Theorem poss 4300

Description: Subset theorem for the partial ordering predicate. (Contributed by NM, 27-Mar-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
poss	|- ( A C_ B -> ( R Po B -> R Po A ) )

Proof of Theorem poss

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssralv 3221	. . 3 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. x e. A A. y e. B A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
2		ssralv 3221	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ( A. y e. B A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. y e. A A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
3		ssralv 3221	. . . . . 6 |- ( A C_ B -> ( A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
4	3	ralimdv 2545	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ( A. y e. A A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
5	2, 4	syld 45	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( A. y e. B A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
6	5	ralimdv 2545	. . 3 |- ( A C_ B -> ( A. x e. A A. y e. B A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
7	1, 6	syld 45	. 2 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
8		df-po 4298	. 2 |- ( R Po B <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
9		df-po 4298	. 2 |- ( R Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
10	7, 8, 9	3imtr4g 205	1 |- ( A C_ B -> ( R Po B -> R Po A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   A.wral 2455   C_ wss 3131   class class class wbr 4005   Po wpo 4296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-11 1506  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-ral 2460  df-in 3137  df-ss 3144  df-po 4298

This theorem is referenced by:  poeq2  4302  soss  4316  fimaxq  10809