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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modfsummod | Unicode version |
Description: A finite sum modulo a positive integer equals the finite sum of their summands modulo the positive integer, modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) |
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modfsummod.n |
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modfsummod.1 |
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modfsummod.2 |
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modfsummod |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | modfsummod.2 |
. 2
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2 | modfsummod.n |
. 2
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3 | modfsummod.1 |
. . 3
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4 | raleq 2686 |
. . . . . 6
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5 | 4 | anbi1d 465 |
. . . . 5
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6 | sumeq1 11398 |
. . . . . . 7
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7 | 6 | oveq1d 5912 |
. . . . . 6
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8 | sumeq1 11398 |
. . . . . . 7
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9 | 8 | oveq1d 5912 |
. . . . . 6
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10 | 7, 9 | eqeq12d 2204 |
. . . . 5
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11 | 5, 10 | imbi12d 234 |
. . . 4
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12 | raleq 2686 |
. . . . . 6
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13 | 12 | anbi1d 465 |
. . . . 5
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14 | sumeq1 11398 |
. . . . . . 7
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15 | 14 | oveq1d 5912 |
. . . . . 6
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16 | sumeq1 11398 |
. . . . . . 7
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17 | 16 | oveq1d 5912 |
. . . . . 6
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18 | 15, 17 | eqeq12d 2204 |
. . . . 5
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19 | 13, 18 | imbi12d 234 |
. . . 4
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20 | raleq 2686 |
. . . . . 6
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21 | 20 | anbi1d 465 |
. . . . 5
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22 | sumeq1 11398 |
. . . . . . 7
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23 | 22 | oveq1d 5912 |
. . . . . 6
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24 | sumeq1 11398 |
. . . . . . 7
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25 | 24 | oveq1d 5912 |
. . . . . 6
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26 | 23, 25 | eqeq12d 2204 |
. . . . 5
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27 | 21, 26 | imbi12d 234 |
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28 | raleq 2686 |
. . . . . 6
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29 | 28 | anbi1d 465 |
. . . . 5
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30 | sumeq1 11398 |
. . . . . . 7
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31 | 30 | oveq1d 5912 |
. . . . . 6
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32 | sumeq1 11398 |
. . . . . . 7
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33 | 32 | oveq1d 5912 |
. . . . . 6
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34 | 31, 33 | eqeq12d 2204 |
. . . . 5
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35 | 29, 34 | imbi12d 234 |
. . . 4
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36 | sum0 11431 |
. . . . . . 7
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37 | 36 | oveq1i 5907 |
. . . . . 6
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38 | sum0 11431 |
. . . . . . . 8
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39 | 38 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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40 | 39 | oveq1d 5912 |
. . . . . 6
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41 | 37, 40 | eqtr4id 2241 |
. . . . 5
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42 | 41 | adantl 277 |
. . . 4
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43 | simp-4l 541 |
. . . . . . . . . 10
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44 | simprr 531 |
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45 | 44 | ad2antrr 488 |
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46 | simprl 529 |
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47 | 46 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . 11
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48 | simplr 528 |
. . . . . . . . . . 11
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49 | ralun 3332 |
. . . . . . . . . . 11
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50 | 47, 48, 49 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
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51 | simplr 528 |
. . . . . . . . . . 11
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52 | 51 | ad2antrr 488 |
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53 | simpr 110 |
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54 | 43, 45, 50, 52, 53 | modfsummodlemstep 11500 |
. . . . . . . . 9
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55 | 54 | exp31 364 |
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56 | 55 | com23 78 |
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57 | 56 | ex 115 |
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58 | 57 | a2d 26 |
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59 | ralunb 3331 |
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60 | 59 | anbi1i 458 |
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61 | 60 | imbi1i 238 |
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62 | an32 562 |
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63 | 62 | imbi1i 238 |
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64 | impexp 263 |
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65 | 61, 63, 64 | 3bitri 206 |
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67 | 11, 19, 27, 35, 42, 66 | findcard2s 6919 |
. . 3
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68 | 3, 67 | syl 14 |
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69 | 1, 2, 68 | mp2and 433 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 ax-cnex 7933 ax-resscn 7934 ax-1cn 7935 ax-1re 7936 ax-icn 7937 ax-addcl 7938 ax-addrcl 7939 ax-mulcl 7940 ax-mulrcl 7941 ax-addcom 7942 ax-mulcom 7943 ax-addass 7944 ax-mulass 7945 ax-distr 7946 ax-i2m1 7947 ax-0lt1 7948 ax-1rid 7949 ax-0id 7950 ax-rnegex 7951 ax-precex 7952 ax-cnre 7953 ax-pre-ltirr 7954 ax-pre-ltwlin 7955 ax-pre-lttrn 7956 ax-pre-apti 7957 ax-pre-ltadd 7958 ax-pre-mulgt0 7959 ax-pre-mulext 7960 ax-arch 7961 ax-caucvg 7962 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-iord 4384 df-on 4386 df-ilim 4387 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-isom 5244 df-riota 5852 df-ov 5900 df-oprab 5901 df-mpo 5902 df-1st 6166 df-2nd 6167 df-recs 6331 df-irdg 6396 df-frec 6417 df-1o 6442 df-oadd 6446 df-er 6560 df-en 6768 df-dom 6769 df-fin 6770 df-pnf 8025 df-mnf 8026 df-xr 8027 df-ltxr 8028 df-le 8029 df-sub 8161 df-neg 8162 df-reap 8563 df-ap 8570 df-div 8661 df-inn 8951 df-2 9009 df-3 9010 df-4 9011 df-n0 9208 df-z 9285 df-uz 9560 df-q 9652 df-rp 9686 df-fz 10041 df-fzo 10175 df-fl 10303 df-mod 10356 df-seqfrec 10479 df-exp 10554 df-ihash 10791 df-cj 10886 df-re 10887 df-im 10888 df-rsqrt 11042 df-abs 11043 df-clim 11322 df-sumdc 11397 |
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