ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fimaxq Unicode version
Theorem fimaxq 11011
Description: A finite set of rational numbers has a maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2022.)
Assertion
Ref Expression
fimaxq |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A y <_ x )
Distinct variable group:   x, A, y
Proof of Theorem fimaxq
StepHypRef Expression
1 qssre 9788 . . . . 5 |- QQ C_ RR
2 sstr 3210 . . . . . 6 |- ( ( A C_ QQ /\ QQ C_ RR ) -> A C_ RR )
3 ltso 8187 . . . . . . 7 |- < Or RR
4 sopo 4379 . . . . . . 7 |- ( < Or RR -> < Po RR )
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 |- < Po RR
6 poss 4364 . . . . . 6 |- ( A C_ RR -> ( < Po RR -> < Po A ) )
72, 5, 6mpisyl 1467 . . . . 5 |- ( ( A C_ QQ /\ QQ C_ RR ) -> < Po A )
81, 7mpan2 425 . . . 4 |- ( A C_ QQ -> < Po A )
983ad2ant1 1021 . . 3 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> < Po A )
10 simpl1 1003 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> A C_ QQ )
11 simprl 529 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. A )
1210, 11sseldd 3203 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. QQ )
13 simprr 531 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. A )
1410, 13sseldd 3203 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. QQ )
15 qtri3or 10422 . . . . 5 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> ( x < y \/ x = y \/ y < x ) )
1612, 14, 15syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x < y \/ x = y \/ y < x ) )
1716ralrimivva 2590 . . 3 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x < y \/ x = y \/ y < x ) )
18 simp2 1001 . . 3 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> A e. Fin )
19 simp3 1002 . . 3 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> A =/= (/) )
209, 17, 18, 19fimax2gtri 7026 . 2 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A -. x < y )
21 simpll1 1039 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> A C_ QQ )
22 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. A )
2321, 22sseldd 3203 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. QQ )
24 qre 9783 . . . . . 6 |- ( y e. QQ -> y e. RR )
2523, 24syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. RR )
26 simplr 528 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> x e. A )
2721, 26sseldd 3203 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> x e. QQ )
28 qre 9783 . . . . . 6 |- ( x e. QQ -> x e. RR )
2927, 28syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> x e. RR )
3025, 29lenltd 8227 . . . 4 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( y <_ x <-> -. x < y ) )
3130ralbidva 2504 . . 3 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. A y <_ x <-> A. y e. A -. x < y ) )
3231rexbidva 2505 . 2 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. A A. y e. A y <_ x <-> E. x e. A A. y e. A -. x < y ) )
3320, 32mpbird 167 1 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A y <_ x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 980   /\ w3a 981   e. wcel 2178   =/= wne 2378   A.wral 2486   E.wrex 2487   C_ wss 3175   (/)c0 3469   class class class wbr 4060   Po wpo 4360   Or wor 4361   Fincfn 6852   RRcr 7961   < clt 8144   <_ cle 8145   QQcq 9777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4176  ax-sep 4179  ax-nul 4187  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-iinf 4655  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-mulrcl 8061  ax-addcom 8062  ax-mulcom 8063  ax-addass 8064  ax-mulass 8065  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-1rid 8069  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-precex 8072  ax-cnre 8073  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-ltwlin 8075  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-apti 8077  ax-pre-ltadd 8078  ax-pre-mulgt0 8079  ax-pre-mulext 8080
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-if 3581  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-tr 4160  df-id 4359  df-po 4362  df-iso 4363  df-iord 4432  df-on 4434  df-suc 4437  df-iom 4658  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-er 6645  df-en 6853  df-fin 6855  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-sub 8282  df-neg 8283  df-reap 8685  df-ap 8692  df-div 8783  df-inn 9074  df-n0 9333  df-z 9410  df-q 9778  df-rp 9813
This theorem is referenced by:  fiubm  11012  zfz1iso  11025
  Copyright terms: Public domain W3C validator