Theorem setindel 4586

Description: e.-Induction in terms of membership in a class. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 22-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
setindel	|- ( A. x ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) -> S = _V )

Distinct variable group:   x, y, S

Proof of Theorem setindel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clelsb1 2310	. . . . . . 7 |- ( [ y / x ] x e. S <-> y e. S )
2	1	ralbii 2512	. . . . . 6 |- ( A. y e. x [ y / x ] x e. S <-> A. y e. x y e. S )
3		df-ral 2489	. . . . . 6 |- ( A. y e. x y e. S <-> A. y ( y e. x -> y e. S ) )
4	2, 3	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. y e. x [ y / x ] x e. S <-> A. y ( y e. x -> y e. S ) )
5	4	imbi1i 238	. . . 4 |- ( ( A. y e. x [ y / x ] x e. S -> x e. S ) <-> ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) )
6	5	albii 1493	. . 3 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] x e. S -> x e. S ) <-> A. x ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) )
7		ax-setind 4585	. . 3 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] x e. S -> x e. S ) -> A. x x e. S )
8	6, 7	sylbir 135	. 2 |- ( A. x ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) -> A. x x e. S )
9		eqv 3480	. 2 |- ( S = _V <-> A. x x e. S )
10	8, 9	sylibr 134	1 |- ( A. x ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) -> S = _V )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1371   = wceq 1373   [wsb 1785   e. wcel 2176   A.wral 2484   _Vcvv 2772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187  ax-setind 4585

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-ral 2489  df-v 2774

This theorem is referenced by:  setind  4587