Theorem setindel 4604

Description: e.-Induction in terms of membership in a class. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 22-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
setindel	|- ( A. x ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) -> S = _V )

Distinct variable group:   x, y, S

Proof of Theorem setindel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clelsb1 2312	. . . . . . 7 |- ( [ y / x ] x e. S <-> y e. S )
2	1	ralbii 2514	. . . . . 6 |- ( A. y e. x [ y / x ] x e. S <-> A. y e. x y e. S )
3		df-ral 2491	. . . . . 6 |- ( A. y e. x y e. S <-> A. y ( y e. x -> y e. S ) )
4	2, 3	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. y e. x [ y / x ] x e. S <-> A. y ( y e. x -> y e. S ) )
5	4	imbi1i 238	. . . 4 |- ( ( A. y e. x [ y / x ] x e. S -> x e. S ) <-> ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) )
6	5	albii 1494	. . 3 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] x e. S -> x e. S ) <-> A. x ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) )
7		ax-setind 4603	. . 3 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] x e. S -> x e. S ) -> A. x x e. S )
8	6, 7	sylbir 135	. 2 |- ( A. x ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) -> A. x x e. S )
9		eqv 3488	. 2 |- ( S = _V <-> A. x x e. S )
10	8, 9	sylibr 134	1 |- ( A. x ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) -> S = _V )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1371   = wceq 1373   [wsb 1786   e. wcel 2178   A.wral 2486   _Vcvv 2776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-ral 2491  df-v 2778

This theorem is referenced by:  setind  4605