Theorem ablgrp 14006

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	|- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 14005	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   Grpcgrp 13713  CMndccmn 14001   Abelcabl 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-in 3217  df-abl 14004

This theorem is referenced by:  ablgrpd  14007  ablinvadd  14027  ablsub2inv  14028  ablsubadd  14029  ablsub4  14030  abladdsub4  14031  abladdsub  14032  ablpncan2  14033  ablpncan3  14034  ablsubsub  14035  ablsubsub4  14036  ablpnpcan  14037  ablnncan  14038  ablnnncan  14040  ablnnncan1  14041  ablsubsub23  14042  ghmabl  14045  invghm  14046  eqgabl  14047  ablressid  14052  rnglz  14089  rngpropd  14099