Theorem ssralv 3302

Description: Quantification restricted to a subclass. (Contributed by NM, 11-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ssralv	|- ( A C_ B -> ( A. x e. B ph -> A. x e. A ph ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem ssralv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3232	. . 3 |- ( A C_ B -> ( x e. A -> x e. B ) )
2	1	imim1d 75	. 2 |- ( A C_ B -> ( ( x e. B -> ph ) -> ( x e. A -> ph ) ) )
3	2	ralimdv2 2612	1 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B ph -> A. x e. A ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   A.wral 2520   C_ wss 3211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-ral 2525  df-in 3217  df-ss 3224

This theorem is referenced by:  iinss1  4003  poss  4419  sess2  4459  trssord  4501  funco  5392  funimaexglem  5439  isores3  5988  isoini2  5992  smores  6523  smores2  6525  tfrlem5  6545  resixp  6968  ac6sfi  7155  difinfinf  7392  peano5nnnn  8207  peano5nni  9240  caucvgre  11666  rexanuz  11673  cau3lem  11799  isumclim3  12109  fsumiun  12163  pcfac  13048  ctinf  13181  strsetsid  13245  imasaddfnlemg  13527  tgcn  15073  tgcnp  15074  cnss2  15092  cncnp  15095  sslm  15112  metrest  15371  rescncf  15446  suplociccex  15490  limcresi  15531  uspgr2wlkeq  16360  nninfsellemeq  16792