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Theorem soss 4204
Description: Subset theorem for the strict ordering predicate. (Contributed by NM, 16-Mar-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
soss  |-  ( A 
C_  B  ->  ( R  Or  B  ->  R  Or  A ) )

Proof of Theorem soss
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poss 4188 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  ( R  Po  B  ->  R  Po  A ) )
2 ssel 3059 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  B  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  B )
)
3 ssel 3059 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  B  ->  (
y  e.  A  -> 
y  e.  B ) )
4 ssel 3059 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  B  ->  (
z  e.  A  -> 
z  e.  B ) )
52, 3, 43anim123d 1280 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
)  ->  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) ) )
65imim1d 75 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) ) )  -> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) ) ) ) )
762alimdv 1835 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A. y A. z ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
)  ->  ( x R y  ->  (
x R z  \/  z R y ) ) )  ->  A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) ) ) ) )
87alimdv 1833 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A. x A. y A. z ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) ) )  ->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) ) ) ) )
9 r3al 2452 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) )  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
)  ->  ( x R y  ->  (
x R z  \/  z R y ) ) ) )
10 r3al 2452 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) )  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
)  ->  ( x R y  ->  (
x R z  \/  z R y ) ) ) )
118, 9, 103imtr4g 204 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) ) ) )
121, 11anim12d 331 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( R  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) ) )  ->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) ) ) ) )
13 df-iso 4187 . 2  |-  ( R  Or  B  <->  ( R  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x R y  ->  (
x R z  \/  z R y ) ) ) )
14 df-iso 4187 . 2  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R y  ->  (
x R z  \/  z R y ) ) ) )
1512, 13, 143imtr4g 204 1  |-  ( A 
C_  B  ->  ( R  Or  B  ->  R  Or  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 680    /\ w3a 945   A.wal 1312    e. wcel 1463   A.wral 2391    C_ wss 3039   class class class wbr 3897    Po wpo 4184    Or wor 4185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-in 3045  df-ss 3052  df-po 4186  df-iso 4187
This theorem is referenced by:  soeq2  4206
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