Theorem ghmabl 14109

Description: The image of an abelian group G under a group homomorphism F is an abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmabl.x	|- X = ( Base ` G )
ghmabl.y	|- Y = ( Base ` H )
ghmabl.p	|- .+ = ( +g ` G )
ghmabl.q	|- .+^ = ( +g ` H )
ghmabl.f	|- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
ghmabl.1	|- ( ph -> F : X -onto-> Y )
ghmabl.3	|- ( ph -> G e. Abel )

Assertion

Ref	Expression
ghmabl	|- ( ph -> H e. Abel )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, .+^ , y   x, F, y   x, G, y   x, H, y   x, X, y   x, Y, y   ph, x, y

Proof of Theorem ghmabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmabl.f	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
2		ghmabl.x	. . 3 |- X = ( Base ` G )
3		ghmabl.y	. . 3 |- Y = ( Base ` H )
4		ghmabl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
5		ghmabl.q	. . 3 |- .+^ = ( +g ` H )
6		ghmabl.1	. . 3 |- ( ph -> F : X -onto-> Y )
7		ghmabl.3	. . . 4 |- ( ph -> G e. Abel )
8		ablgrp 14069	. . . 4 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G e. Grp )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	ghmgrp 13898	. 2 |- ( ph -> H e. Grp )
11		ablcmn 14071	. . . 4 |- ( G e. Abel -> G e. CMnd )
12	7, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
13	2, 3, 4, 5, 1, 6, 12	ghmcmn 14108	. 2 |- ( ph -> H e. CMnd )
14		isabl 14068	. 2 |- ( H e. Abel <-> ( H e. Grp /\ H e. CMnd ) )
15	10, 13, 14	sylanbrc 421	1 |- ( ph -> H e. Abel )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   -onto->wfo 5370   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   Grpcgrp 13782  CMndccmn 14064   Abelcabl 14065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-inn 9284  df-2 9342  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-cmn 14066  df-abl 14067

This theorem is referenced by: (None)