Theorem isabl 13014

Description: The predicate "is an Abelian (commutative) group". (Contributed by NM, 17-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
isabl	⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))

Proof of Theorem isabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abl 13013	. 2 ⊢ Abel = (Grp ∩ CMnd)
2	1	elin2 3323	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148  Grpcgrp 12808  CMndccmn 13010  Abelcabl 13011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-in 3135  df-abl 13013

This theorem is referenced by:  ablgrp  13015  ablcmn  13017  isabl2  13019  ablpropd  13021  isabld  13024  unitabl  13208