Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  strcoll2 Unicode version

Theorem strcoll2 14357
Description: Version of ax-strcoll 14356 with one disjoint variable condition removed and without initial universal quantifier. (Contributed by BJ, 5-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
strcoll2  |-  ( A. x  e.  a  E. y ph  ->  E. b
( A. x  e.  a  E. y  e.  b  ph  /\  A. y  e.  b  E. x  e.  a  ph ) )
Distinct variable groups:    a, b, x, y    ph, b
Allowed substitution hints:    ph( x, y, a)

Proof of Theorem strcoll2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2672 . . 3  |-  ( z  =  a  ->  ( A. x  e.  z  E. y ph  <->  A. x  e.  a  E. y ph ) )
2 raleq 2672 . . . . 5  |-  ( z  =  a  ->  ( A. x  e.  z  E. y  e.  b  ph 
<-> 
A. x  e.  a  E. y  e.  b 
ph ) )
3 rexeq 2673 . . . . . 6  |-  ( z  =  a  ->  ( E. x  e.  z  ph 
<->  E. x  e.  a 
ph ) )
43ralbidv 2477 . . . . 5  |-  ( z  =  a  ->  ( A. y  e.  b  E. x  e.  z  ph 
<-> 
A. y  e.  b  E. x  e.  a 
ph ) )
52, 4anbi12d 473 . . . 4  |-  ( z  =  a  ->  (
( A. x  e.  z  E. y  e.  b  ph  /\  A. y  e.  b  E. x  e.  z  ph ) 
<->  ( A. x  e.  a  E. y  e.  b  ph  /\  A. y  e.  b  E. x  e.  a  ph ) ) )
65exbidv 1825 . . 3  |-  ( z  =  a  ->  ( E. b ( A. x  e.  z  E. y  e.  b  ph  /\  A. y  e.  b  E. x  e.  z  ph ) 
<->  E. b ( A. x  e.  a  E. y  e.  b  ph  /\ 
A. y  e.  b  E. x  e.  a 
ph ) ) )
71, 6imbi12d 234 . 2  |-  ( z  =  a  ->  (
( A. x  e.  z  E. y ph  ->  E. b ( A. x  e.  z  E. y  e.  b  ph  /\ 
A. y  e.  b  E. x  e.  z 
ph ) )  <->  ( A. x  e.  a  E. y ph  ->  E. b
( A. x  e.  a  E. y  e.  b  ph  /\  A. y  e.  b  E. x  e.  a  ph ) ) ) )
8 ax-strcoll 14356 . . 3  |-  A. z
( A. x  e.  z  E. y ph  ->  E. b ( A. x  e.  z  E. y  e.  b  ph  /\ 
A. y  e.  b  E. x  e.  z 
ph ) )
98spi 1536 . 2  |-  ( A. x  e.  z  E. y ph  ->  E. b
( A. x  e.  z  E. y  e.  b  ph  /\  A. y  e.  b  E. x  e.  z  ph ) )
107, 9chvarv 1937 1  |-  ( A. x  e.  a  E. y ph  ->  E. b
( A. x  e.  a  E. y  e.  b  ph  /\  A. y  e.  b  E. x  e.  a  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104   E.wex 1492   A.wral 2455   E.wrex 2456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-strcoll 14356
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461
This theorem is referenced by:  strcollnft  14358  strcollnfALT  14360
  Copyright terms: Public domain W3C validator