ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fimaxq Unicode version

Theorem fimaxq 10597
Description: A finite set of rational numbers has a maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2022.)
Assertion
Ref Expression
fimaxq  |-  ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x )
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem fimaxq
StepHypRef Expression
1 qssre 9444 . . . . 5  |-  QQ  C_  RR
2 sstr 3105 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  QQ  /\  QQ  C_  RR )  ->  A  C_  RR )
3 ltso 7861 . . . . . . 7  |-  <  Or  RR
4 sopo 4238 . . . . . . 7  |-  (  < 
Or  RR  ->  <  Po  RR )
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  <  Po  RR
6 poss 4223 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  (  < 
Po  RR  ->  <  Po  A ) )
72, 5, 6mpisyl 1422 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  QQ  /\  QQ  C_  RR )  ->  <  Po  A )
81, 7mpan2 421 . . . 4  |-  ( A 
C_  QQ  ->  <  Po  A )
983ad2ant1 1002 . . 3  |-  ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  <  Po  A )
10 simpl1 984 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  A  C_  QQ )
11 simprl 520 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  x  e.  A )
1210, 11sseldd 3098 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  x  e.  QQ )
13 simprr 521 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  y  e.  A )
1410, 13sseldd 3098 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  y  e.  QQ )
15 qtri3or 10044 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  y  e.  QQ )  ->  ( x  <  y  \/  x  =  y  \/  y  <  x ) )
1612, 14, 15syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( x  <  y  \/  x  =  y  \/  y  < 
x ) )
1716ralrimivva 2514 . . 3  |-  ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  <  y  \/  x  =  y  \/  y  < 
x ) )
18 simp2 982 . . 3  |-  ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  e. 
Fin )
19 simp3 983 . . 3  |-  ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  =/=  (/) )
209, 17, 18, 19fimax2gtri 6798 . 2  |-  ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  <  y )
21 simpll1 1020 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  A  C_  QQ )
22 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  A )
2321, 22sseldd 3098 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  QQ )
24 qre 9439 . . . . . 6  |-  ( y  e.  QQ  ->  y  e.  RR )
2523, 24syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
26 simplr 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  x  e.  A )
2721, 26sseldd 3098 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  x  e.  QQ )
28 qre 9439 . . . . . 6  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  RR )
2927, 28syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
3025, 29lenltd 7899 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  <_  x  <->  -.  x  <  y ) )
3130ralbidva 2433 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. y  e.  A  -.  x  <  y ) )
3231rexbidva 2434 . 2  |-  ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  <  y ) )
3320, 32mpbird 166 1  |-  ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ w3o 961    /\ w3a 962    e. wcel 1480    =/= wne 2308   A.wral 2416   E.wrex 2417    C_ wss 3071   (/)c0 3363   class class class wbr 3932    Po wpo 4219    Or wor 4220   Fincfn 6637   RRcr 7638    < clt 7819    <_ cle 7820   QQcq 9433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-mulrcl 7738  ax-addcom 7739  ax-mulcom 7740  ax-addass 7741  ax-mulass 7742  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-1rid 7746  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-precex 7749  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-apti 7754  ax-pre-ltadd 7755  ax-pre-mulgt0 7756  ax-pre-mulext 7757
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-iord 4291  df-on 4293  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-er 6432  df-en 6638  df-fin 6640  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-reap 8356  df-ap 8363  df-div 8452  df-inn 8740  df-n0 8997  df-z 9074  df-q 9434  df-rp 9464
This theorem is referenced by:  zfz1iso  10608
  Copyright terms: Public domain W3C validator