Theorem ablgrp 13866

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	|- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 13865	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   Grpcgrp 13573  CMndccmn 13861   Abelcabl 13862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-in 3204  df-abl 13864

This theorem is referenced by:  ablgrpd  13867  ablinvadd  13887  ablsub2inv  13888  ablsubadd  13889  ablsub4  13890  abladdsub4  13891  abladdsub  13892  ablpncan2  13893  ablpncan3  13894  ablsubsub  13895  ablsubsub4  13896  ablpnpcan  13897  ablnncan  13898  ablnnncan  13900  ablnnncan1  13901  ablsubsub23  13902  ghmabl  13905  invghm  13906  eqgabl  13907  ablressid  13912  rnglz  13948  rngpropd  13958