Theorem modfsummod 11640

Description: A finite sum modulo a positive integer equals the finite sum of their summands modulo the positive integer, modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
modfsummod.n	|- ( ph -> N e. NN )
modfsummod.1	|- ( ph -> A e. Fin )
modfsummod.2	|- ( ph -> A. k e. A B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
modfsummod	|- ( ph -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem modfsummod

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modfsummod.2	. 2 |- ( ph -> A. k e. A B e. ZZ )
2		modfsummod.n	. 2 |- ( ph -> N e. NN )
3		modfsummod.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
4		raleq 2693	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( A. k e. x B e. ZZ <-> A. k e. (/) B e. ZZ ) )
5	4	anbi1d 465	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( A. k e. (/) B e. ZZ /\ N e. NN ) ) )
6		sumeq1 11537	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> sum_ k e. x B = sum_ k e. (/) B )
7	6	oveq1d 5940	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. (/) B mod N ) )
8		sumeq1 11537	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> sum_ k e. x ( B mod N ) = sum_ k e. (/) ( B mod N ) )
9	8	oveq1d 5940	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) )
10	7, 9	eqeq12d 2211	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) ) )
11	5, 10	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. (/) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
12		raleq 2693	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A. k e. x B e. ZZ <-> A. k e. y B e. ZZ ) )
13	12	anbi1d 465	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) )
14		sumeq1 11537	. . . . . . 7 |- ( x = y -> sum_ k e. x B = sum_ k e. y B )
15	14	oveq1d 5940	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. y B mod N ) )
16		sumeq1 11537	. . . . . . 7 |- ( x = y -> sum_ k e. x ( B mod N ) = sum_ k e. y ( B mod N ) )
17	16	oveq1d 5940	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) )
18	15, 17	eqeq12d 2211	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) )
19	13, 18	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) ) )
20		raleq 2693	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. k e. x B e. ZZ <-> A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ ) )
21	20	anbi1d 465	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) ) )
22		sumeq1 11537	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. x B = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
23	22	oveq1d 5940	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) )
24		sumeq1 11537	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. x ( B mod N ) = sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) )
25	24	oveq1d 5940	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
26	23, 25	eqeq12d 2211	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
27	21, 26	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
28		raleq 2693	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( A. k e. x B e. ZZ <-> A. k e. A B e. ZZ ) )
29	28	anbi1d 465	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( A. k e. A B e. ZZ /\ N e. NN ) ) )
30		sumeq1 11537	. . . . . . 7 |- ( x = A -> sum_ k e. x B = sum_ k e. A B )
31	30	oveq1d 5940	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. A B mod N ) )
32		sumeq1 11537	. . . . . . 7 |- ( x = A -> sum_ k e. x ( B mod N ) = sum_ k e. A ( B mod N ) )
33	32	oveq1d 5940	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )
34	31, 33	eqeq12d 2211	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) )
35	29, 34	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. A B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) ) )
36		sum0 11570	. . . . . . 7 |- sum_ k e. (/) B = 0
37	36	oveq1i 5935	. . . . . 6 |- ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( 0 mod N )
38		sum0 11570	. . . . . . . 8 |- sum_ k e. (/) ( B mod N ) = 0
39	38	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> sum_ k e. (/) ( B mod N ) = 0 )
40	39	oveq1d 5940	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) = ( 0 mod N ) )
41	37, 40	eqtr4id 2248	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) )
42	41	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A. k e. (/) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) )
43		simp-4l 541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> y e. Fin )
44		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> N e. NN )
45	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> N e. NN )
46		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> A. k e. y B e. ZZ )
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> A. k e. y B e. ZZ )
48		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> A. k e. { z } B e. ZZ )
49		ralun 3346	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) -> A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ )
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ )
51		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> -. z e. y )
52	51	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> -. z e. y )
53		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) )
54	43, 45, 50, 52, 53	modfsummodlemstep 11639	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
55	54	exp31 364	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
56	55	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> ( ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
57	56	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) ) )
58	57	a2d 26	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) ) )
59		ralunb 3345	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ <-> ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) )
60	59	anbi1i 458	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ N e. NN ) )
61	60	imbi1i 238	. . . . . 6 |- ( ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
62		an32 562	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ N e. NN ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) )
63	62	imbi1i 238	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
64		impexp 263	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
65	61, 63, 64	3bitri 206	. . . . 5 |- ( ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
66	58, 65	imbitrrdi 162	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
67	11, 19, 27, 35, 42, 66	findcard2s 6960	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( A. k e. A B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) )
68	3, 67	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( A. k e. A B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) )
69	1, 2, 68	mp2and 433	1 |- ( ph -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   u. cun 3155   (/)c0 3451   {csn 3623  (class class class)co 5925   Fincfn 6808   0cc0 7896   NNcn 9007   ZZcz 9343   mod cmo 10431   sum_csu 11535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536

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