Theorem ablgrp 14092

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	|- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 14091	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   Grpcgrp 13805  CMndccmn 14087   Abelcabl 14088

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-abl 14090

This theorem is used by:  ablgrpd  14093  ablinvadd  14114  ablsub2inv  14115  ablsubadd  14116  ablsub4  14117  abladdsub4  14118  abladdsub  14119  ablpncan2  14120  ablpncan3  14121  ablsubsub  14122  ablsubsub4  14123  ablpnpcan  14124  ablnncan  14125  ablnnncan  14127  ablnnncan1  14128  ablsubsub23  14129  ghmabl  14132  invghm  14133  eqgabl  14134  ablressid  14139  rnglz  14244  rngpropd  14254