Theorem ablgrp 14181

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	|- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 14180	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   Grpcgrp 13863  CMndccmn 14176   Abelcabl 14177

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-abl 14179

This theorem is used by:  ablgrpd  14182  ablinvadd  14203  ablsub2inv  14204  ablsubadd  14205  ablsub4  14206  abladdsub4  14207  abladdsub  14208  ablpncan2  14209  ablpncan3  14210  ablsubsub  14211  ablsubsub4  14212  ablpnpcan  14213  ablnncan  14214  ablnnncan  14216  ablnnncan1  14217  ablsubsub23  14218  ghmabl  14221  invghm  14222  eqgabl  14223  ablressid  14228  rnglz  14350  rngpropd  14360