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Theorem soss 4310
Description: Subset theorem for the strict ordering predicate. (Contributed by NM, 16-Mar-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
soss  |-  ( A 
C_  B  ->  ( R  Or  B  ->  R  Or  A ) )

Proof of Theorem soss
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poss 4294 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  ( R  Po  B  ->  R  Po  A ) )
2 ssel 3149 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  B  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  B )
)
3 ssel 3149 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  B  ->  (
y  e.  A  -> 
y  e.  B ) )
4 ssel 3149 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  B  ->  (
z  e.  A  -> 
z  e.  B ) )
52, 3, 43anim123d 1319 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
)  ->  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) ) )
65imim1d 75 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) ) )  -> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) ) ) ) )
762alimdv 1881 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A. y A. z ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
)  ->  ( x R y  ->  (
x R z  \/  z R y ) ) )  ->  A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) ) ) ) )
87alimdv 1879 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A. x A. y A. z ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) ) )  ->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) ) ) ) )
9 r3al 2521 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) )  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
)  ->  ( x R y  ->  (
x R z  \/  z R y ) ) ) )
10 r3al 2521 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) )  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
)  ->  ( x R y  ->  (
x R z  \/  z R y ) ) ) )
118, 9, 103imtr4g 205 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) ) ) )
121, 11anim12d 335 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( R  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) ) )  ->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) ) ) ) )
13 df-iso 4293 . 2  |-  ( R  Or  B  <->  ( R  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x R y  ->  (
x R z  \/  z R y ) ) ) )
14 df-iso 4293 . 2  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R y  ->  (
x R z  \/  z R y ) ) ) )
1512, 13, 143imtr4g 205 1  |-  ( A 
C_  B  ->  ( R  Or  B  ->  R  Or  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 708    /\ w3a 978   A.wal 1351    e. wcel 2148   A.wral 2455    C_ wss 3129   class class class wbr 4000    Po wpo 4290    Or wor 4291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-in 3135  df-ss 3142  df-po 4292  df-iso 4293
This theorem is referenced by:  soeq2  4312
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