Theorem ssralv 3312

Description: Quantification restricted to a subclass. (Contributed by NM, 11-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ssralv	|- ( A C_ B -> ( A. x e. B ph -> A. x e. A ph ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem ssralv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3242	. . 3 |- ( A C_ B -> ( x e. A -> x e. B ) )
2	1	imim1d 75	. 2 |- ( A C_ B -> ( ( x e. B -> ph ) -> ( x e. A -> ph ) ) )
3	2	ralimdv2 2620	1 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B ph -> A. x e. A ph ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-ral 2533  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  iinss1  4024  poss  4443  sess2  4483  trssord  4525  funco  5417  funimaexglem  5464  isores3  6021  isoini2  6025  smores  6563  smores2  6565  tfrlem5  6585  resixp  7015  ac6sfi  7202  difinfinf  7441  peano5nnnn  8259  peano5nni  9309  flapcl  10721  flaplelt  10723  caucvgre  11761  rexanuz  11768  cau3lem  11895  isumclim3  12206  fsumiun  12260  pcfac  13149  ctinf  13370  strsetsid  13434  imasaddfnlemg  13684  tgcn  15358  tgcnp  15359  cnss2  15377  cncnp  15380  sslm  15397  metrest  15656  rescncf  15731  suplociccex  15775  limcresi  15816  uspgr2wlkeq  16704  nninfsellemeq  17155