Theorem soss 4269

Description: Subset theorem for the strict ordering predicate. (Contributed by NM, 16-Mar-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
soss	|- ( A C_ B -> ( R Or B -> R Or A ) )

Proof of Theorem soss

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poss 4253	. . 3 |- ( A C_ B -> ( R Po B -> R Po A ) )
2		ssel 3118	. . . . . . . 8 |- ( A C_ B -> ( x e. A -> x e. B ) )
3		ssel 3118	. . . . . . . 8 |- ( A C_ B -> ( y e. A -> y e. B ) )
4		ssel 3118	. . . . . . . 8 |- ( A C_ B -> ( z e. A -> z e. B ) )
5	2, 3, 4	3anim123d 1298	. . . . . . 7 |- ( A C_ B -> ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) )
6	5	imim1d 75	. . . . . 6 |- ( A C_ B -> ( ( ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) ) )
7	6	2alimdv 1858	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ( A. y A. z ( ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) -> A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) ) )
8	7	alimdv 1856	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( A. x A. y A. z ( ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) -> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) ) )
9		r3al 2498	. . . 4 |- ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) <-> A. x A. y A. z ( ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
10		r3al 2498	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) <-> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
11	8, 9, 10	3imtr4g 204	. . 3 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) -> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
12	1, 11	anim12d 333	. 2 |- ( A C_ B -> ( ( R Po B /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) -> ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) ) )
13		df-iso 4252	. 2 |- ( R Or B <-> ( R Po B /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
14		df-iso 4252	. 2 |- ( R Or A <-> ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
15	12, 13, 14	3imtr4g 204	1 |- ( A C_ B -> ( R Or B -> R Or A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   /\ w3a 963   A.wal 1330   e. wcel 2125   A.wral 2432   C_ wss 3098   class class class wbr 3961   Po wpo 4249   Or wor 4250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-ext 2136

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-in 3104  df-ss 3111  df-po 4251  df-iso 4252

This theorem is referenced by:  soeq2  4271