Theorem modfsummod 11819

Description: A finite sum modulo a positive integer equals the finite sum of their summands modulo the positive integer, modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
modfsummod.n	|- ( ph -> N e. NN )
modfsummod.1	|- ( ph -> A e. Fin )
modfsummod.2	|- ( ph -> A. k e. A B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
modfsummod	|- ( ph -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem modfsummod

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modfsummod.2	. 2 |- ( ph -> A. k e. A B e. ZZ )
2		modfsummod.n	. 2 |- ( ph -> N e. NN )
3		modfsummod.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
4		raleq 2703	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( A. k e. x B e. ZZ <-> A. k e. (/) B e. ZZ ) )
5	4	anbi1d 465	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( A. k e. (/) B e. ZZ /\ N e. NN ) ) )
6		sumeq1 11716	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> sum_ k e. x B = sum_ k e. (/) B )
7	6	oveq1d 5969	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. (/) B mod N ) )
8		sumeq1 11716	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> sum_ k e. x ( B mod N ) = sum_ k e. (/) ( B mod N ) )
9	8	oveq1d 5969	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) )
10	7, 9	eqeq12d 2221	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) ) )
11	5, 10	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. (/) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
12		raleq 2703	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A. k e. x B e. ZZ <-> A. k e. y B e. ZZ ) )
13	12	anbi1d 465	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) )
14		sumeq1 11716	. . . . . . 7 |- ( x = y -> sum_ k e. x B = sum_ k e. y B )
15	14	oveq1d 5969	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. y B mod N ) )
16		sumeq1 11716	. . . . . . 7 |- ( x = y -> sum_ k e. x ( B mod N ) = sum_ k e. y ( B mod N ) )
17	16	oveq1d 5969	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) )
18	15, 17	eqeq12d 2221	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) )
19	13, 18	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) ) )
20		raleq 2703	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. k e. x B e. ZZ <-> A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ ) )
21	20	anbi1d 465	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) ) )
22		sumeq1 11716	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. x B = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
23	22	oveq1d 5969	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) )
24		sumeq1 11716	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. x ( B mod N ) = sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) )
25	24	oveq1d 5969	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
26	23, 25	eqeq12d 2221	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
27	21, 26	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
28		raleq 2703	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( A. k e. x B e. ZZ <-> A. k e. A B e. ZZ ) )
29	28	anbi1d 465	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( A. k e. A B e. ZZ /\ N e. NN ) ) )
30		sumeq1 11716	. . . . . . 7 |- ( x = A -> sum_ k e. x B = sum_ k e. A B )
31	30	oveq1d 5969	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. A B mod N ) )
32		sumeq1 11716	. . . . . . 7 |- ( x = A -> sum_ k e. x ( B mod N ) = sum_ k e. A ( B mod N ) )
33	32	oveq1d 5969	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )
34	31, 33	eqeq12d 2221	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) )
35	29, 34	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( ( A. k e. x B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. x B mod N ) = ( sum_ k e. x ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. A B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) ) )
36		sum0 11749	. . . . . . 7 |- sum_ k e. (/) B = 0
37	36	oveq1i 5964	. . . . . 6 |- ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( 0 mod N )
38		sum0 11749	. . . . . . . 8 |- sum_ k e. (/) ( B mod N ) = 0
39	38	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> sum_ k e. (/) ( B mod N ) = 0 )
40	39	oveq1d 5969	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) = ( 0 mod N ) )
41	37, 40	eqtr4id 2258	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) )
42	41	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A. k e. (/) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. (/) B mod N ) = ( sum_ k e. (/) ( B mod N ) mod N ) )
43		simp-4l 541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> y e. Fin )
44		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> N e. NN )
45	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> N e. NN )
46		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> A. k e. y B e. ZZ )
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> A. k e. y B e. ZZ )
48		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> A. k e. { z } B e. ZZ )
49		ralun 3357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) -> A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ )
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ )
51		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> -. z e. y )
52	51	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> -. z e. y )
53		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) )
54	43, 45, 50, 52, 53	modfsummodlemstep 11818	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
55	54	exp31 364	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
56	55	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) ) -> ( ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
57	56	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) ) )
58	57	a2d 26	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) ) )
59		ralunb 3356	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ <-> ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) )
60	59	anbi1i 458	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ N e. NN ) )
61	60	imbi1i 238	. . . . . 6 |- ( ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
62		an32 562	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ N e. NN ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) )
63	62	imbi1i 238	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
64		impexp 263	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
65	61, 63, 64	3bitri 206	. . . . 5 |- ( ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) <-> ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A. k e. { z } B e. ZZ -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
66	58, 65	imbitrrdi 162	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( A. k e. y B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. y B mod N ) = ( sum_ k e. y ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. ( y u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( y u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
67	11, 19, 27, 35, 42, 66	findcard2s 6999	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( A. k e. A B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) )
68	3, 67	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( A. k e. A B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) )
69	1, 2, 68	mp2and 433	1 |- ( ph -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   u. cun 3166   (/)c0 3462   {csn 3635  (class class class)co 5954   Fincfn 6837   0cc0 7938   NNcn 9049   ZZcz 9385   mod cmo 10480   sum_csu 11714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056  ax-arch 8057  ax-caucvg 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-isom 5286  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-irdg 6466  df-frec 6487  df-1o 6512  df-oadd 6516  df-er 6630  df-en 6838  df-dom 6839  df-fin 6840  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-n0 9309  df-z 9386  df-uz 9662  df-q 9754  df-rp 9789  df-fz 10144  df-fzo 10278  df-fl 10426  df-mod 10481  df-seqfrec 10606  df-exp 10697  df-ihash 10934  df-cj 11203  df-re 11204  df-im 11205  df-rsqrt 11359  df-abs 11360  df-clim 11640  df-sumdc 11715

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