Theorem modfsummodlem1 11257

Description: Lemma for modfsummod 11259. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modfsummodlem1	⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑧,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem modfsummodlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vsnid 3564	. . 3 ⊢ 𝑧 ∈ {𝑧}
2		elun2 3249	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧} → 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})
4		rspcsbela 3064	. 2 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
5	3, 4	mpan 421	1 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ⦋csb 3007   ∪ cun 3074  {csn 3532  ℤcz 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-sn 3538

This theorem is referenced by:  modfsummodlemstep  11258