Theorem ghmabl 13458

Description: The image of an abelian group G under a group homomorphism F is an abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmabl.x	|- X = ( Base ` G )
ghmabl.y	|- Y = ( Base ` H )
ghmabl.p	|- .+ = ( +g ` G )
ghmabl.q	|- .+^ = ( +g ` H )
ghmabl.f	|- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
ghmabl.1	|- ( ph -> F : X -onto-> Y )
ghmabl.3	|- ( ph -> G e. Abel )

Assertion

Ref	Expression
ghmabl	|- ( ph -> H e. Abel )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, .+^ , y   x, F, y   x, G, y   x, H, y   x, X, y   x, Y, y   ph, x, y

Proof of Theorem ghmabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmabl.f	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
2		ghmabl.x	. . 3 |- X = ( Base ` G )
3		ghmabl.y	. . 3 |- Y = ( Base ` H )
4		ghmabl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
5		ghmabl.q	. . 3 |- .+^ = ( +g ` H )
6		ghmabl.1	. . 3 |- ( ph -> F : X -onto-> Y )
7		ghmabl.3	. . . 4 |- ( ph -> G e. Abel )
8		ablgrp 13419	. . . 4 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G e. Grp )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	ghmgrp 13248	. 2 |- ( ph -> H e. Grp )
11		ablcmn 13421	. . . 4 |- ( G e. Abel -> G e. CMnd )
12	7, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
13	2, 3, 4, 5, 1, 6, 12	ghmcmn 13457	. 2 |- ( ph -> H e. CMnd )
14		isabl 13418	. 2 |- ( H e. Abel <-> ( H e. Grp /\ H e. CMnd ) )
15	10, 13, 14	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> H e. Abel )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   -onto->wfo 5256   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   Grpcgrp 13132  CMndccmn 13414   Abelcabl 13415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-cmn 13416  df-abl 13417

This theorem is referenced by: (None)