ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssrdv Unicode version

Theorem ssrdv 3073
Description: Deduction based on subclass definition. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)
Hypothesis
Ref Expression
ssrdv.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  B ) )
Assertion
Ref Expression
ssrdv  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x

Proof of Theorem ssrdv
StepHypRef Expression
1 ssrdv.1 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  B ) )
21alrimiv 1830 . 2  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  ->  x  e.  B ) )
3 dfss2 3056 . 2  |-  ( A 
C_  B  <->  A. x
( x  e.  A  ->  x  e.  B ) )
42, 3sylibr 133 1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   A.wal 1314    e. wcel 1465    C_ wss 3041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-11 1469  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-in 3047  df-ss 3054
This theorem is referenced by:  eqelssd  3086  sscon  3180  ssdif  3181  unss1  3215  ssrin  3271  eq0rdv  3377  uniss  3727  intss1  3756  intmin  3761  intssunim  3763  iunss1  3794  iinss1  3795  ss2iun  3798  ssiun  3825  ssiun2  3826  iinss  3834  iinss2  3835  exmidundif  4099  exmidundifim  4100  sspwb  4108  tron  4274  ssorduni  4373  ordsson  4378  ordpwsucss  4452  xpsspw  4621  relop  4659  dmss  4708  dmcosseq  4780  ssrnres  4951  chfnrn  5499  ffnfv  5546  f1imass  5643  fo1stresm  6027  fo2ndresm  6028  oprssdmm  6037  fo2ndf  6092  reldmtpos  6118  smoiun  6166  tfrlemi14d  6198  tfr1onlemres  6214  tfri1dALT  6216  tfrcllemres  6227  dcdifsnid  6368  qsss  6456  pmss12g  6537  mapss  6553  ixpssmap2g  6589  ixpssmapg  6590  en2eqpr  6769  exmidpw  6770  onunsnss  6773  undifdcss  6779  ssfii  6830  fiss  6833  difinfsn  6953  addnqprlemrl  7333  addnqprlemru  7334  addnqprlemfl  7335  addnqprlemfu  7336  mulnqprlemrl  7349  mulnqprlemru  7350  mulnqprlemfl  7351  mulnqprlemfu  7352  distrlem1prl  7358  distrlem1pru  7359  distrlem5prl  7362  distrlem5pru  7363  ltprordil  7365  ltexprlemfl  7385  ltexprlemrl  7386  ltexprlemfu  7387  ltexprlemru  7388  addcanprleml  7390  addcanprlemu  7391  recexprlem1ssl  7409  recexprlem1ssu  7410  recexprlemss1l  7411  recexprlemss1u  7412  aptiprleml  7415  aptiprlemu  7416  cauappcvgprlemladdfu  7430  cauappcvgprlemladdfl  7431  cauappcvgprlemladdru  7432  cauappcvgprlemladdrl  7433  caucvgprlemladdfu  7453  caucvgprlemladdrl  7454  suplocexprlemss  7491  suplocexprlemex  7498  peano5uzti  9127  uzss  9314  ixxdisj  9654  ixxss1  9655  ixxss2  9656  ixxss12  9657  iocssre  9704  icossre  9705  iccssre  9706  icodisj  9743  fzss1  9811  fzss2  9812  fzoss1  9916  fzosplit  9922  fzouzsplit  9924  ssfzo12bi  9970  frecuzrdgtcl  10153  frecuzrdgdomlem  10158  ovshftex  10559  summodclem2a  11118  fsum3cvg3  11133  fsum2dlemstep  11171  phimullem  11828  ennnfonelemdm  11860  bastg  12157  tgss  12159  tgtop  12164  tgidm  12170  neisspw  12244  topssnei  12258  tgrest  12265  ssrest  12278  cnss1  12322  cnss2  12323  cnsscnp  12325  cnrest2r  12333  txdis  12373  xblss2ps  12500  xblss2  12501  xmettxlem  12605  xmettx  12606  cncfss  12666  cnopnap  12690  dvfgg  12753  dvcj  12769
  Copyright terms: Public domain W3C validator