ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fimaxq Unicode version
Theorem fimaxq 11270
Description: A finite set of rational numbers has a maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2022.)
Assertion
Ref Expression
fimaxq |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A y <_ x )
Distinct variable group:   x, A, y
Proof of Theorem fimaxq
StepHypRef Expression
1 qssre 10030 . . . . 5 |- QQ C_ RR
2 sstr 3256 . . . . . 6 |- ( ( A C_ QQ /\ QQ C_ RR ) -> A C_ RR )
3 ltso 8403 . . . . . . 7 |- < Or RR
4 sopo 4458 . . . . . . 7 |- ( < Or RR -> < Po RR )
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 |- < Po RR
6 poss 4443 . . . . . 6 |- ( A C_ RR -> ( < Po RR -> < Po A ) )
72, 5, 6mpisyl 1496 . . . . 5 |- ( ( A C_ QQ /\ QQ C_ RR ) -> < Po A )
81, 7mpan2 429 . . . 4 |- ( A C_ QQ -> < Po A )
983ad2ant1 1049 . . 3 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> < Po A )
10 simpl1 1031 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> A C_ QQ )
11 simprl 535 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. A )
1210, 11sseldd 3249 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. QQ )
13 simprr 537 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. A )
1410, 13sseldd 3249 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. QQ )
15 qtri3or 10675 . . . . 5 |- ( ( x e. QQ /\ y e. QQ ) -> ( x < y \/ x = y \/ y < x ) )
1612, 14, 15syl2anc 415 . . . 4 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x < y \/ x = y \/ y < x ) )
1716ralrimivva 2632 . . 3 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x < y \/ x = y \/ y < x ) )
18 simp2 1029 . . 3 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> A e. Fin )
19 simp3 1030 . . 3 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> A =/= (/) )
209, 17, 18, 19fimax2gtri 7206 . 2 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A -. x < y )
21 simpll1 1067 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> A C_ QQ )
22 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. A )
2321, 22sseldd 3249 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. QQ )
24 qre 10025 . . . . . 6 |- ( y e. QQ -> y e. RR )
2523, 24syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. RR )
26 simplr 533 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> x e. A )
2721, 26sseldd 3249 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> x e. QQ )
28 qre 10025 . . . . . 6 |- ( x e. QQ -> x e. RR )
2927, 28syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> x e. RR )
3025, 29lenltd 8444 . . . 4 |- ( ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( y <_ x <-> -. x < y ) )
3130ralbidva 2546 . . 3 |- ( ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. A y <_ x <-> A. y e. A -. x < y ) )
3231rexbidva 2547 . 2 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. A A. y e. A y <_ x <-> E. x e. A A. y e. A -. x < y ) )
3320, 32mpbird 167 1 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A y <_ x )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 1008   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220   (/)c0 3520   class class class wbr 4130   Po wpo 4439   Or wor 4440   Fincfn 7022   RRcr 8178   < clt 8360   <_ cle 8361   QQcq 10019
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-q 10020  df-rp 10055
This theorem is used by:  fiubm  11271  zfz1iso  11293  ballotfilemfc0  13232  ballotfilemfcc  13233
  Copyright terms: Public domain W3C validator