Theorem unitabl 14262

Description: The group of units of a commutative ring is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitgrp.1	|- U = (Unit ` R )
unitgrp.2	|- G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U )

Assertion

Ref	Expression
unitabl	|- ( R e. CRing -> G e. Abel )

Proof of Theorem unitabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 14152	. . 3 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
2		unitgrp.1	. . . 4 |- U = (Unit ` R )
3		unitgrp.2	. . . 4 |- G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U )
4	2, 3	unitgrp 14261	. . 3 |- ( R e. Ring -> G e. Grp )
5	1, 4	syl 14	. 2 |- ( R e. CRing -> G e. Grp )
6	3	a1i 9	. . 3 |- ( R e. CRing -> G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
7		eqid 2232	. . . 4 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
8	7	crngmgp 14148	. . 3 |- ( R e. CRing -> (mulGrp ` R ) e. CMnd )
9	5	grpmndd 13726	. . 3 |- ( R e. CRing -> G e. Mnd )
10		basfn 13271	. . . . 5 |- Base Fn _V
11		elex 2825	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> R e. _V )
12		funfvex 5687	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
13	12	funfni 5458	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
14	10, 11, 13	sylancr 414	. . . 4 |- ( R e. CRing -> ( Base ` R ) e. _V )
15		eqidd 2233	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
16	2	a1i 9	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> U = (Unit ` R ) )
17		ringsrg 14191	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
18	1, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> R e. SRing )
19	15, 16, 18	unitssd 14254	. . . 4 |- ( R e. CRing -> U C_ ( Base ` R ) )
20	14, 19	ssexd 4250	. . 3 |- ( R e. CRing -> U e. _V )
21	6, 8, 9, 20	subcmnd 14050	. 2 |- ( R e. CRing -> G e. CMnd )
22		isabl 14005	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
23	5, 21, 22	sylanbrc 417	1 |- ( R e. CRing -> G e. Abel )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   Fn wfn 5347   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   ↾_s cress 13213   Grpcgrp 13713  CMndccmn 14001   Abelcabl 14002  mulGrpcmgp 14064  SRingcsrg 14107   Ringcrg 14140   CRingccrg 14141  Unitcui 14231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-tpos 6476  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-iress 13220  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-minusg 13717  df-cmn 14003  df-abl 14004  df-mgp 14065  df-ur 14104  df-srg 14108  df-ring 14142  df-cring 14143  df-oppr 14212  df-dvdsr 14233  df-unit 14234

This theorem is referenced by: (None)