Theorem poss 4401

Description: Subset theorem for the partial ordering predicate. (Contributed by NM, 27-Mar-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
poss	|- ( A C_ B -> ( R Po B -> R Po A ) )

Proof of Theorem poss

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssralv 3292	. . 3 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. x e. A A. y e. B A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
2		ssralv 3292	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ( A. y e. B A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. y e. A A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
3		ssralv 3292	. . . . . 6 |- ( A C_ B -> ( A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
4	3	ralimdv 2601	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ( A. y e. A A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
5	2, 4	syld 45	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( A. y e. B A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
6	5	ralimdv 2601	. . 3 |- ( A C_ B -> ( A. x e. A A. y e. B A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
7	1, 6	syld 45	. 2 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
8		df-po 4399	. 2 |- ( R Po B <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
9		df-po 4399	. 2 |- ( R Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
10	7, 8, 9	3imtr4g 205	1 |- ( A C_ B -> ( R Po B -> R Po A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   A.wral 2511   C_ wss 3201   class class class wbr 4093   Po wpo 4397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-ral 2516  df-in 3207  df-ss 3214  df-po 4399

This theorem is referenced by:  poeq2  4403  soss  4417  fimaxq  11154