Theorem nalset 4214

Description: No set contains all sets. Theorem 41 of [Suppes] p. 30. (Contributed by NM, 23-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
nalset	|- -. E. x A. y y e. x

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem nalset

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alexnim 1694	. 2 |- ( A. x E. y -. y e. x -> -. E. x A. y y e. x )
2		ax-sep 4202	. . 3 |- E. y A. z ( z e. y <-> ( z e. x /\ -. z e. z ) )
3		elequ1 2204	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( z e. y <-> y e. y ) )
4		elequ1 2204	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( z e. x <-> y e. x ) )
5		elequ1 2204	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( z e. z <-> y e. z ) )
6		elequ2 2205	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( y e. z <-> y e. y ) )
7	5, 6	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( z e. z <-> y e. y ) )
8	7	notbid 671	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( -. z e. z <-> -. y e. y ) )
9	4, 8	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( ( z e. x /\ -. z e. z ) <-> ( y e. x /\ -. y e. y ) ) )
10	3, 9	bibi12d 235	. . . . 5 |- ( z = y -> ( ( z e. y <-> ( z e. x /\ -. z e. z ) ) <-> ( y e. y <-> ( y e. x /\ -. y e. y ) ) ) )
11	10	spv 1906	. . . 4 |- ( A. z ( z e. y <-> ( z e. x /\ -. z e. z ) ) -> ( y e. y <-> ( y e. x /\ -. y e. y ) ) )
12		pclem6 1416	. . . 4 |- ( ( y e. y <-> ( y e. x /\ -. y e. y ) ) -> -. y e. x )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( A. z ( z e. y <-> ( z e. x /\ -. z e. z ) ) -> -. y e. x )
14	2, 13	eximii 1648	. 2 |- E. y -. y e. x
15	1, 14	mpg 1497	1 |- -. E. x A. y y e. x

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1393   E.wex 1538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-5 1493  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-sep 4202

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507

This theorem is referenced by:  vnex  4215