Theorem ablgrp 14069

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	|- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 14068	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   Grpcgrp 13782  CMndccmn 14064   Abelcabl 14065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-abl 14067

This theorem is referenced by:  ablgrpd  14070  ablinvadd  14091  ablsub2inv  14092  ablsubadd  14093  ablsub4  14094  abladdsub4  14095  abladdsub  14096  ablpncan2  14097  ablpncan3  14098  ablsubsub  14099  ablsubsub4  14100  ablpnpcan  14101  ablnncan  14102  ablnnncan  14104  ablnnncan1  14105  ablsubsub23  14106  ghmabl  14109  invghm  14110  eqgabl  14111  ablressid  14116  rnglz  14219  rngpropd  14229