Theorem ssrdv 3186

Description: Deduction based on subclass definition. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssrdv.1	|- ( ph -> ( x e. A -> x e. B ) )

Assertion

Ref	Expression
ssrdv	|- ( ph -> A C_ B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x

Proof of Theorem ssrdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrdv.1	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A -> x e. B ) )
2	1	alrimiv 1885	. 2 |- ( ph -> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
3		dfss2 3169	. 2 |- ( A C_ B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
4	2, 3	sylibr 134	1 |- ( ph -> A C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1362   e. wcel 2164   C_ wss 3154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-11 1517  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-in 3160  df-ss 3167

This theorem is referenced by:  eqelssd  3199  sscon  3294  ssdif  3295  unss1  3329  ssrin  3385  eq0rdv  3492  uniss  3857  intss1  3886  intmin  3891  intssunim  3893  iunss1  3924  iinss1  3925  ss2iun  3928  ssiun  3955  ssiun2  3956  iinss  3965  iinss2  3966  exmidundif  4236  exmidundifim  4237  sspwb  4246  tron  4414  ssorduni  4520  ordsson  4525  ordpwsucss  4600  xpsspw  4772  relop  4813  dmss  4862  dmcosseq  4934  ssrnres  5109  chfnrn  5670  ffnfv  5717  f1imass  5818  fo1stresm  6216  fo2ndresm  6217  oprssdmm  6226  fo2ndf  6282  reldmtpos  6308  smoiun  6356  tfrlemi14d  6388  tfr1onlemres  6404  tfri1dALT  6406  tfrcllemres  6417  dcdifsnid  6559  qsss  6650  pmss12g  6731  mapss  6747  ixpssmap2g  6783  ixpssmapg  6784  en2eqpr  6965  exmidpw  6966  exmidpweq  6967  onunsnss  6975  undifdcss  6981  ssfii  7035  fiss  7038  difinfsn  7161  addnqprlemrl  7619  addnqprlemru  7620  addnqprlemfl  7621  addnqprlemfu  7622  mulnqprlemrl  7635  mulnqprlemru  7636  mulnqprlemfl  7637  mulnqprlemfu  7638  distrlem1prl  7644  distrlem1pru  7645  distrlem5prl  7648  distrlem5pru  7649  ltprordil  7651  ltexprlemfl  7671  ltexprlemrl  7672  ltexprlemfu  7673  ltexprlemru  7674  addcanprleml  7676  addcanprlemu  7677  recexprlem1ssl  7695  recexprlem1ssu  7696  recexprlemss1l  7697  recexprlemss1u  7698  aptiprleml  7701  aptiprlemu  7702  cauappcvgprlemladdfu  7716  cauappcvgprlemladdfl  7717  cauappcvgprlemladdru  7718  cauappcvgprlemladdrl  7719  caucvgprlemladdfu  7739  caucvgprlemladdrl  7740  suplocexprlemss  7777  suplocexprlemex  7784  peano5uzti  9428  uzss  9616  ixxdisj  9972  ixxss1  9973  ixxss2  9974  ixxss12  9975  iocssre  10022  icossre  10023  iccssre  10024  icodisj  10061  fzss1  10132  fzss2  10133  fzoss1  10241  fzosplit  10247  fzouzsplit  10249  ssfzo12bi  10295  frecuzrdgtcl  10486  frecuzrdgdomlem  10491  sswrd  10926  ovshftex  10966  summodclem2a  11527  fsum3cvg3  11542  fsum2dlemstep  11580  prodmodclem2a  11722  fprod2dlemstep  11768  phimullem  12366  1arith  12508  ennnfonelemdm  12580  trivsubgsnd  13274  ssnmz  13284  trivnsgd  13290  kerf1ghm  13347  conjnmz  13352  unitssd  13608  subrguss  13735  unitrrg  13766  lsssssubg  13877  lssintclm  13883  zsssubrg  14084  mulgrhm2  14109  znrrg  14159  psrbaglesuppg  14169  bastg  14240  tgss  14242  tgtop  14247  tgidm  14253  neisspw  14327  topssnei  14341  tgrest  14348  ssrest  14361  cnss1  14405  cnss2  14406  cnsscnp  14408  cnrest2r  14416  txdis  14456  xblss2ps  14583  xblss2  14584  xmettxlem  14688  xmettx  14689  cncfss  14762  cnopnap  14790  dvfgg  14867  dvcj  14888