Theorem ablgrp 13841

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	|- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 13840	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   Grpcgrp 13548  CMndccmn 13836   Abelcabl 13837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-in 3203  df-abl 13839

This theorem is referenced by:  ablgrpd  13842  ablinvadd  13862  ablsub2inv  13863  ablsubadd  13864  ablsub4  13865  abladdsub4  13866  abladdsub  13867  ablpncan2  13868  ablpncan3  13869  ablsubsub  13870  ablsubsub4  13871  ablpnpcan  13872  ablnncan  13873  ablnnncan  13875  ablnnncan1  13876  ablsubsub23  13877  ghmabl  13880  invghm  13881  eqgabl  13882  ablressid  13887  rnglz  13923  rngpropd  13933