Theorem unitabl 14150

Description: The group of units of a commutative ring is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitgrp.1	|- U = (Unit ` R )
unitgrp.2	|- G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U )

Assertion

Ref	Expression
unitabl	|- ( R e. CRing -> G e. Abel )

Proof of Theorem unitabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 14040	. . 3 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
2		unitgrp.1	. . . 4 |- U = (Unit ` R )
3		unitgrp.2	. . . 4 |- G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U )
4	2, 3	unitgrp 14149	. . 3 |- ( R e. Ring -> G e. Grp )
5	1, 4	syl 14	. 2 |- ( R e. CRing -> G e. Grp )
6	3	a1i 9	. . 3 |- ( R e. CRing -> G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
7		eqid 2231	. . . 4 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
8	7	crngmgp 14036	. . 3 |- ( R e. CRing -> (mulGrp ` R ) e. CMnd )
9	5	grpmndd 13614	. . 3 |- ( R e. CRing -> G e. Mnd )
10		basfn 13159	. . . . 5 |- Base Fn _V
11		elex 2814	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> R e. _V )
12		funfvex 5656	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
13	12	funfni 5432	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
14	10, 11, 13	sylancr 414	. . . 4 |- ( R e. CRing -> ( Base ` R ) e. _V )
15		eqidd 2232	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
16	2	a1i 9	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> U = (Unit ` R ) )
17		ringsrg 14079	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
18	1, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> R e. SRing )
19	15, 16, 18	unitssd 14142	. . . 4 |- ( R e. CRing -> U C_ ( Base ` R ) )
20	14, 19	ssexd 4229	. . 3 |- ( R e. CRing -> U e. _V )
21	6, 8, 9, 20	subcmnd 13938	. 2 |- ( R e. CRing -> G e. CMnd )
22		isabl 13893	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
23	5, 21, 22	sylanbrc 417	1 |- ( R e. CRing -> G e. Abel )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   Fn wfn 5321   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13100   ↾_s cress 13101   Grpcgrp 13601  CMndccmn 13889   Abelcabl 13890  mulGrpcmgp 13952  SRingcsrg 13995   Ringcrg 14028   CRingccrg 14029  Unitcui 14119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-tpos 6411  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-sets 13107  df-iress 13108  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-0g 13359  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mnd 13518  df-grp 13604  df-minusg 13605  df-cmn 13891  df-abl 13892  df-mgp 13953  df-ur 13992  df-srg 13996  df-ring 14030  df-cring 14031  df-oppr 14100  df-dvdsr 14121  df-unit 14122

This theorem is referenced by: (None)