Theorem setindel 4515

Description: e.-Induction in terms of membership in a class. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 22-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
setindel	|- ( A. x ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) -> S = _V )

Distinct variable group:   x, y, S

Proof of Theorem setindel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clelsb1 2271	. . . . . . 7 |- ( [ y / x ] x e. S <-> y e. S )
2	1	ralbii 2472	. . . . . 6 |- ( A. y e. x [ y / x ] x e. S <-> A. y e. x y e. S )
3		df-ral 2449	. . . . . 6 |- ( A. y e. x y e. S <-> A. y ( y e. x -> y e. S ) )
4	2, 3	bitri 183	. . . . 5 |- ( A. y e. x [ y / x ] x e. S <-> A. y ( y e. x -> y e. S ) )
5	4	imbi1i 237	. . . 4 |- ( ( A. y e. x [ y / x ] x e. S -> x e. S ) <-> ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) )
6	5	albii 1458	. . 3 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] x e. S -> x e. S ) <-> A. x ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) )
7		ax-setind 4514	. . 3 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] x e. S -> x e. S ) -> A. x x e. S )
8	6, 7	sylbir 134	. 2 |- ( A. x ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) -> A. x x e. S )
9		eqv 3428	. 2 |- ( S = _V <-> A. x x e. S )
10	8, 9	sylibr 133	1 |- ( A. x ( A. y ( y e. x -> y e. S ) -> x e. S ) -> S = _V )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1341   = wceq 1343   [wsb 1750   e. wcel 2136   A.wral 2444   _Vcvv 2726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-ral 2449  df-v 2728

This theorem is referenced by:  setind  4516