Theorem isabl 13979

Description: The predicate "is an Abelian (commutative) group". (Contributed by NM, 17-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
isabl	|- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )

Proof of Theorem isabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abl 13978	. 2 |- Abel = ( Grp i^i CMnd )
2	1	elin2 3406	1 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2203   Grpcgrp 13687  CMndccmn 13975   Abelcabl 13976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2814  df-in 3216  df-abl 13978

This theorem is referenced by:  ablgrp  13980  ablcmn  13982  isabl2  13985  ablpropd  13987  isabld  13990  ghmabl  14019  unitabl  14236