Theorem isabl 13825

Description: The predicate "is an Abelian (commutative) group". (Contributed by NM, 17-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
isabl	|- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )

Proof of Theorem isabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abl 13824	. 2 |- Abel = ( Grp i^i CMnd )
2	1	elin2 3392	1 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   Grpcgrp 13533  CMndccmn 13821   Abelcabl 13822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-in 3203  df-abl 13824

This theorem is referenced by:  ablgrp  13826  ablcmn  13828  isabl2  13831  ablpropd  13833  isabld  13836  ghmabl  13865  unitabl  14081