Theorem modfsummodlemstep 12250

Description: Induction step for modfsummod 12251. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
modfsummodlemstep.a	|- ( ph -> A e. Fin )
modfsummodlemstep.n	|- ( ph -> N e. NN )
modfsummodlemstep.b	|- ( ph -> A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ )
modfsummodlemstep.z	|- ( ph -> -. z e. A )
modfsummodlemstep.h	|- ( ph -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )

Assertion

Ref	Expression
modfsummodlemstep	|- ( ph -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N   z, k

Allowed substitution hints:   ph( z, k)   A( z)   B( z, k)   N( z)

Proof of Theorem modfsummodlemstep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modfsummodlemstep.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
2		vex 2824	. . . . 5 |- z e. _V
3	2	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> z e. _V )
4		modfsummodlemstep.z	. . . . 5 |- ( ph -> -. z e. A )
5		df-nel 2516	. . . . 5 |- ( z e/ A <-> -. z e. A )
6	4, 5	sylibr 134	. . . 4 |- ( ph -> z e/ A )
7		modfsummodlemstep.b	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ )
8		fsumsplitsnun 12212	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( z e. _V /\ z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) )
9	1, 3, 6, 7, 8	syl121anc 1283	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. { z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) )
10	9	oveq1d 6103	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
11		ralunb 3410	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ <-> ( A. k e. A B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) )
12	11	simplbi 274	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> A. k e. A B e. ZZ )
13	7, 12	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. A B e. ZZ )
14		fsumzcl2 12198	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B e. ZZ )
15	1, 13, 14	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. ZZ )
16		zq 10043	. . . . . 6 |- ( sum_ k e. A B e. ZZ -> sum_ k e. A B e. QQ )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. QQ )
18		modfsummodlem1 12249	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
19	7, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
20		zq 10043	. . . . . 6 |- ( [_ z / k ]_ B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. QQ )
21	19, 20	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> [_ z / k ]_ B e. QQ )
22		modfsummodlemstep.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
23		nnq 10050	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
24	22, 23	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> N e. QQ )
25	22	nngt0d 9358	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < N )
26		modqaddabs 10821	. . . . 5 |- ( ( ( sum_ k e. A B e. QQ /\ [_ z / k ]_ B e. QQ ) /\ ( N e. QQ /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
27	17, 21, 24, 25, 26	syl22anc 1279	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
28	27	eqcomd 2244	. . 3 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
29		modfsummodlemstep.h	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )
30		modqabs2 10817	. . . . . . 7 |- ( ( [_ z / k ]_ B e. QQ /\ N e. QQ /\ 0 < N ) -> ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
31	21, 24, 25, 30	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
32	31	eqcomd 2244	. . . . 5 |- ( ph -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) = ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) )
33	29, 32	oveq12d 6106	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) )
34	33	oveq1d 6103	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) )
35	28, 34	eqtrd 2271	. 2 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) )
36		zmodcl 10803	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( B mod N ) e. NN0 )
37	36	nn0zd 9778	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( B mod N ) e. ZZ )
38	37	expcom 116	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( B e. ZZ -> ( B mod N ) e. ZZ ) )
39	38	ralimdv 2618	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( A. k e. A B e. ZZ -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
40	22, 13, 39	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
41		fsumzcl2 12198	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
42	1, 40, 41	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
43		zq 10043	. . . . 5 |- ( sum_ k e. A ( B mod N ) e. ZZ -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. QQ )
44	42, 43	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. QQ )
45	19, 22	zmodcld 10804	. . . . 5 |- ( ph -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. NN0 )
46		nn0z 9676	. . . . 5 |- ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. NN0 -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. ZZ )
47		zq 10043	. . . . 5 |- ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. ZZ -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. QQ )
48	45, 46, 47	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. QQ )
49		modqaddabs 10821	. . . 4 |- ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) e. QQ /\ ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. QQ ) /\ ( N e. QQ /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
50	44, 48, 24, 25, 49	syl22anc 1279	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
51	38	ralimdv 2618	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ ) )
52	22, 7, 51	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ )
53		fsumsplitsnun 12212	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( z e. _V /\ z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) )
54	1, 3, 6, 52, 53	syl121anc 1283	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) )
55		csbov1g 6129	. . . . . . 7 |- ( z e. _V -> [_ z / k ]_ ( B mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
56	55	elv 2825	. . . . . 6 |- [_ z / k ]_ ( B mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N )
57	56	oveq2i 6099	. . . . 5 |- ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
58	54, 57	eqtr2di 2288	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) = sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) )
59	58	oveq1d 6103	. . 3 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
60	50, 59	eqtrd 2271	. 2 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
61	10, 35, 60	3eqtrd 2275	1 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   e/ wnel 2515   A.wral 2528   _Vcvv 2821   [_csb 3147   u. cun 3218   {csn 3709   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   Fincfn 7027   0cc0 8186   + caddc 8189   < clt 8367   NNcn 9314   NN0cn0 9575   ZZcz 9656   QQcq 10036   mod cmo 10781   sum_csu 12145

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-fl 10723  df-mod 10782  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-ihash 11238  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-sumdc 12146

This theorem is used by:  modfsummod  12251