Theorem modfsummodlemstep 11420

Description: Induction step for modfsummod 11421. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
modfsummodlemstep.a	|- ( ph -> A e. Fin )
modfsummodlemstep.n	|- ( ph -> N e. NN )
modfsummodlemstep.b	|- ( ph -> A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ )
modfsummodlemstep.z	|- ( ph -> -. z e. A )
modfsummodlemstep.h	|- ( ph -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )

Assertion

Ref	Expression
modfsummodlemstep	|- ( ph -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N   z, k

Allowed substitution hints:   ph( z, k)   A( z)   B( z, k)   N( z)

Proof of Theorem modfsummodlemstep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modfsummodlemstep.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
2		vex 2733	. . . . 5 |- z e. _V
3	2	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> z e. _V )
4		modfsummodlemstep.z	. . . . 5 |- ( ph -> -. z e. A )
5		df-nel 2436	. . . . 5 |- ( z e/ A <-> -. z e. A )
6	4, 5	sylibr 133	. . . 4 |- ( ph -> z e/ A )
7		modfsummodlemstep.b	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ )
8		fsumsplitsnun 11382	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( z e. _V /\ z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) )
9	1, 3, 6, 7, 8	syl121anc 1238	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. { z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) )
10	9	oveq1d 5868	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
11		ralunb 3308	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ <-> ( A. k e. A B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) )
12	11	simplbi 272	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> A. k e. A B e. ZZ )
13	7, 12	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. A B e. ZZ )
14		fsumzcl2 11368	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B e. ZZ )
15	1, 13, 14	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. ZZ )
16		zq 9585	. . . . . 6 |- ( sum_ k e. A B e. ZZ -> sum_ k e. A B e. QQ )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. QQ )
18		modfsummodlem1 11419	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
19	7, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
20		zq 9585	. . . . . 6 |- ( [_ z / k ]_ B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. QQ )
21	19, 20	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> [_ z / k ]_ B e. QQ )
22		modfsummodlemstep.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
23		nnq 9592	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
24	22, 23	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> N e. QQ )
25	22	nngt0d 8922	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < N )
26		modqaddabs 10318	. . . . 5 |- ( ( ( sum_ k e. A B e. QQ /\ [_ z / k ]_ B e. QQ ) /\ ( N e. QQ /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
27	17, 21, 24, 25, 26	syl22anc 1234	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
28	27	eqcomd 2176	. . 3 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
29		modfsummodlemstep.h	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )
30		modqabs2 10314	. . . . . . 7 |- ( ( [_ z / k ]_ B e. QQ /\ N e. QQ /\ 0 < N ) -> ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
31	21, 24, 25, 30	syl3anc 1233	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
32	31	eqcomd 2176	. . . . 5 |- ( ph -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) = ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) )
33	29, 32	oveq12d 5871	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) )
34	33	oveq1d 5868	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) )
35	28, 34	eqtrd 2203	. 2 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) )
36		zmodcl 10300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( B mod N ) e. NN0 )
37	36	nn0zd 9332	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( B mod N ) e. ZZ )
38	37	expcom 115	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( B e. ZZ -> ( B mod N ) e. ZZ ) )
39	38	ralimdv 2538	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( A. k e. A B e. ZZ -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
40	22, 13, 39	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
41		fsumzcl2 11368	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
42	1, 40, 41	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
43		zq 9585	. . . . 5 |- ( sum_ k e. A ( B mod N ) e. ZZ -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. QQ )
44	42, 43	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. QQ )
45	19, 22	zmodcld 10301	. . . . 5 |- ( ph -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. NN0 )
46		nn0z 9232	. . . . 5 |- ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. NN0 -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. ZZ )
47		zq 9585	. . . . 5 |- ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. ZZ -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. QQ )
48	45, 46, 47	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. QQ )
49		modqaddabs 10318	. . . 4 |- ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) e. QQ /\ ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. QQ ) /\ ( N e. QQ /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
50	44, 48, 24, 25, 49	syl22anc 1234	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
51	38	ralimdv 2538	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ ) )
52	22, 7, 51	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ )
53		fsumsplitsnun 11382	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( z e. _V /\ z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) )
54	1, 3, 6, 52, 53	syl121anc 1238	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) )
55		csbov1g 5893	. . . . . . 7 |- ( z e. _V -> [_ z / k ]_ ( B mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
56	55	elv 2734	. . . . . 6 |- [_ z / k ]_ ( B mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N )
57	56	oveq2i 5864	. . . . 5 |- ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
58	54, 57	eqtr2di 2220	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) = sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) )
59	58	oveq1d 5868	. . 3 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
60	50, 59	eqtrd 2203	. 2 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
61	10, 35, 60	3eqtrd 2207	1 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   e/ wnel 2435   A.wral 2448   _Vcvv 2730   [_csb 3049   u. cun 3119   {csn 3583   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   Fincfn 6718   0cc0 7774   + caddc 7777   < clt 7954   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   QQcq 9578   mod cmo 10278   sum_csu 11316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by:  modfsummod  11421