Theorem isabl2 13944

Description: The predicate "is an Abelian (commutative) group". (Contributed by NM, 17-Oct-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscmn.b	|- B = ( Base ` G )
iscmn.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
isabl2	|- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, G, y

Allowed substitution hints:   .+ ( x, y)

Proof of Theorem isabl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 13938	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
2		grpmnd 13653	. . . 4 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
3		iscmn.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
4		iscmn.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
5	3, 4	iscmn 13943	. . . . 5 |- ( G e. CMnd <-> ( G e. Mnd /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
6	5	baib 927	. . . 4 |- ( G e. Mnd -> ( G e. CMnd <-> A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
7	2, 6	syl 14	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( G e. CMnd <-> A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
8	7	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) <-> ( G e. Grp /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
9	1, 8	bitri 184	1 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13145   +g cplusg 13223   Mndcmnd 13562   Grpcgrp 13646  CMndccmn 13934   Abelcabl 13935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-grp 13649  df-cmn 13936  df-abl 13937

This theorem is referenced by:  isabli  13950  invghm  13979  imasabl  13986