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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > funun | Unicode version |
Description: The union of functions with disjoint domains is a function. Theorem 4.6 of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.) |
Ref | Expression |
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funun |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | funrel 5045 |
. . . . 5
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2 | funrel 5045 |
. . . . 5
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3 | 1, 2 | anim12i 332 |
. . . 4
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4 | relun 4567 |
. . . 4
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5 | 3, 4 | sylibr 133 |
. . 3
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6 | 5 | adantr 271 |
. 2
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7 | elun 3142 |
. . . . . . . 8
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8 | elun 3142 |
. . . . . . . 8
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9 | 7, 8 | anbi12i 449 |
. . . . . . 7
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10 | anddi 771 |
. . . . . . 7
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11 | 9, 10 | bitri 183 |
. . . . . 6
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12 | disj1 3337 |
. . . . . . . . . . . . 13
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13 | 12 | biimpi 119 |
. . . . . . . . . . . 12
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14 | 13 | 19.21bi 1496 |
. . . . . . . . . . 11
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15 | imnan 660 |
. . . . . . . . . . 11
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16 | 14, 15 | sylib 121 |
. . . . . . . . . 10
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17 | vex 2623 |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | vex 2623 |
. . . . . . . . . . . 12
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19 | 17, 18 | opeldm 4652 |
. . . . . . . . . . 11
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20 | vex 2623 |
. . . . . . . . . . . 12
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21 | 17, 20 | opeldm 4652 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | 19, 21 | anim12i 332 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 16, 22 | nsyl 594 |
. . . . . . . . 9
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24 | orel2 681 |
. . . . . . . . 9
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25 | 23, 24 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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26 | 14 | con2d 590 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | imnan 660 |
. . . . . . . . . . 11
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28 | 26, 27 | sylib 121 |
. . . . . . . . . 10
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29 | 17, 18 | opeldm 4652 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 17, 20 | opeldm 4652 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 29, 30 | anim12i 332 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 28, 31 | nsyl 594 |
. . . . . . . . 9
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33 | orel1 680 |
. . . . . . . . 9
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34 | 32, 33 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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35 | 25, 34 | orim12d 736 |
. . . . . . 7
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36 | 35 | adantl 272 |
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37 | 11, 36 | syl5bi 151 |
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38 | dffun4 5039 |
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39 | 38 | simprbi 270 |
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40 | 39 | 19.21bi 1496 |
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41 | 40 | 19.21bbi 1497 |
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42 | dffun4 5039 |
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43 | 42 | simprbi 270 |
. . . . . . . . 9
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44 | 43 | 19.21bi 1496 |
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45 | 44 | 19.21bbi 1497 |
. . . . . . 7
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46 | 41, 45 | jaao 675 |
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47 | 46 | adantr 271 |
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48 | 37, 47 | syld 45 |
. . . 4
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49 | 48 | alrimiv 1803 |
. . 3
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50 | 49 | alrimivv 1804 |
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51 | dffun4 5039 |
. 2
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52 | 6, 50, 51 | sylanbrc 409 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 580 ax-in2 581 ax-io 666 ax-5 1382 ax-7 1383 ax-gen 1384 ax-ie1 1428 ax-ie2 1429 ax-8 1441 ax-10 1442 ax-11 1443 ax-i12 1444 ax-bndl 1445 ax-4 1446 ax-14 1451 ax-17 1465 ax-i9 1469 ax-ial 1473 ax-i5r 1474 ax-ext 2071 ax-sep 3963 ax-pow 4015 ax-pr 4045 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 927 df-tru 1293 df-nf 1396 df-sb 1694 df-eu 1952 df-mo 1953 df-clab 2076 df-cleq 2082 df-clel 2085 df-nfc 2218 df-ral 2365 df-v 2622 df-dif 3002 df-un 3004 df-in 3006 df-ss 3013 df-nul 3288 df-pw 3435 df-sn 3456 df-pr 3457 df-op 3459 df-br 3852 df-opab 3906 df-id 4129 df-rel 4459 df-cnv 4460 df-co 4461 df-dm 4462 df-fun 5030 |
This theorem is referenced by: funprg 5077 funtpg 5078 funtp 5080 fnun 5133 fvun1 5383 sbthlem7 6726 sbthlemi8 6727 casefun 6830 caseinj 6834 djufun 6840 djuinj 6842 exmidfodomrlemim 6888 setsfun 11590 setsfun0 11591 strleund 11643 strleun 11644 |
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