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Theorem setindel 4555
Description:  e.-Induction in terms of membership in a class. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 22-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
setindel  |-  ( A. x ( A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  S )  ->  x  e.  S
)  ->  S  =  _V )
Distinct variable group:    x, y, S

Proof of Theorem setindel
StepHypRef Expression
1 clelsb1 2294 . . . . . . 7  |-  ( [ y  /  x ]
x  e.  S  <->  y  e.  S )
21ralbii 2496 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
x  e.  S  <->  A. y  e.  x  y  e.  S )
3 df-ral 2473 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  y  e.  S  <->  A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  S ) )
42, 3bitri 184 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
x  e.  S  <->  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  S ) )
54imbi1i 238 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] x  e.  S  ->  x  e.  S )  <-> 
( A. y ( y  e.  x  -> 
y  e.  S )  ->  x  e.  S
) )
65albii 1481 . . 3  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] x  e.  S  ->  x  e.  S )  <->  A. x
( A. y ( y  e.  x  -> 
y  e.  S )  ->  x  e.  S
) )
7 ax-setind 4554 . . 3  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] x  e.  S  ->  x  e.  S )  ->  A. x  x  e.  S )
86, 7sylbir 135 . 2  |-  ( A. x ( A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  S )  ->  x  e.  S
)  ->  A. x  x  e.  S )
9 eqv 3457 . 2  |-  ( S  =  _V  <->  A. x  x  e.  S )
108, 9sylibr 134 1  |-  ( A. x ( A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  S )  ->  x  e.  S
)  ->  S  =  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   A.wal 1362    = wceq 1364   [wsb 1773    e. wcel 2160   A.wral 2468   _Vcvv 2752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171  ax-setind 4554
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-ral 2473  df-v 2754
This theorem is referenced by:  setind  4556
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