Theorem ablpropd 13574

Description: If two structures have the same group components (properties), one is an Abelian group iff the other one is. (Contributed by NM, 6-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablpropd.1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
ablpropd.2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
ablpropd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
ablpropd	|- ( ph -> ( K e. Abel <-> L e. Abel ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   x, L, y   ph, x, y

Proof of Theorem ablpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablpropd.1	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
2		ablpropd.2	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
3		ablpropd.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
4	1, 2, 3	grppropd 13291	. . 3 |- ( ph -> ( K e. Grp <-> L e. Grp ) )
5	1, 2, 3	cmnpropd 13573	. . 3 |- ( ph -> ( K e. CMnd <-> L e. CMnd ) )
6	4, 5	anbi12d 473	. 2 |- ( ph -> ( ( K e. Grp /\ K e. CMnd ) <-> ( L e. Grp /\ L e. CMnd ) ) )
7		isabl 13566	. 2 |- ( K e. Abel <-> ( K e. Grp /\ K e. CMnd ) )
8		isabl 13566	. 2 |- ( L e. Abel <-> ( L e. Grp /\ L e. CMnd ) )
9	6, 7, 8	3bitr4g 223	1 |- ( ph -> ( K e. Abel <-> L e. Abel ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1372   e. wcel 2175   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   Basecbs 12774   +g cplusg 12851   Grpcgrp 13274  CMndccmn 13562   Abelcabl 13563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-inn 9036  df-2 9094  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-plusg 12864  df-0g 13032  df-mgm 13130  df-sgrp 13176  df-mnd 13191  df-grp 13277  df-cmn 13564  df-abl 13565

This theorem is referenced by:  ablprop  13575  rngpropd  13659  opprrng  13781