Theorem modfsummodlemstep 11226

Description: Induction step for modfsummod 11227. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
modfsummodlemstep.a	|- ( ph -> A e. Fin )
modfsummodlemstep.n	|- ( ph -> N e. NN )
modfsummodlemstep.b	|- ( ph -> A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ )
modfsummodlemstep.z	|- ( ph -> -. z e. A )
modfsummodlemstep.h	|- ( ph -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )

Assertion

Ref	Expression
modfsummodlemstep	|- ( ph -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N   z, k

Allowed substitution hints:   ph( z, k)   A( z)   B( z, k)   N( z)

Proof of Theorem modfsummodlemstep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modfsummodlemstep.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
2		vex 2689	. . . . 5 |- z e. _V
3	2	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> z e. _V )
4		modfsummodlemstep.z	. . . . 5 |- ( ph -> -. z e. A )
5		df-nel 2404	. . . . 5 |- ( z e/ A <-> -. z e. A )
6	4, 5	sylibr 133	. . . 4 |- ( ph -> z e/ A )
7		modfsummodlemstep.b	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ )
8		fsumsplitsnun 11188	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( z e. _V /\ z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) )
9	1, 3, 6, 7, 8	syl121anc 1221	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. { z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) )
10	9	oveq1d 5789	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
11		ralunb 3257	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ <-> ( A. k e. A B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) )
12	11	simplbi 272	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> A. k e. A B e. ZZ )
13	7, 12	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. A B e. ZZ )
14		fsumzcl2 11174	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B e. ZZ )
15	1, 13, 14	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. ZZ )
16		zq 9418	. . . . . 6 |- ( sum_ k e. A B e. ZZ -> sum_ k e. A B e. QQ )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. QQ )
18		modfsummodlem1 11225	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
19	7, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
20		zq 9418	. . . . . 6 |- ( [_ z / k ]_ B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. QQ )
21	19, 20	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> [_ z / k ]_ B e. QQ )
22		modfsummodlemstep.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
23		nnq 9425	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
24	22, 23	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> N e. QQ )
25	22	nngt0d 8764	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < N )
26		modqaddabs 10135	. . . . 5 |- ( ( ( sum_ k e. A B e. QQ /\ [_ z / k ]_ B e. QQ ) /\ ( N e. QQ /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
27	17, 21, 24, 25, 26	syl22anc 1217	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
28	27	eqcomd 2145	. . 3 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
29		modfsummodlemstep.h	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )
30		modqabs2 10131	. . . . . . 7 |- ( ( [_ z / k ]_ B e. QQ /\ N e. QQ /\ 0 < N ) -> ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
31	21, 24, 25, 30	syl3anc 1216	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
32	31	eqcomd 2145	. . . . 5 |- ( ph -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) = ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) )
33	29, 32	oveq12d 5792	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) )
34	33	oveq1d 5789	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) )
35	28, 34	eqtrd 2172	. 2 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) )
36		zmodcl 10117	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( B mod N ) e. NN0 )
37	36	nn0zd 9171	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( B mod N ) e. ZZ )
38	37	expcom 115	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( B e. ZZ -> ( B mod N ) e. ZZ ) )
39	38	ralimdv 2500	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( A. k e. A B e. ZZ -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
40	22, 13, 39	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
41		fsumzcl2 11174	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
42	1, 40, 41	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
43		zq 9418	. . . . 5 |- ( sum_ k e. A ( B mod N ) e. ZZ -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. QQ )
44	42, 43	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. QQ )
45	19, 22	zmodcld 10118	. . . . 5 |- ( ph -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. NN0 )
46		nn0z 9074	. . . . 5 |- ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. NN0 -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. ZZ )
47		zq 9418	. . . . 5 |- ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. ZZ -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. QQ )
48	45, 46, 47	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. QQ )
49		modqaddabs 10135	. . . 4 |- ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) e. QQ /\ ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. QQ ) /\ ( N e. QQ /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
50	44, 48, 24, 25, 49	syl22anc 1217	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
51	38	ralimdv 2500	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ ) )
52	22, 7, 51	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ )
53		fsumsplitsnun 11188	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( z e. _V /\ z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) )
54	1, 3, 6, 52, 53	syl121anc 1221	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) )
55		csbov1g 5811	. . . . . . 7 |- ( z e. _V -> [_ z / k ]_ ( B mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
56	55	elv 2690	. . . . . 6 |- [_ z / k ]_ ( B mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N )
57	56	oveq2i 5785	. . . . 5 |- ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
58	54, 57	syl6req 2189	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) = sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) )
59	58	oveq1d 5789	. . 3 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
60	50, 59	eqtrd 2172	. 2 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
61	10, 35, 60	3eqtrd 2176	1 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   e/ wnel 2403   A.wral 2416   _Vcvv 2686   [_csb 3003   u. cun 3069   {csn 3527   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   Fincfn 6634   0cc0 7620   + caddc 7623   < clt 7800   NNcn 8720   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   QQcq 9411   mod cmo 10095   sum_csu 11122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-fl 10043  df-mod 10096  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123

This theorem is referenced by:  modfsummod  11227