Theorem iinss1 3878

Description: Subclass theorem for indexed union. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.)

Assertion

Ref	Expression
iinss1	|- ( A C_ B -> |^|_ x e. B C C_ |^|_ x e. A C )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem iinss1

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssralv 3206	. . 3 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B y e. C -> A. x e. A y e. C ) )
2		vex 2729	. . . 4 |- y e. _V
3		eliin 3871	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. B C <-> A. x e. B y e. C ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- ( y e. |^|_ x e. B C <-> A. x e. B y e. C )
5		eliin 3871	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A C <-> A. x e. A y e. C ) )
6	2, 5	ax-mp 5	. . 3 |- ( y e. |^|_ x e. A C <-> A. x e. A y e. C )
7	1, 4, 6	3imtr4g 204	. 2 |- ( A C_ B -> ( y e. |^|_ x e. B C -> y e. |^|_ x e. A C ) )
8	7	ssrdv 3148	1 |- ( A C_ B -> |^|_ x e. B C C_ |^|_ x e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 2136   A.wral 2444   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   |^|_ciin 3867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-v 2728  df-in 3122  df-ss 3129  df-iin 3869

This theorem is referenced by: (None)