Theorem modfsummodlem1 11218

Description: Lemma for modfsummod 11220. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modfsummodlem1	⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑧,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem modfsummodlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vsnid 3552	. . 3 ⊢ 𝑧 ∈ {𝑧}
2		elun2 3239	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧} → 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})
4		rspcsbela 3054	. 2 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
5	3, 4	mpan 420	1 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480  ∀wral 2414  ⦋csb 2998   ∪ cun 3064  {csn 3522  ℤcz 9047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-sn 3528

This theorem is referenced by:  modfsummodlemstep  11219