Theorem ablgrp 14141

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	|- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 14140	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   Grpcgrp 13854  CMndccmn 14136   Abelcabl 14137

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-abl 14139

This theorem is used by:  ablgrpd  14142  ablinvadd  14163  ablsub2inv  14164  ablsubadd  14165  ablsub4  14166  abladdsub4  14167  abladdsub  14168  ablpncan2  14169  ablpncan3  14170  ablsubsub  14171  ablsubsub4  14172  ablpnpcan  14173  ablnncan  14174  ablnnncan  14176  ablnnncan1  14177  ablsubsub23  14178  ghmabl  14181  invghm  14182  eqgabl  14183  ablressid  14188  rnglz  14293  rngpropd  14303