Theorem ablgrp 13821

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	|- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 13820	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   Grpcgrp 13528  CMndccmn 13816   Abelcabl 13817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-in 3203  df-abl 13819

This theorem is referenced by:  ablgrpd  13822  ablinvadd  13842  ablsub2inv  13843  ablsubadd  13844  ablsub4  13845  abladdsub4  13846  abladdsub  13847  ablpncan2  13848  ablpncan3  13849  ablsubsub  13850  ablsubsub4  13851  ablpnpcan  13852  ablnncan  13853  ablnnncan  13855  ablnnncan1  13856  ablsubsub23  13857  ghmabl  13860  invghm  13861  eqgabl  13862  ablressid  13867  rnglz  13903  rngpropd  13913