Theorem unitabl 13683

Description: The group of units of a commutative ring is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitgrp.1	|- U = (Unit ` R )
unitgrp.2	|- G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U )

Assertion

Ref	Expression
unitabl	|- ( R e. CRing -> G e. Abel )

Proof of Theorem unitabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 13574	. . 3 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
2		unitgrp.1	. . . 4 |- U = (Unit ` R )
3		unitgrp.2	. . . 4 |- G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U )
4	2, 3	unitgrp 13682	. . 3 |- ( R e. Ring -> G e. Grp )
5	1, 4	syl 14	. 2 |- ( R e. CRing -> G e. Grp )
6	3	a1i 9	. . 3 |- ( R e. CRing -> G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
7		eqid 2196	. . . 4 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
8	7	crngmgp 13570	. . 3 |- ( R e. CRing -> (mulGrp ` R ) e. CMnd )
9	5	grpmndd 13155	. . 3 |- ( R e. CRing -> G e. Mnd )
10		basfn 12746	. . . . 5 |- Base Fn _V
11		elex 2774	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> R e. _V )
12		funfvex 5576	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
13	12	funfni 5359	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
14	10, 11, 13	sylancr 414	. . . 4 |- ( R e. CRing -> ( Base ` R ) e. _V )
15		eqidd 2197	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
16	2	a1i 9	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> U = (Unit ` R ) )
17		ringsrg 13613	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
18	1, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> R e. SRing )
19	15, 16, 18	unitssd 13675	. . . 4 |- ( R e. CRing -> U C_ ( Base ` R ) )
20	14, 19	ssexd 4174	. . 3 |- ( R e. CRing -> U e. _V )
21	6, 8, 9, 20	subcmnd 13473	. 2 |- ( R e. CRing -> G e. CMnd )
22		isabl 13428	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
23	5, 21, 22	sylanbrc 417	1 |- ( R e. CRing -> G e. Abel )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   Fn wfn 5254   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   Basecbs 12688   ↾_s cress 12689   Grpcgrp 13142  CMndccmn 13424   Abelcabl 13425  mulGrpcmgp 13486  SRingcsrg 13529   Ringcrg 13562   CRingccrg 13563  Unitcui 13653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-tpos 6304  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-ltxr 8068  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-sets 12695  df-iress 12696  df-plusg 12778  df-mulr 12779  df-0g 12939  df-mgm 13009  df-sgrp 13055  df-mnd 13068  df-grp 13145  df-minusg 13146  df-cmn 13426  df-abl 13427  df-mgp 13487  df-ur 13526  df-srg 13530  df-ring 13564  df-cring 13565  df-oppr 13634  df-dvdsr 13655  df-unit 13656

This theorem is referenced by: (None)