Theorem modfsummodlemstep 10912

Description: Induction step for modfsummod 10913. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
modfsummodlemstep.a	|- ( ph -> A e. Fin )
modfsummodlemstep.n	|- ( ph -> N e. NN )
modfsummodlemstep.b	|- ( ph -> A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ )
modfsummodlemstep.z	|- ( ph -> -. z e. A )
modfsummodlemstep.h	|- ( ph -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )

Assertion

Ref	Expression
modfsummodlemstep	|- ( ph -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N   z, k

Allowed substitution hints:   ph( z, k)   A( z)   B( z, k)   N( z)

Proof of Theorem modfsummodlemstep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modfsummodlemstep.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
2		vex 2623	. . . . 5 |- z e. _V
3	2	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> z e. _V )
4		modfsummodlemstep.z	. . . . 5 |- ( ph -> -. z e. A )
5		df-nel 2352	. . . . 5 |- ( z e/ A <-> -. z e. A )
6	4, 5	sylibr 133	. . . 4 |- ( ph -> z e/ A )
7		modfsummodlemstep.b	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ )
8		fsumsplitsnun 10874	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( z e. _V /\ z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) )
9	1, 3, 6, 7, 8	syl121anc 1180	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. { z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) )
10	9	oveq1d 5681	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
11		ralunb 3182	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ <-> ( A. k e. A B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) )
12	11	simplbi 269	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> A. k e. A B e. ZZ )
13	7, 12	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. A B e. ZZ )
14		fsumzcl2 10860	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B e. ZZ )
15	1, 13, 14	syl2anc 404	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. ZZ )
16		zq 9172	. . . . . 6 |- ( sum_ k e. A B e. ZZ -> sum_ k e. A B e. QQ )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. QQ )
18		modfsummodlem1 10911	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
19	7, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
20		zq 9172	. . . . . 6 |- ( [_ z / k ]_ B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. QQ )
21	19, 20	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> [_ z / k ]_ B e. QQ )
22		modfsummodlemstep.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
23		nnq 9179	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
24	22, 23	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> N e. QQ )
25	22	nngt0d 8527	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < N )
26		modqaddabs 9830	. . . . 5 |- ( ( ( sum_ k e. A B e. QQ /\ [_ z / k ]_ B e. QQ ) /\ ( N e. QQ /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
27	17, 21, 24, 25, 26	syl22anc 1176	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
28	27	eqcomd 2094	. . 3 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
29		modfsummodlemstep.h	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )
30		modqabs2 9826	. . . . . . 7 |- ( ( [_ z / k ]_ B e. QQ /\ N e. QQ /\ 0 < N ) -> ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
31	21, 24, 25, 30	syl3anc 1175	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
32	31	eqcomd 2094	. . . . 5 |- ( ph -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) = ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) )
33	29, 32	oveq12d 5684	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) )
34	33	oveq1d 5681	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) )
35	28, 34	eqtrd 2121	. 2 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) )
36		zmodcl 9812	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( B mod N ) e. NN0 )
37	36	nn0zd 8927	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( B mod N ) e. ZZ )
38	37	expcom 115	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( B e. ZZ -> ( B mod N ) e. ZZ ) )
39	38	ralimdv 2443	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( A. k e. A B e. ZZ -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
40	22, 13, 39	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
41		fsumzcl2 10860	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
42	1, 40, 41	syl2anc 404	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
43		zq 9172	. . . . 5 |- ( sum_ k e. A ( B mod N ) e. ZZ -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. QQ )
44	42, 43	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. QQ )
45	19, 22	zmodcld 9813	. . . . 5 |- ( ph -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. NN0 )
46		nn0z 8831	. . . . 5 |- ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. NN0 -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. ZZ )
47		zq 9172	. . . . 5 |- ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. ZZ -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. QQ )
48	45, 46, 47	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. QQ )
49		modqaddabs 9830	. . . 4 |- ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) e. QQ /\ ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. QQ ) /\ ( N e. QQ /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
50	44, 48, 24, 25, 49	syl22anc 1176	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
51	38	ralimdv 2443	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ ) )
52	22, 7, 51	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ )
53		fsumsplitsnun 10874	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( z e. _V /\ z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) )
54	1, 3, 6, 52, 53	syl121anc 1180	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) )
55		csbov1g 5703	. . . . . . 7 |- ( z e. _V -> [_ z / k ]_ ( B mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
56	55	elv 2624	. . . . . 6 |- [_ z / k ]_ ( B mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N )
57	56	oveq2i 5677	. . . . 5 |- ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
58	54, 57	syl6req 2138	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) = sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) )
59	58	oveq1d 5681	. . 3 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
60	50, 59	eqtrd 2121	. 2 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
61	10, 35, 60	3eqtrd 2125	1 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   e/ wnel 2351   A.wral 2360   _Vcvv 2620   [_csb 2934   u. cun 2998   {csn 3450   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   Fincfn 6511   0cc0 7411   + caddc 7414   < clt 7583   NNcn 8483   NN0cn0 8734   ZZcz 8811   QQcq 9165   mod cmo 9790   sum_csu 10803

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525  ax-caucvg 7526

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-isom 5037  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-frec 6170  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-er 6306  df-en 6512  df-dom 6513  df-fin 6514  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-q 9166  df-rp 9196  df-fz 9486  df-fzo 9615  df-fl 9738  df-mod 9791  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016  df-ihash 10245  df-cj 10337  df-re 10338  df-im 10339  df-rsqrt 10492  df-abs 10493  df-clim 10728  df-isum 10804

This theorem is referenced by:  modfsummod  10913