Theorem ablgrp 13700

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	|- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 13699	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2177   Grpcgrp 13407  CMndccmn 13695   Abelcabl 13696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-v 2775  df-in 3176  df-abl 13698

This theorem is referenced by:  ablgrpd  13701  ablinvadd  13721  ablsub2inv  13722  ablsubadd  13723  ablsub4  13724  abladdsub4  13725  abladdsub  13726  ablpncan2  13727  ablpncan3  13728  ablsubsub  13729  ablsubsub4  13730  ablpnpcan  13731  ablnncan  13732  ablnnncan  13734  ablnnncan1  13735  ablsubsub23  13736  ghmabl  13739  invghm  13740  eqgabl  13741  ablressid  13746  rnglz  13782  rngpropd  13792