Theorem isabl2 14074

Description: The predicate "is an Abelian (commutative) group". (Contributed by NM, 17-Oct-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscmn.b	|- B = ( Base ` G )
iscmn.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
isabl2	|- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, G, y

Allowed substitution hints:   .+ ( x, y)

Proof of Theorem isabl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 14068	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
2		grpmnd 13789	. . . 4 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
3		iscmn.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
4		iscmn.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
5	3, 4	iscmn 14073	. . . . 5 |- ( G e. CMnd <-> ( G e. Mnd /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
6	5	baib 931	. . . 4 |- ( G e. Mnd -> ( G e. CMnd <-> A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
7	2, 6	syl 14	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( G e. CMnd <-> A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
8	7	pm5.32i 458	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) <-> ( G e. Grp /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
9	1, 8	bitri 184	1 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   Mndcmnd 13706   Grpcgrp 13782  CMndccmn 14064   Abelcabl 14065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-iota 5332  df-fv 5380  df-ov 6078  df-grp 13785  df-cmn 14066  df-abl 14067

This theorem is referenced by:  isabli  14080  invghm  14110  imasabl  14117