Theorem ablgrp 13567

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	|- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 13566	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2175   Grpcgrp 13274  CMndccmn 13562   Abelcabl 13563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-v 2773  df-in 3171  df-abl 13565

This theorem is referenced by:  ablgrpd  13568  ablinvadd  13588  ablsub2inv  13589  ablsubadd  13590  ablsub4  13591  abladdsub4  13592  abladdsub  13593  ablpncan2  13594  ablpncan3  13595  ablsubsub  13596  ablsubsub4  13597  ablpnpcan  13598  ablnncan  13599  ablnnncan  13601  ablnnncan1  13602  ablsubsub23  13603  ghmabl  13606  invghm  13607  eqgabl  13608  ablressid  13613  rnglz  13649  rngpropd  13659