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Theorem poss 4281
Description: Subset theorem for the partial ordering predicate. (Contributed by NM, 27-Mar-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
poss  |-  ( A 
C_  B  ->  ( R  Po  B  ->  R  Po  A ) )

Proof of Theorem poss
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssralv 3211 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) ) )
2 ssralv 3211 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) ) )
3 ssralv 3211 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A. z  e.  B  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) ) )
43ralimdv 2538 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) ) )
52, 4syld 45 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) ) )
65ralimdv 2538 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) ) )
71, 6syld 45 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) ) )
8 df-po 4279 . 2  |-  ( R  Po  B  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
9 df-po 4279 . 2  |-  ( R  Po  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
107, 8, 93imtr4g 204 1  |-  ( A 
C_  B  ->  ( R  Po  B  ->  R  Po  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103   A.wral 2448    C_ wss 3121   class class class wbr 3987    Po wpo 4277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-11 1499  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-ral 2453  df-in 3127  df-ss 3134  df-po 4279
This theorem is referenced by:  poeq2  4283  soss  4297  fimaxq  10749
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