Theorem unitabl 13291

Description: The group of units of a commutative ring is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitgrp.1	|- U = (Unit ` R )
unitgrp.2	|- G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U )

Assertion

Ref	Expression
unitabl	|- ( R e. CRing -> G e. Abel )

Proof of Theorem unitabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 13196	. . 3 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
2		unitgrp.1	. . . 4 |- U = (Unit ` R )
3		unitgrp.2	. . . 4 |- G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U )
4	2, 3	unitgrp 13290	. . 3 |- ( R e. Ring -> G e. Grp )
5	1, 4	syl 14	. 2 |- ( R e. CRing -> G e. Grp )
6	3	a1i 9	. . 3 |- ( R e. CRing -> G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
7		eqid 2177	. . . 4 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
8	7	crngmgp 13192	. . 3 |- ( R e. CRing -> (mulGrp ` R ) e. CMnd )
9	5	grpmndd 12894	. . 3 |- ( R e. CRing -> G e. Mnd )
10		basfn 12522	. . . . 5 |- Base Fn _V
11		elex 2750	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> R e. _V )
12		funfvex 5534	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
13	12	funfni 5318	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
14	10, 11, 13	sylancr 414	. . . 4 |- ( R e. CRing -> ( Base ` R ) e. _V )
15		eqidd 2178	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
16	2	a1i 9	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> U = (Unit ` R ) )
17		ringsrg 13229	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
18	1, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> R e. SRing )
19	15, 16, 18	unitssd 13283	. . . 4 |- ( R e. CRing -> U C_ ( Base ` R ) )
20	14, 19	ssexd 4145	. . 3 |- ( R e. CRing -> U e. _V )
21	6, 8, 9, 20	subcmnd 13134	. 2 |- ( R e. CRing -> G e. CMnd )
22		isabl 13097	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
23	5, 21, 22	sylanbrc 417	1 |- ( R e. CRing -> G e. Abel )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   Fn wfn 5213   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   ↾_s cress 12465   Grpcgrp 12882  CMndccmn 13093   Abelcabl 13094  mulGrpcmgp 13135  SRingcsrg 13151   Ringcrg 13184   CRingccrg 13185  Unitcui 13261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-tpos 6248  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-iress 12472  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-cmn 13095  df-abl 13096  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-srg 13152  df-ring 13186  df-cring 13187  df-oppr 13245  df-dvdsr 13263  df-unit 13264

This theorem is referenced by: (None)