Theorem ssralv 3306

Description: Quantification restricted to a subclass. (Contributed by NM, 11-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ssralv	|- ( A C_ B -> ( A. x e. B ph -> A. x e. A ph ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem ssralv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3236	. . 3 |- ( A C_ B -> ( x e. A -> x e. B ) )
2	1	imim1d 75	. 2 |- ( A C_ B -> ( ( x e. B -> ph ) -> ( x e. A -> ph ) ) )
3	2	ralimdv2 2614	1 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B ph -> A. x e. A ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   A.wral 2522   C_ wss 3214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-ral 2527  df-in 3220  df-ss 3227

This theorem is referenced by:  iinss1  4009  poss  4425  sess2  4465  trssord  4507  funco  5399  funimaexglem  5446  isores3  5996  isoini2  6000  smores  6538  smores2  6540  tfrlem5  6560  resixp  6983  ac6sfi  7170  difinfinf  7407  peano5nnnn  8225  peano5nni  9262  caucvgre  11697  rexanuz  11704  cau3lem  11830  isumclim3  12140  fsumiun  12194  pcfac  13079  ctinf  13271  strsetsid  13335  imasaddfnlemg  13584  tgcn  15205  tgcnp  15206  cnss2  15224  cncnp  15227  sslm  15244  metrest  15503  rescncf  15578  suplociccex  15622  limcresi  15663  uspgr2wlkeq  16492  nninfsellemeq  16934