Theorem soss 4299

Description: Subset theorem for the strict ordering predicate. (Contributed by NM, 16-Mar-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
soss	|- ( A C_ B -> ( R Or B -> R Or A ) )

Proof of Theorem soss

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poss 4283	. . 3 |- ( A C_ B -> ( R Po B -> R Po A ) )
2		ssel 3141	. . . . . . . 8 |- ( A C_ B -> ( x e. A -> x e. B ) )
3		ssel 3141	. . . . . . . 8 |- ( A C_ B -> ( y e. A -> y e. B ) )
4		ssel 3141	. . . . . . . 8 |- ( A C_ B -> ( z e. A -> z e. B ) )
5	2, 3, 4	3anim123d 1314	. . . . . . 7 |- ( A C_ B -> ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) )
6	5	imim1d 75	. . . . . 6 |- ( A C_ B -> ( ( ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) ) )
7	6	2alimdv 1874	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ( A. y A. z ( ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) -> A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) ) )
8	7	alimdv 1872	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( A. x A. y A. z ( ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) -> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) ) )
9		r3al 2514	. . . 4 |- ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) <-> A. x A. y A. z ( ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
10		r3al 2514	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) <-> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
11	8, 9, 10	3imtr4g 204	. . 3 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) -> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
12	1, 11	anim12d 333	. 2 |- ( A C_ B -> ( ( R Po B /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) -> ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) ) )
13		df-iso 4282	. 2 |- ( R Or B <-> ( R Po B /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
14		df-iso 4282	. 2 |- ( R Or A <-> ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
15	12, 13, 14	3imtr4g 204	1 |- ( A C_ B -> ( R Or B -> R Or A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703   /\ w3a 973   A.wal 1346   e. wcel 2141   A.wral 2448   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   Po wpo 4279   Or wor 4280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-in 3127  df-ss 3134  df-po 4281  df-iso 4282

This theorem is referenced by:  soeq2  4301