Theorem isabl2 13880

Description: The predicate "is an Abelian (commutative) group". (Contributed by NM, 17-Oct-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscmn.b	|- B = ( Base ` G )
iscmn.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
isabl2	|- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, G, y

Allowed substitution hints:   .+ ( x, y)

Proof of Theorem isabl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 13874	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
2		grpmnd 13589	. . . 4 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
3		iscmn.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
4		iscmn.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
5	3, 4	iscmn 13879	. . . . 5 |- ( G e. CMnd <-> ( G e. Mnd /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
6	5	baib 926	. . . 4 |- ( G e. Mnd -> ( G e. CMnd <-> A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
7	2, 6	syl 14	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( G e. CMnd <-> A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
8	7	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) <-> ( G e. Grp /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
9	1, 8	bitri 184	1 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   Mndcmnd 13498   Grpcgrp 13582  CMndccmn 13870   Abelcabl 13871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020  df-grp 13585  df-cmn 13872  df-abl 13873

This theorem is referenced by:  isabli  13886  invghm  13915  imasabl  13922