Theorem ablgrp 13419

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	|- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 13418	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   Grpcgrp 13132  CMndccmn 13414   Abelcabl 13415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-in 3163  df-abl 13417

This theorem is referenced by:  ablgrpd  13420  ablinvadd  13440  ablsub2inv  13441  ablsubadd  13442  ablsub4  13443  abladdsub4  13444  abladdsub  13445  ablpncan2  13446  ablpncan3  13447  ablsubsub  13448  ablsubsub4  13449  ablpnpcan  13450  ablnncan  13451  ablnnncan  13453  ablnnncan1  13454  ablsubsub23  13455  ghmabl  13458  invghm  13459  eqgabl  13460  ablressid  13465  rnglz  13501  rngpropd  13511