ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unitabl Unicode version

Theorem unitabl 13217
Description: The group of units of a commutative ring is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
unitgrp.1  |-  U  =  (Unit `  R )
unitgrp.2  |-  G  =  ( (mulGrp `  R
)s 
U )
Assertion
Ref Expression
unitabl  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e.  Abel )

Proof of Theorem unitabl
StepHypRef Expression
1 crngring 13122 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2 unitgrp.1 . . . 4  |-  U  =  (Unit `  R )
3 unitgrp.2 . . . 4  |-  G  =  ( (mulGrp `  R
)s 
U )
42, 3unitgrp 13216 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  G  e. 
Grp )
51, 4syl 14 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e.  Grp )
63a1i 9 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  =  ( (mulGrp `  R )s  U
) )
7 eqid 2177 . . . 4  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
87crngmgp 13118 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
95grpmndd 12821 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e.  Mnd )
10 basfn 12512 . . . . 5  |-  Base  Fn  _V
11 elex 2748 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  _V )
12 funfvex 5531 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  Base  /\  R  e. 
dom  Base )  ->  ( Base `  R )  e. 
_V )
1312funfni 5315 . . . . 5  |-  ( (
Base  Fn  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( Base `  R )  e. 
_V )
1410, 11, 13sylancr 414 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  R )  e.  _V )
15 eqidd 2178 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
)
162a1i 9 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  U  =  (Unit `  R ) )
17 ringsrg 13155 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. SRing
)
181, 17syl 14 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e. SRing )
1915, 16, 18unitssd 13209 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  U  C_  ( Base `  R ) )
2014, 19ssexd 4142 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  U  e.  _V )
216, 8, 9, 20subcmnd 13060 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
22 isabl 13023 . 2  |-  ( G  e.  Abel  <->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e. CMnd ) )
235, 21, 22sylanbrc 417 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e.  Abel )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737    Fn wfn 5210   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   Basecbs 12454   ↾s cress 12455   Grpcgrp 12809  CMndccmn 13019   Abelcabl 13020  mulGrpcmgp 13061  SRingcsrg 13077   Ringcrg 13110   CRingccrg 13111  Unitcui 13187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-tpos 6243  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-mulr 12542  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812  df-minusg 12813  df-cmn 13021  df-abl 13022  df-mgp 13062  df-ur 13074  df-srg 13078  df-ring 13112  df-cring 13113  df-oppr 13171  df-dvdsr 13189  df-unit 13190
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator