Theorem modfsummod 11604

Description: A finite sum modulo a positive integer equals the finite sum of their summands modulo the positive integer, modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
modfsummod.n	|- ( ph -> N e. NN )
modfsummod.1	|- ( ph -> A e. Fin )
modfsummod.2	|- ( ph -> A. k e. A B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
modfsummod	|- ( ph -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem modfsummod

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modfsummod.2	. 2 |- ( ph -> A. k e. A B e. ZZ )
2		modfsummod.n	. 2 |- ( ph -> N e. NN )
3		modfsummod.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
4		raleq 2690	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( A. k e. x B e. ZZ <-> A. k e. (/) B e. ZZ ) )
5	4	anbi1d 465	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( A. k e. (/) B e. ZZ /\ N e. NN ) ) )
6		sumeq1 11501	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> sum_ k e. x B = sum_ k e. (/) B )
7	6	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. (/) B mod N ) )
8		sumeq1 11501	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> sum_ k e. x ( B mod N ) = sum_ k e. (/) ( B mod N ) )
9	8	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) )
10	7, 9	eqeq12d 2208	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) ) )
11	5, 10	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. (/) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
12		raleq 2690	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A. k e. x B e. ZZ <-> A. k e. y B e. ZZ ) )
13	12	anbi1d 465	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) )
14		sumeq1 11501	. . . . . . 7 |- ( x = y -> sum_ k e. x B = sum_ k e. y B )
15	14	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. y B mod N ) )
16		sumeq1 11501	. . . . . . 7 |- ( x = y -> sum_ k e. x ( B mod N ) = sum_ k e. y ( B mod N ) )
17	16	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) )
18	15, 17	eqeq12d 2208	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) )
19	13, 18	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) ) )
20		raleq 2690	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. k e. x B e. ZZ <-> A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ ) )
21	20	anbi1d 465	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) ) )
22		sumeq1 11501	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. x B = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
23	22	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) )
24		sumeq1 11501	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. x ( B mod N ) = sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) )
25	24	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
26	23, 25	eqeq12d 2208	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
27	21, 26	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
28		raleq 2690	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( A. k e. x B e. ZZ <-> A. k e. A B e. ZZ ) )
29	28	anbi1d 465	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( A. k e. A B e. ZZ /\ N e. NN ) ) )
30		sumeq1 11501	. . . . . . 7 |- ( x = A -> sum_ k e. x B = sum_ k e. A B )
31	30	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. A B mod N ) )
32		sumeq1 11501	. . . . . . 7 |- ( x = A -> sum_ k e. x ( B mod N ) = sum_ k e. A ( B mod N ) )
33	32	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )
34	31, 33	eqeq12d 2208	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) )
35	29, 34	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. A B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) ) )
36		sum0 11534	. . . . . . 7 |- sum_ k e. (/) B = 0
37	36	oveq1i 5929	. . . . . 6 |- ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( 0 mod N )
38		sum0 11534	. . . . . . . 8 |- sum_ k e. (/) ( B mod N ) = 0
39	38	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> sum_ k e. (/) ( B mod N ) = 0 )
40	39	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) = ( 0 mod N ) )
41	37, 40	eqtr4id 2245	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) )
42	41	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A. k e. (/) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) )
43		simp-4l 541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> y e. Fin )
44		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> N e. NN )
45	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> N e. NN )
46		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> A. k e. y B e. ZZ )
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> A. k e. y B e. ZZ )
48		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> A. k e. { z } B e. ZZ )
49		ralun 3342	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) -> A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ )
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ )
51		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> -. z e. y )
52	51	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> -. z e. y )
53		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) )
54	43, 45, 50, 52, 53	modfsummodlemstep 11603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
55	54	exp31 364	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
56	55	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> ( ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
57	56	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) ) )
58	57	a2d 26	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) ) )
59		ralunb 3341	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ <-> ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) )
60	59	anbi1i 458	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ N e. NN ) )
61	60	imbi1i 238	. . . . . 6 |- ( ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
62		an32 562	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ N e. NN ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) )
63	62	imbi1i 238	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
64		impexp 263	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
65	61, 63, 64	3bitri 206	. . . . 5 |- ( ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
66	58, 65	imbitrrdi 162	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
67	11, 19, 27, 35, 42, 66	findcard2s 6948	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( A. k e. A B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) )
68	3, 67	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( A. k e. A B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) )
69	1, 2, 68	mp2and 433	1 |- ( ph -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   u. cun 3152   (/)c0 3447   {csn 3619  (class class class)co 5919   Fincfn 6796   0cc0 7874   NNcn 8984   ZZcz 9320   mod cmo 10396   sum_csu 11499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-fl 10342  df-mod 10397  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-ihash 10850  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500

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