Theorem modfsummodlem1 11496

Description: Lemma for modfsummod 11498. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modfsummodlem1	|- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )

Distinct variable groups:   A, k   z, k

Allowed substitution hints:   A( z)   B( z, k)

Proof of Theorem modfsummodlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vsnid 3639	. . 3 |- z e. { z }
2		elun2 3318	. . 3 |- ( z e. { z } -> z e. ( A u. { z } ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- z e. ( A u. { z } )
4		rspcsbela 3131	. 2 |- ( ( z e. ( A u. { z } ) /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
5	3, 4	mpan 424	1 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160   A.wral 2468   [_csb 3072   u. cun 3142   {csn 3607   ZZcz 9283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-sn 3613

This theorem is referenced by:  modfsummodlemstep  11497