Theorem poss 4363

Description: Subset theorem for the partial ordering predicate. (Contributed by NM, 27-Mar-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
poss	|- ( A C_ B -> ( R Po B -> R Po A ) )

Proof of Theorem poss

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssralv 3265	. . 3 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. x e. A A. y e. B A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
2		ssralv 3265	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ( A. y e. B A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. y e. A A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
3		ssralv 3265	. . . . . 6 |- ( A C_ B -> ( A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
4	3	ralimdv 2576	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ( A. y e. A A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
5	2, 4	syld 45	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( A. y e. B A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
6	5	ralimdv 2576	. . 3 |- ( A C_ B -> ( A. x e. A A. y e. B A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
7	1, 6	syld 45	. 2 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
8		df-po 4361	. 2 |- ( R Po B <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
9		df-po 4361	. 2 |- ( R Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
10	7, 8, 9	3imtr4g 205	1 |- ( A C_ B -> ( R Po B -> R Po A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   A.wral 2486   C_ wss 3174   class class class wbr 4059   Po wpo 4359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-11 1530  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-ral 2491  df-in 3180  df-ss 3187  df-po 4361

This theorem is referenced by:  poeq2  4365  soss  4379  fimaxq  11009