Theorem ablgrp 14176

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	|- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 14175	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   Grpcgrp 13858  CMndccmn 14171   Abelcabl 14172

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-abl 14174

This theorem is used by:  ablgrpd  14177  ablinvadd  14198  ablsub2inv  14199  ablsubadd  14200  ablsub4  14201  abladdsub4  14202  abladdsub  14203  ablpncan2  14204  ablpncan3  14205  ablsubsub  14206  ablsubsub4  14207  ablpnpcan  14208  ablnncan  14209  ablnnncan  14211  ablnnncan1  14212  ablsubsub23  14213  ghmabl  14216  invghm  14217  eqgabl  14218  ablressid  14223  rnglz  14328  rngpropd  14338