Theorem ablgrp 13939

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	|- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 13938	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   Grpcgrp 13646  CMndccmn 13934   Abelcabl 13935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-in 3207  df-abl 13937

This theorem is referenced by:  ablgrpd  13940  ablinvadd  13960  ablsub2inv  13961  ablsubadd  13962  ablsub4  13963  abladdsub4  13964  abladdsub  13965  ablpncan2  13966  ablpncan3  13967  ablsubsub  13968  ablsubsub4  13969  ablpnpcan  13970  ablnncan  13971  ablnnncan  13973  ablnnncan1  13974  ablsubsub23  13975  ghmabl  13978  invghm  13979  eqgabl  13980  ablressid  13985  rnglz  14022  rngpropd  14032