Theorem modfsummod 11332

Description: A finite sum modulo a positive integer equals the finite sum of their summands modulo the positive integer, modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
modfsummod.n	|- ( ph -> N e. NN )
modfsummod.1	|- ( ph -> A e. Fin )
modfsummod.2	|- ( ph -> A. k e. A B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
modfsummod	|- ( ph -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem modfsummod

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modfsummod.2	. 2 |- ( ph -> A. k e. A B e. ZZ )
2		modfsummod.n	. 2 |- ( ph -> N e. NN )
3		modfsummod.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
4		raleq 2649	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( A. k e. x B e. ZZ <-> A. k e. (/) B e. ZZ ) )
5	4	anbi1d 461	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( A. k e. (/) B e. ZZ /\ N e. NN ) ) )
6		sumeq1 11229	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> sum_ k e. x B = sum_ k e. (/) B )
7	6	oveq1d 5829	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. (/) B mod N ) )
8		sumeq1 11229	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> sum_ k e. x ( B mod N ) = sum_ k e. (/) ( B mod N ) )
9	8	oveq1d 5829	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) )
10	7, 9	eqeq12d 2169	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) ) )
11	5, 10	imbi12d 233	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. (/) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
12		raleq 2649	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A. k e. x B e. ZZ <-> A. k e. y B e. ZZ ) )
13	12	anbi1d 461	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) )
14		sumeq1 11229	. . . . . . 7 |- ( x = y -> sum_ k e. x B = sum_ k e. y B )
15	14	oveq1d 5829	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. y B mod N ) )
16		sumeq1 11229	. . . . . . 7 |- ( x = y -> sum_ k e. x ( B mod N ) = sum_ k e. y ( B mod N ) )
17	16	oveq1d 5829	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) )
18	15, 17	eqeq12d 2169	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) )
19	13, 18	imbi12d 233	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) ) )
20		raleq 2649	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. k e. x B e. ZZ <-> A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ ) )
21	20	anbi1d 461	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) ) )
22		sumeq1 11229	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. x B = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
23	22	oveq1d 5829	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) )
24		sumeq1 11229	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. x ( B mod N ) = sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) )
25	24	oveq1d 5829	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
26	23, 25	eqeq12d 2169	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
27	21, 26	imbi12d 233	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
28		raleq 2649	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( A. k e. x B e. ZZ <-> A. k e. A B e. ZZ ) )
29	28	anbi1d 461	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( A. k e. A B e. ZZ /\ N e. NN ) ) )
30		sumeq1 11229	. . . . . . 7 |- ( x = A -> sum_ k e. x B = sum_ k e. A B )
31	30	oveq1d 5829	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. A B mod N ) )
32		sumeq1 11229	. . . . . . 7 |- ( x = A -> sum_ k e. x ( B mod N ) = sum_ k e. A ( B mod N ) )
33	32	oveq1d 5829	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )
34	31, 33	eqeq12d 2169	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) )
35	29, 34	imbi12d 233	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. A B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) ) )
36		sum0 11262	. . . . . . 7 |- sum_ k e. (/) B = 0
37	36	oveq1i 5824	. . . . . 6 |- ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( 0 mod N )
38		sum0 11262	. . . . . . . 8 |- sum_ k e. (/) ( B mod N ) = 0
39	38	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> sum_ k e. (/) ( B mod N ) = 0 )
40	39	oveq1d 5829	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) = ( 0 mod N ) )
41	37, 40	eqtr4id 2206	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) )
42	41	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A. k e. (/) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) )
43		simp-4l 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> y e. Fin )
44		simprr 522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> N e. NN )
45	44	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> N e. NN )
46		simprl 521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> A. k e. y B e. ZZ )
47	46	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> A. k e. y B e. ZZ )
48		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> A. k e. { z } B e. ZZ )
49		ralun 3285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) -> A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ )
50	47, 48, 49	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ )
51		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> -. z e. y )
52	51	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> -. z e. y )
53		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) )
54	43, 45, 50, 52, 53	modfsummodlemstep 11331	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
55	54	exp31 362	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
56	55	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> ( ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
57	56	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) ) )
58	57	a2d 26	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) ) )
59		ralunb 3284	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ <-> ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) )
60	59	anbi1i 454	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ N e. NN ) )
61	60	imbi1i 237	. . . . . 6 |- ( ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
62		an32 552	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ N e. NN ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) )
63	62	imbi1i 237	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
64		impexp 261	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
65	61, 63, 64	3bitri 205	. . . . 5 |- ( ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
66	58, 65	syl6ibr 161	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
67	11, 19, 27, 35, 42, 66	findcard2s 6824	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( A. k e. A B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) )
68	3, 67	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( A. k e. A B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) )
69	1, 2, 68	mp2and 430	1 |- ( ph -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 2125   A.wral 2432   u. cun 3096   (/)c0 3390   {csn 3556  (class class class)co 5814   Fincfn 6674   0cc0 7711   NNcn 8812   ZZcz 9146   mod cmo 10199   sum_csu 11227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-isom 5172  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-frec 6328  df-1o 6353  df-oadd 6357  df-er 6469  df-en 6675  df-dom 6676  df-fin 6677  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-q 9507  df-rp 9539  df-fz 9891  df-fzo 10020  df-fl 10147  df-mod 10200  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-ihash 10627  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876  df-clim 11153  df-sumdc 11228

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