ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fimaxq Unicode version

Theorem fimaxq 10459
Description: A finite set of rational numbers has a maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2022.)
Assertion
Ref Expression
fimaxq  |-  ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x )
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem fimaxq
StepHypRef Expression
1 qssre 9317 . . . . 5  |-  QQ  C_  RR
2 sstr 3069 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  QQ  /\  QQ  C_  RR )  ->  A  C_  RR )
3 ltso 7758 . . . . . . 7  |-  <  Or  RR
4 sopo 4193 . . . . . . 7  |-  (  < 
Or  RR  ->  <  Po  RR )
53, 4ax-mp 7 . . . . . 6  |-  <  Po  RR
6 poss 4178 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  (  < 
Po  RR  ->  <  Po  A ) )
72, 5, 6mpisyl 1403 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  QQ  /\  QQ  C_  RR )  ->  <  Po  A )
81, 7mpan2 419 . . . 4  |-  ( A 
C_  QQ  ->  <  Po  A )
983ad2ant1 983 . . 3  |-  ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  <  Po  A )
10 simpl1 965 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  A  C_  QQ )
11 simprl 503 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  x  e.  A )
1210, 11sseldd 3062 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  x  e.  QQ )
13 simprr 504 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  y  e.  A )
1410, 13sseldd 3062 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  y  e.  QQ )
15 qtri3or 9906 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  y  e.  QQ )  ->  ( x  <  y  \/  x  =  y  \/  y  <  x ) )
1612, 14, 15syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( x  <  y  \/  x  =  y  \/  y  < 
x ) )
1716ralrimivva 2486 . . 3  |-  ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <  y  \/  x  =  y  \/  y  < 
x ) )
18 simp2 963 . . 3  |-  ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  e. 
Fin )
19 simp3 964 . . 3  |-  ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  =/=  (/) )
209, 17, 18, 19fimax2gtri 6745 . 2  |-  ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  <  y )
21 simpll1 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  A  C_  QQ )
22 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  A )
2321, 22sseldd 3062 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  QQ )
24 qre 9312 . . . . . 6  |-  ( y  e.  QQ  ->  y  e.  RR )
2523, 24syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
26 simplr 502 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  x  e.  A )
2721, 26sseldd 3062 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  x  e.  QQ )
28 qre 9312 . . . . . 6  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  RR )
2927, 28syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
3025, 29lenltd 7796 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  <_  x  <->  -.  x  <  y ) )
3130ralbidva 2405 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. y  e.  A  -.  x  <  y ) )
3231rexbidva 2406 . 2  |-  ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  <  y ) )
3320, 32mpbird 166 1  |-  ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ w3o 942    /\ w3a 943    e. wcel 1461    =/= wne 2280   A.wral 2388   E.wrex 2389    C_ wss 3035   (/)c0 3327   class class class wbr 3893    Po wpo 4174    Or wor 4175   Fincfn 6585   RRcr 7539    < clt 7717    <_ cle 7718   QQcq 9306
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-mulrcl 7637  ax-addcom 7638  ax-mulcom 7639  ax-addass 7640  ax-mulass 7641  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-1rid 7645  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-precex 7648  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-apti 7653  ax-pre-ltadd 7654  ax-pre-mulgt0 7655  ax-pre-mulext 7656
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5989  df-2nd 5990  df-er 6380  df-en 6586  df-fin 6588  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-reap 8248  df-ap 8255  df-div 8339  df-inn 8624  df-n0 8875  df-z 8952  df-q 9307  df-rp 9337
This theorem is referenced by:  zfz1iso  10470
  Copyright terms: Public domain W3C validator