Theorem modfsummod 12208

Description: A finite sum modulo a positive integer equals the finite sum of their summands modulo the positive integer, modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
modfsummod.n	|- ( ph -> N e. NN )
modfsummod.1	|- ( ph -> A e. Fin )
modfsummod.2	|- ( ph -> A. k e. A B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
modfsummod	|- ( ph -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem modfsummod

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modfsummod.2	. 2 |- ( ph -> A. k e. A B e. ZZ )
2		modfsummod.n	. 2 |- ( ph -> N e. NN )
3		modfsummod.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
4		raleq 2749	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( A. k e. x B e. ZZ <-> A. k e. (/) B e. ZZ ) )
5	4	anbi1d 469	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( A. k e. (/) B e. ZZ /\ N e. NN ) ) )
6		sumeq1 12104	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> sum_ k e. x B = sum_ k e. (/) B )
7	6	oveq1d 6094	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. (/) B mod N ) )
8		sumeq1 12104	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> sum_ k e. x ( B mod N ) = sum_ k e. (/) ( B mod N ) )
9	8	oveq1d 6094	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) )
10	7, 9	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) ) )
11	5, 10	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. (/) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
12		raleq 2749	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A. k e. x B e. ZZ <-> A. k e. y B e. ZZ ) )
13	12	anbi1d 469	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) )
14		sumeq1 12104	. . . . . . 7 |- ( x = y -> sum_ k e. x B = sum_ k e. y B )
15	14	oveq1d 6094	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. y B mod N ) )
16		sumeq1 12104	. . . . . . 7 |- ( x = y -> sum_ k e. x ( B mod N ) = sum_ k e. y ( B mod N ) )
17	16	oveq1d 6094	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) )
18	15, 17	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) )
19	13, 18	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) ) )
20		raleq 2749	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. k e. x B e. ZZ <-> A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ ) )
21	20	anbi1d 469	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) ) )
22		sumeq1 12104	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. x B = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
23	22	oveq1d 6094	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) )
24		sumeq1 12104	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. x ( B mod N ) = sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) )
25	24	oveq1d 6094	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
26	23, 25	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
27	21, 26	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
28		raleq 2749	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( A. k e. x B e. ZZ <-> A. k e. A B e. ZZ ) )
29	28	anbi1d 469	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( A. k e. A B e. ZZ /\ N e. NN ) ) )
30		sumeq1 12104	. . . . . . 7 |- ( x = A -> sum_ k e. x B = sum_ k e. A B )
31	30	oveq1d 6094	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. A B mod N ) )
32		sumeq1 12104	. . . . . . 7 |- ( x = A -> sum_ k e. x ( B mod N ) = sum_ k e. A ( B mod N ) )
33	32	oveq1d 6094	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )
34	31, 33	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) )
35	29, 34	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. A B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) ) )
36		sum0 12138	. . . . . . 7 |- sum_ k e. (/) B = 0
37	36	oveq1i 6089	. . . . . 6 |- ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( 0 mod N )
38		sum0 12138	. . . . . . . 8 |- sum_ k e. (/) ( B mod N ) = 0
39	38	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> sum_ k e. (/) ( B mod N ) = 0 )
40	39	oveq1d 6094	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) = ( 0 mod N ) )
41	37, 40	eqtr4id 2290	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) )
42	41	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A. k e. (/) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) )
43		simp-4l 547	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> y e. Fin )
44		simprr 537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> N e. NN )
45	44	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> N e. NN )
46		simprl 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> A. k e. y B e. ZZ )
47	46	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> A. k e. y B e. ZZ )
48		simplr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> A. k e. { z } B e. ZZ )
49		ralun 3411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) -> A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ )
50	47, 48, 49	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ )
51		simplr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> -. z e. y )
52	51	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> -. z e. y )
53		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) )
54	43, 45, 50, 52, 53	modfsummodlemstep 12207	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
55	54	exp31 364	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
56	55	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> ( ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
57	56	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) ) )
58	57	a2d 26	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) ) )
59		ralunb 3410	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ <-> ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) )
60	59	anbi1i 462	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ N e. NN ) )
61	60	imbi1i 238	. . . . . 6 |- ( ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
62		an32 568	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ N e. NN ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) )
63	62	imbi1i 238	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
64		impexp 263	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
65	61, 63, 64	3bitri 206	. . . . 5 |- ( ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
66	58, 65	imbitrrdi 162	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
67	11, 19, 27, 35, 42, 66	findcard2s 7188	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( A. k e. A B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) )
68	3, 67	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( A. k e. A B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) )
69	1, 2, 68	mp2and 437	1 |- ( ph -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   u. cun 3218   (/)c0 3520   {csn 3708  (class class class)co 6079   Fincfn 7016   0cc0 8173   NNcn 9287   ZZcz 9627   mod cmo 10742   sum_csu 12102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-fl 10688  df-mod 10743  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-ihash 11198  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-sumdc 12103

This theorem is referenced by: (None)