Theorem ablgrp 14182

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	|- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 14181	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   Grpcgrp 13864  CMndccmn 14177   Abelcabl 14178

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-abl 14180

This theorem is used by:  ablgrpd  14183  ablinvadd  14204  ablsub2inv  14205  ablsubadd  14206  ablsub4  14207  abladdsub4  14208  abladdsub  14209  ablpncan2  14210  ablpncan3  14211  ablsubsub  14212  ablsubsub4  14213  ablpnpcan  14214  ablnncan  14215  ablnnncan  14217  ablnnncan1  14218  ablsubsub23  14219  ghmabl  14222  invghm  14223  eqgabl  14224  ablressid  14229  rnglz  14351  rngpropd  14361