e. dom F -> -. x e. dom G ) )
14	13	19.21bi 1611	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( x e. dom F -> -. x e. dom G ) )
15		imnan 701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. dom F -> -. x e. dom G ) <-> -. ( x e. dom F /\ x e. dom G ) )
16	14, 15	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> -. ( x e. dom F /\ x e. dom G ) )
17		vex 2824	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
18		vex 2824	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
19	17, 18	opeldm 4979	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. e. F -> x e. dom F )
20		vex 2824	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
21	17, 20	opeldm 4979	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , z >. e. G -> x e. dom G )
22	19, 21	anim12i 338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) -> ( x e. dom F /\ x e. dom G ) )
23	16, 22	nsyl 637	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> -. ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) )
24		orel2 738	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) -> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) ) )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) ) )
26	14	con2d 633	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( x e. dom G -> -. x e. dom F ) )
27		imnan 701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. dom G -> -. x e. dom F ) <-> -. ( x e. dom G /\ x e. dom F ) )
28	26, 27	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> -. ( x e. dom G /\ x e. dom F ) )
29	17, 18	opeldm 4979	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. e. G -> x e. dom G )
30	17, 20	opeldm 4979	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , z >. e. F -> x e. dom F )
31	29, 30	anim12i 338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) -> ( x e. dom G /\ x e. dom F ) )
32	28, 31	nsyl 637	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> -. ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) )
33		orel1 737	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) -> ( ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) )
35	25, 34	orim12d 798	. . . . . . 7 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) \/ ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) -> ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) )
36	35	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) \/ ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) -> ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) )
37	11, 36	biimtrid 152	. . . . 5 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) )
38		dffun4 5383	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) )
39	38	simprbi 275	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) )
40	39	19.21bi 1611	. . . . . . . 8 |- ( Fun F -> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) )
41	40	19.21bbi 1612	. . . . . . 7 |- ( Fun F -> ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) )
42		dffun4 5383	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun G <-> ( Rel G /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) -> y = z ) ) )
43	42	simprbi 275	. . . . . . . . 9 |- ( Fun G -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) -> y = z ) )
44	43	19.21bi 1611	. . . . . . . 8 |- ( Fun G -> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) -> y = z ) )
45	44	19.21bbi 1612	. . . . . . 7 |- ( Fun G -> ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) -> y = z ) )
46	41, 45	jaao 731	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) -> y = z ) )
47	46	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) -> y = z ) )
48	37, 47	syld 45	. . . 4 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> y = z ) )
49	48	alrimiv 1927	. . 3 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> A. z ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> y = z ) )
50	49	alrimivv 1928	. 2 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> y = z ) )
51		dffun4 5383	. 2 |- ( Fun ( F u. G ) <-> ( Rel ( F u. G ) /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> y = z ) ) )
52	6, 50, 51	sylanbrc 421	1 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> Fun ( F u. G ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   A.wal 1400   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   i^i cin 3219   (/)c0 3520   <.cop 3708   dom cdm 4769   Rel wrel 4774   Fun wfun 5366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-fun 5374

This theorem is referenced by:  funprg  5426  funtpg  5427  funtp  5429  fnun  5484  fvun1  5763  sbthlem7  7270  sbthlemi8  7271  casefun  7415  caseinj  7419  djufun  7434  djuinj  7436  exmidfodomrlemim  7543  setsfun  13365  setsfun0  13366  strleund  13434  strleun  13435