Theorem modfsummodlem1 12167

Description: Lemma for modfsummod 12169. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modfsummodlem1	|- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )

Distinct variable groups:   A, k   z, k

Allowed substitution hints:   A( z)   B( z, k)

Proof of Theorem modfsummodlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vsnid 3726	. . 3 |- z e. { z }
2		elun2 3391	. . 3 |- ( z e. { z } -> z e. ( A u. { z } ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- z e. ( A u. { z } )
4		rspcsbela 3201	. 2 |- ( ( z e. ( A u. { z } ) /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
5	3, 4	mpan 424	1 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   A.wral 2522   [_csb 3141   u. cun 3212   {csn 3694   ZZcz 9594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-sn 3700

This theorem is referenced by:  modfsummodlemstep  12168