Theorem ssrdv 3108

Description: Deduction based on subclass definition. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssrdv.1	|- ( ph -> ( x e. A -> x e. B ) )

Assertion

Ref	Expression
ssrdv	|- ( ph -> A C_ B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x

Proof of Theorem ssrdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrdv.1	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A -> x e. B ) )
2	1	alrimiv 1847	. 2 |- ( ph -> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
3		dfss2 3091	. 2 |- ( A C_ B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
4	2, 3	sylibr 133	1 |- ( ph -> A C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1330   e. wcel 1481   C_ wss 3076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-11 1485  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-in 3082  df-ss 3089

This theorem is referenced by:  eqelssd  3121  sscon  3215  ssdif  3216  unss1  3250  ssrin  3306  eq0rdv  3412  uniss  3765  intss1  3794  intmin  3799  intssunim  3801  iunss1  3832  iinss1  3833  ss2iun  3836  ssiun  3863  ssiun2  3864  iinss  3872  iinss2  3873  exmidundif  4137  exmidundifim  4138  sspwb  4146  tron  4312  ssorduni  4411  ordsson  4416  ordpwsucss  4490  xpsspw  4659  relop  4697  dmss  4746  dmcosseq  4818  ssrnres  4989  chfnrn  5539  ffnfv  5586  f1imass  5683  fo1stresm  6067  fo2ndresm  6068  oprssdmm  6077  fo2ndf  6132  reldmtpos  6158  smoiun  6206  tfrlemi14d  6238  tfr1onlemres  6254  tfri1dALT  6256  tfrcllemres  6267  dcdifsnid  6408  qsss  6496  pmss12g  6577  mapss  6593  ixpssmap2g  6629  ixpssmapg  6630  en2eqpr  6809  exmidpw  6810  onunsnss  6813  undifdcss  6819  ssfii  6870  fiss  6873  difinfsn  6993  addnqprlemrl  7389  addnqprlemru  7390  addnqprlemfl  7391  addnqprlemfu  7392  mulnqprlemrl  7405  mulnqprlemru  7406  mulnqprlemfl  7407  mulnqprlemfu  7408  distrlem1prl  7414  distrlem1pru  7415  distrlem5prl  7418  distrlem5pru  7419  ltprordil  7421  ltexprlemfl  7441  ltexprlemrl  7442  ltexprlemfu  7443  ltexprlemru  7444  addcanprleml  7446  addcanprlemu  7447  recexprlem1ssl  7465  recexprlem1ssu  7466  recexprlemss1l  7467  recexprlemss1u  7468  aptiprleml  7471  aptiprlemu  7472  cauappcvgprlemladdfu  7486  cauappcvgprlemladdfl  7487  cauappcvgprlemladdru  7488  cauappcvgprlemladdrl  7489  caucvgprlemladdfu  7509  caucvgprlemladdrl  7510  suplocexprlemss  7547  suplocexprlemex  7554  peano5uzti  9183  uzss  9370  ixxdisj  9716  ixxss1  9717  ixxss2  9718  ixxss12  9719  iocssre  9766  icossre  9767  iccssre  9768  icodisj  9805  fzss1  9874  fzss2  9875  fzoss1  9979  fzosplit  9985  fzouzsplit  9987  ssfzo12bi  10033  frecuzrdgtcl  10216  frecuzrdgdomlem  10221  ovshftex  10623  summodclem2a  11182  fsum3cvg3  11197  fsum2dlemstep  11235  prodmodclem2a  11377  phimullem  11937  ennnfonelemdm  11969  bastg  12269  tgss  12271  tgtop  12276  tgidm  12282  neisspw  12356  topssnei  12370  tgrest  12377  ssrest  12390  cnss1  12434  cnss2  12435  cnsscnp  12437  cnrest2r  12445  txdis  12485  xblss2ps  12612  xblss2  12613  xmettxlem  12717  xmettx  12718  cncfss  12778  cnopnap  12802  dvfgg  12865  dvcj  12881