ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fimaxq Unicode version
Theorem fimaxq 10809
Description: A finite set of rational numbers has a maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2022.)
Assertion
Ref Expression
fimaxq |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A y <_ x )
Distinct variable group:   x, A, y
Proof of Theorem fimaxq
StepHypRef Expression
1 qssre 9632 . . . . 5 |- QQ C_ RR
2 sstr 3165 . . . . . 6 |- ( ( A C_ QQ /\ QQ C_ RR ) -> A C_ RR )
3 ltso 8037 . . . . . . 7 |- < Or RR
4 sopo 4315 . . . . . . 7 |- ( < Or RR -> < Po RR )
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 |- < Po RR
6 poss 4300 . . . . . 6 |- ( A C_ RR -> ( < Po RR -> < Po A ) )
72, 5, 6mpisyl 1446 . . . . 5 |- ( ( A C_ QQ /\ QQ C_ RR ) -> < Po A )
81, 7mpan2 425 . . . 4 |- ( A C_ QQ -> < Po A )
983ad2ant1 1018 . . 3 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> < Po A )
10 simpl1 1000 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> A C_ QQ )
11 simprl 529 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. A )
1210, 11sseldd 3158 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. QQ )
13 simprr 531 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. A )
1410, 13sseldd 3158 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. QQ )
15 qtri3or 10245 . . . . 5 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> ( x < y \/ x = y \/ y < x ) )
1612, 14, 15syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x < y \/ x = y \/ y < x ) )
1716ralrimivva 2559 . . 3 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x < y \/ x = y \/ y < x ) )
18 simp2 998 . . 3 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> A e. Fin )
19 simp3 999 . . 3 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> A =/= (/) )
209, 17, 18, 19fimax2gtri 6903 . 2 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A -. x < y )
21 simpll1 1036 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> A C_ QQ )
22 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. A )
2321, 22sseldd 3158 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. QQ )
24 qre 9627 . . . . . 6 |- ( y e. QQ -> y e. RR )
2523, 24syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. RR )
26 simplr 528 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> x e. A )
2721, 26sseldd 3158 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> x e. QQ )
28 qre 9627 . . . . . 6 |- ( x e. QQ -> x e. RR )
2927, 28syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> x e. RR )
3025, 29lenltd 8077 . . . 4 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( y <_ x <-> -. x < y ) )
3130ralbidva 2473 . . 3 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. A y <_ x <-> A. y e. A -. x < y ) )
3231rexbidva 2474 . 2 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. A A. y e. A y <_ x <-> E. x e. A A. y e. A -. x < y ) )
3320, 32mpbird 167 1 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A y <_ x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 977   /\ w3a 978   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3131   (/)c0 3424   class class class wbr 4005   Po wpo 4296   Or wor 4297   Fincfn 6742   RRcr 7812   < clt 7994   <_ cle 7995   QQcq 9621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-er 6537  df-en 6743  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-q 9622  df-rp 9656
This theorem is referenced by:  fiubm  10810  zfz1iso  10823
  Copyright terms: Public domain W3C validator