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Theorem nalset 4117
Description: No set contains all sets. Theorem 41 of [Suppes] p. 30. (Contributed by NM, 23-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
nalset  |-  -.  E. x A. y  y  e.  x
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem nalset
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alexnim 1641 . 2  |-  ( A. x E. y  -.  y  e.  x  ->  -.  E. x A. y  y  e.  x )
2 ax-sep 4105 . . 3  |-  E. y A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )
3 elequ1 2145 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  y  <->  y  e.  y ) )
4 elequ1 2145 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  x  <->  y  e.  x ) )
5 elequ1 2145 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  z  <->  y  e.  z ) )
6 elequ2 2146 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  y ) )
75, 6bitrd 187 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  z  <->  y  e.  y ) )
87notbid 662 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( -.  z  e.  z  <->  -.  y  e.  y ) )
94, 8anbi12d 470 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z )  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) )
103, 9bibi12d 234 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  e.  y  <-> 
( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  <->  ( y  e.  y  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) ) )
1110spv 1853 . . . 4  |-  ( A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  -> 
( y  e.  y  <-> 
( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) )
12 pclem6 1369 . . . 4  |-  ( ( y  e.  y  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) )  ->  -.  y  e.  x
)
1311, 12syl 14 . . 3  |-  ( A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  ->  -.  y  e.  x
)
142, 13eximii 1595 . 2  |-  E. y  -.  y  e.  x
151, 14mpg 1444 1  |-  -.  E. x A. y  y  e.  x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1346   E.wex 1485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-5 1440  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-sep 4105
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454
This theorem is referenced by:  vnex  4118
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