Theorem ablgrp 13875

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	|- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 13874	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   Grpcgrp 13582  CMndccmn 13870   Abelcabl 13871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-in 3206  df-abl 13873

This theorem is referenced by:  ablgrpd  13876  ablinvadd  13896  ablsub2inv  13897  ablsubadd  13898  ablsub4  13899  abladdsub4  13900  abladdsub  13901  ablpncan2  13902  ablpncan3  13903  ablsubsub  13904  ablsubsub4  13905  ablpnpcan  13906  ablnncan  13907  ablnnncan  13909  ablnnncan1  13910  ablsubsub23  13911  ghmabl  13914  invghm  13915  eqgabl  13916  ablressid  13921  rnglz  13957  rngpropd  13967