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Theorem modfsummodlemstep 10912
Description: Induction step for modfsummod 10913. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
modfsummodlemstep.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
modfsummodlemstep.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
modfsummodlemstep.b  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )
modfsummodlemstep.z  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
modfsummodlemstep.h  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )
Assertion
Ref Expression
modfsummodlemstep  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)
Distinct variable groups:    A, k    k, N    z, k
Allowed substitution hints:    ph( z, k)    A( z)    B( z, k)    N( z)

Proof of Theorem modfsummodlemstep
StepHypRef Expression
1 modfsummodlemstep.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 vex 2623 . . . . 5  |-  z  e. 
_V
32a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  e.  _V )
4 modfsummodlemstep.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
5 df-nel 2352 . . . . 5  |-  ( z  e/  A  <->  -.  z  e.  A )
64, 5sylibr 133 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  e/  A )
7 modfsummodlemstep.b . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )
8 fsumsplitsnun 10874 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( z  e.  _V  /\  z  e/  A )  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  =  (
sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B ) )
91, 3, 6, 7, 8syl121anc 1180 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B ) )
109oveq1d 5681 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( (
sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B )  mod 
N ) )
11 ralunb 3182 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  <->  ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ ) )
1211simplbi 269 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )
137, 12syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )
14 fsumzcl2 10860 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
151, 13, 14syl2anc 404 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
16 zq 9172 . . . . . 6  |-  ( sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  QQ )
1715, 16syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  QQ )
18 modfsummodlem1 10911 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ )
197, 18syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ )
20 zq 9172 . . . . . 6  |-  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ  ->  [_ z  / 
k ]_ B  e.  QQ )
2119, 20syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  QQ )
22 modfsummodlemstep.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
23 nnq 9179 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
2422, 23syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
2522nngt0d 8527 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  N )
26 modqaddabs 9830 . . . . 5  |-  ( ( ( sum_ k  e.  A  B  e.  QQ  /\  [_ z  /  k ]_ B  e.  QQ )  /\  ( N  e.  QQ  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod  N )  =  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  /  k ]_ B )  mod  N
) )
2717, 21, 24, 25, 26syl22anc 1176 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod  N )  =  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  /  k ]_ B )  mod  N
) )
2827eqcomd 2094 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  /  k ]_ B )  mod  N
)  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
) )
29 modfsummodlemstep.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )
30 modqabs2 9826 . . . . . . 7  |-  ( (
[_ z  /  k ]_ B  e.  QQ  /\  N  e.  QQ  /\  0  <  N )  -> 
( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
)  =  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )
3121, 24, 25, 30syl3anc 1175 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
)  =  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )
3231eqcomd 2094 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
)  =  ( (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N ) )
3329, 32oveq12d 5684 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  =  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N
)  +  ( (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N ) ) )
3433oveq1d 5681 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod  N )  =  ( ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
) )
3528, 34eqtrd 2121 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  /  k ]_ B )  mod  N
)  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
) )
36 zmodcl 9812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( B  mod  N
)  e.  NN0 )
3736nn0zd 8927 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( B  mod  N
)  e.  ZZ )
3837expcom 115 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
3938ralimdv 2443 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
4022, 13, 39sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )
41 fsumzcl2 10860 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )
421, 40, 41syl2anc 404 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )
43 zq 9172 . . . . 5  |-  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  QQ )
4442, 43syl 14 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  QQ )
4519, 22zmodcld 9813 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
)  e.  NN0 )
46 nn0z 8831 . . . . 5  |-  ( (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  NN0  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  ZZ )
47 zq 9172 . . . . 5  |-  ( (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  ZZ  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  QQ )
4845, 46, 473syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
)  e.  QQ )
49 modqaddabs 9830 . . . 4  |-  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  QQ  /\  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  QQ )  /\  ( N  e.  QQ  /\  0  <  N ) )  ->  ( (
( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod 
N ) )
5044, 48, 24, 25, 49syl22anc 1176 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  +  ( ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
)  mod  N )
)  mod  N )  =  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
) )
5138ralimdv 2443 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
5222, 7, 51sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
53 fsumsplitsnun 10874 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( z  e.  _V  /\  z  e/  A )  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  + 
[_ z  /  k ]_ ( B  mod  N
) ) )
541, 3, 6, 52, 53syl121anc 1180 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  [_ z  / 
k ]_ ( B  mod  N ) ) )
55 csbov1g 5703 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  ->  [_ z  /  k ]_ ( B  mod  N )  =  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )
5655elv 2624 . . . . . 6  |-  [_ z  /  k ]_ ( B  mod  N )  =  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
)
5756oveq2i 5677 . . . . 5  |-  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  + 
[_ z  /  k ]_ ( B  mod  N
) )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )
5854, 57syl6req 2138 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N ) )
5958oveq1d 5681 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) )
6050, 59eqtrd 2121 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  +  ( ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
)  mod  N )
)  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) )
6110, 35, 603eqtrd 2125 1  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1290    e. wcel 1439    e/ wnel 2351   A.wral 2360   _Vcvv 2620   [_csb 2934    u. cun 2998   {csn 3450   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   Fincfn 6511   0cc0 7411    + caddc 7414    < clt 7583   NNcn 8483   NN0cn0 8734   ZZcz 8811   QQcq 9165    mod cmo 9790   sum_csu 10803
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525  ax-caucvg 7526
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-isom 5037  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-frec 6170  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-er 6306  df-en 6512  df-dom 6513  df-fin 6514  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-q 9166  df-rp 9196  df-fz 9486  df-fzo 9615  df-fl 9738  df-mod 9791  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016  df-ihash 10245  df-cj 10337  df-re 10338  df-im 10339  df-rsqrt 10492  df-abs 10493  df-clim 10728  df-isum 10804
This theorem is referenced by:  modfsummod  10913
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