Theorem setindel 4536

Description: e.-Induction in terms of membership in a class. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 22-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
setindel	|- ( A. x ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) -> S = _V )

Distinct variable group:   x, y, S

Proof of Theorem setindel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clelsb1 2282	. . . . . . 7 |- ( [ y / x ] x e. S <-> y e. S )
2	1	ralbii 2483	. . . . . 6 |- ( A. y e. x [ y / x ] x e. S <-> A. y e. x y e. S )
3		df-ral 2460	. . . . . 6 |- ( A. y e. x y e. S <-> A. y ( y e. x -> y e. S ) )
4	2, 3	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. y e. x [ y / x ] x e. S <-> A. y ( y e. x -> y e. S ) )
5	4	imbi1i 238	. . . 4 |- ( ( A. y e. x [ y / x ] x e. S -> x e. S ) <-> ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) )
6	5	albii 1470	. . 3 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] x e. S -> x e. S ) <-> A. x ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) )
7		ax-setind 4535	. . 3 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] x e. S -> x e. S ) -> A. x x e. S )
8	6, 7	sylbir 135	. 2 |- ( A. x ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) -> A. x x e. S )
9		eqv 3442	. 2 |- ( S = _V <-> A. x x e. S )
10	8, 9	sylibr 134	1 |- ( A. x ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) -> S = _V )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1351   = wceq 1353   [wsb 1762   e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-setind 4535

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-ral 2460  df-v 2739

This theorem is referenced by:  setind  4537