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Theorem modfsummodlemstep 11233
Description: Induction step for modfsummod 11234. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
modfsummodlemstep.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
modfsummodlemstep.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
modfsummodlemstep.b  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )
modfsummodlemstep.z  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
modfsummodlemstep.h  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )
Assertion
Ref Expression
modfsummodlemstep  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)
Distinct variable groups:    A, k    k, N    z, k
Allowed substitution hints:    ph( z, k)    A( z)    B( z, k)    N( z)

Proof of Theorem modfsummodlemstep
StepHypRef Expression
1 modfsummodlemstep.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 vex 2689 . . . . 5  |-  z  e. 
_V
32a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  e.  _V )
4 modfsummodlemstep.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
5 df-nel 2404 . . . . 5  |-  ( z  e/  A  <->  -.  z  e.  A )
64, 5sylibr 133 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  e/  A )
7 modfsummodlemstep.b . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )
8 fsumsplitsnun 11195 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( z  e.  _V  /\  z  e/  A )  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  =  (
sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B ) )
91, 3, 6, 7, 8syl121anc 1221 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B ) )
109oveq1d 5789 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( (
sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B )  mod 
N ) )
11 ralunb 3257 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  <->  ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ ) )
1211simplbi 272 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )
137, 12syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )
14 fsumzcl2 11181 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
151, 13, 14syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
16 zq 9425 . . . . . 6  |-  ( sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  QQ )
1715, 16syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  QQ )
18 modfsummodlem1 11232 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ )
197, 18syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ )
20 zq 9425 . . . . . 6  |-  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ  ->  [_ z  / 
k ]_ B  e.  QQ )
2119, 20syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  QQ )
22 modfsummodlemstep.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
23 nnq 9432 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
2422, 23syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
2522nngt0d 8771 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  N )
26 modqaddabs 10142 . . . . 5  |-  ( ( ( sum_ k  e.  A  B  e.  QQ  /\  [_ z  /  k ]_ B  e.  QQ )  /\  ( N  e.  QQ  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod  N )  =  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  /  k ]_ B )  mod  N
) )
2717, 21, 24, 25, 26syl22anc 1217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod  N )  =  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  /  k ]_ B )  mod  N
) )
2827eqcomd 2145 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  /  k ]_ B )  mod  N
)  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
) )
29 modfsummodlemstep.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )
30 modqabs2 10138 . . . . . . 7  |-  ( (
[_ z  /  k ]_ B  e.  QQ  /\  N  e.  QQ  /\  0  <  N )  -> 
( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
)  =  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )
3121, 24, 25, 30syl3anc 1216 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
)  =  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )
3231eqcomd 2145 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
)  =  ( (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N ) )
3329, 32oveq12d 5792 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  =  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N
)  +  ( (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N ) ) )
3433oveq1d 5789 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod  N )  =  ( ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
) )
3528, 34eqtrd 2172 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  /  k ]_ B )  mod  N
)  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
) )
36 zmodcl 10124 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( B  mod  N
)  e.  NN0 )
3736nn0zd 9178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( B  mod  N
)  e.  ZZ )
3837expcom 115 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
3938ralimdv 2500 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
4022, 13, 39sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )
41 fsumzcl2 11181 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )
421, 40, 41syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )
43 zq 9425 . . . . 5  |-  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  QQ )
4442, 43syl 14 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  QQ )
4519, 22zmodcld 10125 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
)  e.  NN0 )
46 nn0z 9081 . . . . 5  |-  ( (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  NN0  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  ZZ )
47 zq 9425 . . . . 5  |-  ( (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  ZZ  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  QQ )
4845, 46, 473syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
)  e.  QQ )
49 modqaddabs 10142 . . . 4  |-  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  QQ  /\  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  QQ )  /\  ( N  e.  QQ  /\  0  <  N ) )  ->  ( (
( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod 
N ) )
5044, 48, 24, 25, 49syl22anc 1217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  +  ( ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
)  mod  N )
)  mod  N )  =  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
) )
5138ralimdv 2500 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
5222, 7, 51sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
53 fsumsplitsnun 11195 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( z  e.  _V  /\  z  e/  A )  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  + 
[_ z  /  k ]_ ( B  mod  N
) ) )
541, 3, 6, 52, 53syl121anc 1221 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  [_ z  / 
k ]_ ( B  mod  N ) ) )
55 csbov1g 5811 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  ->  [_ z  /  k ]_ ( B  mod  N )  =  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )
5655elv 2690 . . . . . 6  |-  [_ z  /  k ]_ ( B  mod  N )  =  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
)
5756oveq2i 5785 . . . . 5  |-  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  + 
[_ z  /  k ]_ ( B  mod  N
) )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )
5854, 57syl6req 2189 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N ) )
5958oveq1d 5789 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) )
6050, 59eqtrd 2172 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  +  ( ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
)  mod  N )
)  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) )
6110, 35, 603eqtrd 2176 1  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480    e/ wnel 2403   A.wral 2416   _Vcvv 2686   [_csb 3003    u. cun 3069   {csn 3527   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   Fincfn 6634   0cc0 7627    + caddc 7630    < clt 7807   NNcn 8727   NN0cn0 8984   ZZcz 9061   QQcq 9418    mod cmo 10102   sum_csu 11129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-fl 10050  df-mod 10103  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130
This theorem is referenced by:  modfsummod  11234
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