Theorem setindel 4448

Description: e.-Induction in terms of membership in a class. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 22-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
setindel	|- ( A. x ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) -> S = _V )

Distinct variable group:   x, y, S

Proof of Theorem setindel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clelsb3 2242	. . . . . . 7 |- ( [ y / x ] x e. S <-> y e. S )
2	1	ralbii 2439	. . . . . 6 |- ( A. y e. x [ y / x ] x e. S <-> A. y e. x y e. S )
3		df-ral 2419	. . . . . 6 |- ( A. y e. x y e. S <-> A. y ( y e. x -> y e. S ) )
4	2, 3	bitri 183	. . . . 5 |- ( A. y e. x [ y / x ] x e. S <-> A. y ( y e. x -> y e. S ) )
5	4	imbi1i 237	. . . 4 |- ( ( A. y e. x [ y / x ] x e. S -> x e. S ) <-> ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) )
6	5	albii 1446	. . 3 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] x e. S -> x e. S ) <-> A. x ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) )
7		ax-setind 4447	. . 3 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] x e. S -> x e. S ) -> A. x x e. S )
8	6, 7	sylbir 134	. 2 |- ( A. x ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) -> A. x x e. S )
9		eqv 3377	. 2 |- ( S = _V <-> A. x x e. S )
10	8, 9	sylibr 133	1 |- ( A. x ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) -> S = _V )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1329   = wceq 1331   e. wcel 1480   [wsb 1735   A.wral 2414   _Vcvv 2681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-setind 4447

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-ral 2419  df-v 2683

This theorem is referenced by:  setind  4449