Theorem soss 4349

Description: Subset theorem for the strict ordering predicate. (Contributed by NM, 16-Mar-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
soss	|- ( A C_ B -> ( R Or B -> R Or A ) )

Proof of Theorem soss

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poss 4333	. . 3 |- ( A C_ B -> ( R Po B -> R Po A ) )
2		ssel 3177	. . . . . . . 8 |- ( A C_ B -> ( x e. A -> x e. B ) )
3		ssel 3177	. . . . . . . 8 |- ( A C_ B -> ( y e. A -> y e. B ) )
4		ssel 3177	. . . . . . . 8 |- ( A C_ B -> ( z e. A -> z e. B ) )
5	2, 3, 4	3anim123d 1330	. . . . . . 7 |- ( A C_ B -> ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) )
6	5	imim1d 75	. . . . . 6 |- ( A C_ B -> ( ( ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) ) )
7	6	2alimdv 1895	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ( A. y A. z ( ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) -> A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) ) )
8	7	alimdv 1893	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( A. x A. y A. z ( ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) -> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) ) )
9		r3al 2541	. . . 4 |- ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) <-> A. x A. y A. z ( ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
10		r3al 2541	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) <-> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
11	8, 9, 10	3imtr4g 205	. . 3 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) -> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
12	1, 11	anim12d 335	. 2 |- ( A C_ B -> ( ( R Po B /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) -> ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) ) )
13		df-iso 4332	. 2 |- ( R Or B <-> ( R Po B /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
14		df-iso 4332	. 2 |- ( R Or A <-> ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
15	12, 13, 14	3imtr4g 205	1 |- ( A C_ B -> ( R Or B -> R Or A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   /\ w3a 980   A.wal 1362   e. wcel 2167   A.wral 2475   C_ wss 3157   class class class wbr 4033   Po wpo 4329   Or wor 4330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-in 3163  df-ss 3170  df-po 4331  df-iso 4332

This theorem is referenced by:  soeq2  4351