Theorem ablpropd 13707

Description: If two structures have the same group components (properties), one is an Abelian group iff the other one is. (Contributed by NM, 6-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablpropd.1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
ablpropd.2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
ablpropd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
ablpropd	|- ( ph -> ( K e. Abel <-> L e. Abel ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   x, L, y   ph, x, y

Proof of Theorem ablpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablpropd.1	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
2		ablpropd.2	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
3		ablpropd.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
4	1, 2, 3	grppropd 13424	. . 3 |- ( ph -> ( K e. Grp <-> L e. Grp ) )
5	1, 2, 3	cmnpropd 13706	. . 3 |- ( ph -> ( K e. CMnd <-> L e. CMnd ) )
6	4, 5	anbi12d 473	. 2 |- ( ph -> ( ( K e. Grp /\ K e. CMnd ) <-> ( L e. Grp /\ L e. CMnd ) ) )
7		isabl 13699	. 2 |- ( K e. Abel <-> ( K e. Grp /\ K e. CMnd ) )
8		isabl 13699	. 2 |- ( L e. Abel <-> ( L e. Grp /\ L e. CMnd ) )
9	6, 7, 8	3bitr4g 223	1 |- ( ph -> ( K e. Abel <-> L e. Abel ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   Basecbs 12907   +g cplusg 12984   Grpcgrp 13407  CMndccmn 13695   Abelcabl 13696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1re 8039  ax-addrcl 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-inn 9057  df-2 9115  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-plusg 12997  df-0g 13165  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-grp 13410  df-cmn 13697  df-abl 13698

This theorem is referenced by:  ablprop  13708  rngpropd  13792  opprrng  13914