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Theorem setindel 4453
Description:  e.-Induction in terms of membership in a class. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 22-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
setindel  |-  ( A. x ( A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  S )  ->  x  e.  S
)  ->  S  =  _V )
Distinct variable group:    x, y, S

Proof of Theorem setindel
StepHypRef Expression
1 clelsb3 2244 . . . . . . 7  |-  ( [ y  /  x ]
x  e.  S  <->  y  e.  S )
21ralbii 2441 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
x  e.  S  <->  A. y  e.  x  y  e.  S )
3 df-ral 2421 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  y  e.  S  <->  A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  S ) )
42, 3bitri 183 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
x  e.  S  <->  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  S ) )
54imbi1i 237 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] x  e.  S  ->  x  e.  S )  <-> 
( A. y ( y  e.  x  -> 
y  e.  S )  ->  x  e.  S
) )
65albii 1446 . . 3  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] x  e.  S  ->  x  e.  S )  <->  A. x
( A. y ( y  e.  x  -> 
y  e.  S )  ->  x  e.  S
) )
7 ax-setind 4452 . . 3  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] x  e.  S  ->  x  e.  S )  ->  A. x  x  e.  S )
86, 7sylbir 134 . 2  |-  ( A. x ( A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  S )  ->  x  e.  S
)  ->  A. x  x  e.  S )
9 eqv 3382 . 2  |-  ( S  =  _V  <->  A. x  x  e.  S )
108, 9sylibr 133 1  |-  ( A. x ( A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  S )  ->  x  e.  S
)  ->  S  =  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   A.wal 1329    = wceq 1331    e. wcel 1480   [wsb 1735   A.wral 2416   _Vcvv 2686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-ral 2421  df-v 2688
This theorem is referenced by:  setind  4454
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