Theorem ssralv 3312

Description: Quantification restricted to a subclass. (Contributed by NM, 11-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ssralv	|- ( A C_ B -> ( A. x e. B ph -> A. x e. A ph ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem ssralv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3242	. . 3 |- ( A C_ B -> ( x e. A -> x e. B ) )
2	1	imim1d 75	. 2 |- ( A C_ B -> ( ( x e. B -> ph ) -> ( x e. A -> ph ) ) )
3	2	ralimdv2 2620	1 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B ph -> A. x e. A ph ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-ral 2533  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  iinss1  4024  poss  4445  sess2  4485  trssord  4527  funco  5420  funimaexglem  5467  isores3  6024  isoini2  6028  smores  6567  smores2  6569  tfrlem5  6589  resixp  7019  ac6sfi  7206  difinfinf  7447  peano5nnnn  8265  peano5nni  9316  flapcl  10728  flaplelt  10730  caucvgre  11769  rexanuz  11776  cau3lem  11903  isumclim3  12215  fsumiun  12269  pcfac  13158  ctinf  13379  strsetsid  13443  imasaddfnlemg  13694  cntz2ss  14168  cntzmhm2  14174  gsumresfi  14263  tgcn  15434  tgcnp  15435  cnss2  15453  cncnp  15456  sslm  15473  metrest  15732  rescncf  15807  suplociccex  15851  limcresi  15892  uspgr2wlkeq  16811  nninfsellemeq  17263