Theorem ghmabl 14062

Description: The image of an abelian group G under a group homomorphism F is an abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmabl.x	|- X = ( Base ` G )
ghmabl.y	|- Y = ( Base ` H )
ghmabl.p	|- .+ = ( +g ` G )
ghmabl.q	|- .+^ = ( +g ` H )
ghmabl.f	|- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
ghmabl.1	|- ( ph -> F : X -onto-> Y )
ghmabl.3	|- ( ph -> G e. Abel )

Assertion

Ref	Expression
ghmabl	|- ( ph -> H e. Abel )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, .+^ , y   x, F, y   x, G, y   x, H, y   x, X, y   x, Y, y   ph, x, y

Proof of Theorem ghmabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmabl.f	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
2		ghmabl.x	. . 3 |- X = ( Base ` G )
3		ghmabl.y	. . 3 |- Y = ( Base ` H )
4		ghmabl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
5		ghmabl.q	. . 3 |- .+^ = ( +g ` H )
6		ghmabl.1	. . 3 |- ( ph -> F : X -onto-> Y )
7		ghmabl.3	. . . 4 |- ( ph -> G e. Abel )
8		ablgrp 14023	. . . 4 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G e. Grp )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	ghmgrp 13852	. 2 |- ( ph -> H e. Grp )
11		ablcmn 14025	. . . 4 |- ( G e. Abel -> G e. CMnd )
12	7, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
13	2, 3, 4, 5, 1, 6, 12	ghmcmn 14061	. 2 |- ( ph -> H e. CMnd )
14		isabl 14022	. 2 |- ( H e. Abel <-> ( H e. Grp /\ H e. CMnd ) )
15	10, 13, 14	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> H e. Abel )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   -onto->wfo 5352   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   Basecbs 13229   +g cplusg 13307   Grpcgrp 13730  CMndccmn 14018   Abelcabl 14019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1re 8223  ax-addrcl 8226

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-inn 9240  df-2 9298  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-plusg 13320  df-0g 13488  df-mgm 13586  df-sgrp 13632  df-mnd 13647  df-grp 13733  df-minusg 13734  df-cmn 14020  df-abl 14021

This theorem is referenced by: (None)