Theorem isabl2 13826

Description: The predicate "is an Abelian (commutative) group". (Contributed by NM, 17-Oct-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscmn.b	|- B = ( Base ` G )
iscmn.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
isabl2	|- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, G, y

Allowed substitution hints:   .+ ( x, y)

Proof of Theorem isabl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 13820	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
2		grpmnd 13535	. . . 4 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
3		iscmn.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
4		iscmn.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
5	3, 4	iscmn 13825	. . . . 5 |- ( G e. CMnd <-> ( G e. Mnd /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
6	5	baib 924	. . . 4 |- ( G e. Mnd -> ( G e. CMnd <-> A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
7	2, 6	syl 14	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( G e. CMnd <-> A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
8	7	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) <-> ( G e. Grp /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
9	1, 8	bitri 184	1 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Basecbs 13027   +g cplusg 13105   Mndcmnd 13444   Grpcgrp 13528  CMndccmn 13816   Abelcabl 13817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-iota 5277  df-fv 5325  df-ov 6003  df-grp 13531  df-cmn 13818  df-abl 13819

This theorem is referenced by:  isabli  13832  invghm  13861  imasabl  13868