Theorem modfsummodlemstep 11600

Description: Induction step for modfsummod 11601. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
modfsummodlemstep.a	|- ( ph -> A e. Fin )
modfsummodlemstep.n	|- ( ph -> N e. NN )
modfsummodlemstep.b	|- ( ph -> A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ )
modfsummodlemstep.z	|- ( ph -> -. z e. A )
modfsummodlemstep.h	|- ( ph -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )

Assertion

Ref	Expression
modfsummodlemstep	|- ( ph -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N   z, k

Allowed substitution hints:   ph( z, k)   A( z)   B( z, k)   N( z)

Proof of Theorem modfsummodlemstep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modfsummodlemstep.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
2		vex 2763	. . . . 5 |- z e. _V
3	2	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> z e. _V )
4		modfsummodlemstep.z	. . . . 5 |- ( ph -> -. z e. A )
5		df-nel 2460	. . . . 5 |- ( z e/ A <-> -. z e. A )
6	4, 5	sylibr 134	. . . 4 |- ( ph -> z e/ A )
7		modfsummodlemstep.b	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ )
8		fsumsplitsnun 11562	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( z e. _V /\ z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) )
9	1, 3, 6, 7, 8	syl121anc 1254	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. { z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) )
10	9	oveq1d 5933	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
11		ralunb 3340	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ <-> ( A. k e. A B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) )
12	11	simplbi 274	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> A. k e. A B e. ZZ )
13	7, 12	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. A B e. ZZ )
14		fsumzcl2 11548	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B e. ZZ )
15	1, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. ZZ )
16		zq 9691	. . . . . 6 |- ( sum_ k e. A B e. ZZ -> sum_ k e. A B e. QQ )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. QQ )
18		modfsummodlem1 11599	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
19	7, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
20		zq 9691	. . . . . 6 |- ( [_ z / k ]_ B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. QQ )
21	19, 20	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> [_ z / k ]_ B e. QQ )
22		modfsummodlemstep.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
23		nnq 9698	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
24	22, 23	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> N e. QQ )
25	22	nngt0d 9026	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < N )
26		modqaddabs 10433	. . . . 5 |- ( ( ( sum_ k e. A B e. QQ /\ [_ z / k ]_ B e. QQ ) /\ ( N e. QQ /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
27	17, 21, 24, 25, 26	syl22anc 1250	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
28	27	eqcomd 2199	. . 3 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
29		modfsummodlemstep.h	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )
30		modqabs2 10429	. . . . . . 7 |- ( ( [_ z / k ]_ B e. QQ /\ N e. QQ /\ 0 < N ) -> ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
31	21, 24, 25, 30	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
32	31	eqcomd 2199	. . . . 5 |- ( ph -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) = ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) )
33	29, 32	oveq12d 5936	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) )
34	33	oveq1d 5933	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) )
35	28, 34	eqtrd 2226	. 2 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) )
36		zmodcl 10415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( B mod N ) e. NN0 )
37	36	nn0zd 9437	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( B mod N ) e. ZZ )
38	37	expcom 116	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( B e. ZZ -> ( B mod N ) e. ZZ ) )
39	38	ralimdv 2562	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( A. k e. A B e. ZZ -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
40	22, 13, 39	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
41		fsumzcl2 11548	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
42	1, 40, 41	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
43		zq 9691	. . . . 5 |- ( sum_ k e. A ( B mod N ) e. ZZ -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. QQ )
44	42, 43	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. QQ )
45	19, 22	zmodcld 10416	. . . . 5 |- ( ph -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. NN0 )
46		nn0z 9337	. . . . 5 |- ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. NN0 -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. ZZ )
47		zq 9691	. . . . 5 |- ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. ZZ -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. QQ )
48	45, 46, 47	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. QQ )
49		modqaddabs 10433	. . . 4 |- ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) e. QQ /\ ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. QQ ) /\ ( N e. QQ /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
50	44, 48, 24, 25, 49	syl22anc 1250	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
51	38	ralimdv 2562	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ ) )
52	22, 7, 51	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ )
53		fsumsplitsnun 11562	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( z e. _V /\ z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) )
54	1, 3, 6, 52, 53	syl121anc 1254	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) )
55		csbov1g 5958	. . . . . . 7 |- ( z e. _V -> [_ z / k ]_ ( B mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
56	55	elv 2764	. . . . . 6 |- [_ z / k ]_ ( B mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N )
57	56	oveq2i 5929	. . . . 5 |- ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
58	54, 57	eqtr2di 2243	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) = sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) )
59	58	oveq1d 5933	. . 3 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
60	50, 59	eqtrd 2226	. 2 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
61	10, 35, 60	3eqtrd 2230	1 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   e/ wnel 2459   A.wral 2472   _Vcvv 2760   [_csb 3080   u. cun 3151   {csn 3618   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   Fincfn 6794   0cc0 7872   + caddc 7875   < clt 8054   NNcn 8982   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   QQcq 9684   mod cmo 10393   sum_csu 11496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497

This theorem is referenced by:  modfsummod  11601