Theorem modfsummodlem1 11397

Description: Lemma for modfsummod 11399. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modfsummodlem1	|- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )

Distinct variable groups:   A, k   z, k

Allowed substitution hints:   A( z)   B( z, k)

Proof of Theorem modfsummodlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vsnid 3608	. . 3 |- z e. { z }
2		elun2 3290	. . 3 |- ( z e. { z } -> z e. ( A u. { z } ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- z e. ( A u. { z } )
4		rspcsbela 3104	. 2 |- ( ( z e. ( A u. { z } ) /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
5	3, 4	mpan 421	1 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2136   A.wral 2444   [_csb 3045   u. cun 3114   {csn 3576   ZZcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582

This theorem is referenced by:  modfsummodlemstep  11398