ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fimaxq Unicode version
Theorem fimaxq 11081
Description: A finite set of rational numbers has a maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2022.)
Assertion
Ref Expression
fimaxq |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A y <_ x )
Distinct variable group:   x, A, y
Proof of Theorem fimaxq
StepHypRef Expression
1 qssre 9854 . . . . 5 |- QQ C_ RR
2 sstr 3233 . . . . . 6 |- ( ( A C_ QQ /\ QQ C_ RR ) -> A C_ RR )
3 ltso 8247 . . . . . . 7 |- < Or RR
4 sopo 4408 . . . . . . 7 |- ( < Or RR -> < Po RR )
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 |- < Po RR
6 poss 4393 . . . . . 6 |- ( A C_ RR -> ( < Po RR -> < Po A ) )
72, 5, 6mpisyl 1489 . . . . 5 |- ( ( A C_ QQ /\ QQ C_ RR ) -> < Po A )
81, 7mpan2 425 . . . 4 |- ( A C_ QQ -> < Po A )
983ad2ant1 1042 . . 3 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> < Po A )
10 simpl1 1024 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> A C_ QQ )
11 simprl 529 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. A )
1210, 11sseldd 3226 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. QQ )
13 simprr 531 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. A )
1410, 13sseldd 3226 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. QQ )
15 qtri3or 10490 . . . . 5 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> ( x < y \/ x = y \/ y < x ) )
1612, 14, 15syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x < y \/ x = y \/ y < x ) )
1716ralrimivva 2612 . . 3 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x < y \/ x = y \/ y < x ) )
18 simp2 1022 . . 3 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> A e. Fin )
19 simp3 1023 . . 3 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> A =/= (/) )
209, 17, 18, 19fimax2gtri 7084 . 2 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A -. x < y )
21 simpll1 1060 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> A C_ QQ )
22 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. A )
2321, 22sseldd 3226 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. QQ )
24 qre 9849 . . . . . 6 |- ( y e. QQ -> y e. RR )
2523, 24syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. RR )
26 simplr 528 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> x e. A )
2721, 26sseldd 3226 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> x e. QQ )
28 qre 9849 . . . . . 6 |- ( x e. QQ -> x e. RR )
2927, 28syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> x e. RR )
3025, 29lenltd 8287 . . . 4 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( y <_ x <-> -. x < y ) )
3130ralbidva 2526 . . 3 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. A y <_ x <-> A. y e. A -. x < y ) )
3231rexbidva 2527 . 2 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. A A. y e. A y <_ x <-> E. x e. A A. y e. A -. x < y ) )
3320, 32mpbird 167 1 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A y <_ x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 1001   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3198   (/)c0 3492   class class class wbr 4086   Po wpo 4389   Or wor 4390   Fincfn 6904   RRcr 8021   < clt 8204   <_ cle 8205   QQcq 9843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-er 6697  df-en 6905  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-q 9844  df-rp 9879
This theorem is referenced by:  fiubm  11082  zfz1iso  11095
  Copyright terms: Public domain W3C validator