Theorem ablgrp 14042

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	|- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 14041	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   Grpcgrp 13755  CMndccmn 14037   Abelcabl 14038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-in 3220  df-abl 14040

This theorem is referenced by:  ablgrpd  14043  ablinvadd  14063  ablsub2inv  14064  ablsubadd  14065  ablsub4  14066  abladdsub4  14067  abladdsub  14068  ablpncan2  14069  ablpncan3  14070  ablsubsub  14071  ablsubsub4  14072  ablpnpcan  14073  ablnncan  14074  ablnnncan  14076  ablnnncan1  14077  ablsubsub23  14078  ghmabl  14081  invghm  14082  eqgabl  14083  ablressid  14088  rnglz  14184  rngpropd  14194