Theorem modfsummodlem1 12080

Description: Lemma for modfsummod 12082. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modfsummodlem1	|- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )

Distinct variable groups:   A, k   z, k

Allowed substitution hints:   A( z)   B( z, k)

Proof of Theorem modfsummodlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vsnid 3705	. . 3 |- z e. { z }
2		elun2 3377	. . 3 |- ( z e. { z } -> z e. ( A u. { z } ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- z e. ( A u. { z } )
4		rspcsbela 3188	. 2 |- ( ( z e. ( A u. { z } ) /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
5	3, 4	mpan 424	1 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   A.wral 2511   [_csb 3128   u. cun 3199   {csn 3673   ZZcz 9523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-sn 3679

This theorem is referenced by:  modfsummodlemstep  12081