Theorem strcoll2 16682

Description: Version of ax-strcoll 16681 with one disjoint variable condition removed and without initial universal quantifier. (Contributed by BJ, 5-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
strcoll2	|- ( A. x e. a E. y ph -> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) )

Distinct variable groups:   a, b, x, y   ph, b

Allowed substitution hints:   ph( x, y, a)

Proof of Theorem strcoll2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2731	. . 3 |- ( z = a -> ( A. x e. z E. y ph <-> A. x e. a E. y ph ) )
2		raleq 2731	. . . . 5 |- ( z = a -> ( A. x e. z E. y e. b ph <-> A. x e. a E. y e. b ph ) )
3		rexeq 2732	. . . . . 6 |- ( z = a -> ( E. x e. z ph <-> E. x e. a ph ) )
4	3	ralbidv 2533	. . . . 5 |- ( z = a -> ( A. y e. b E. x e. z ph <-> A. y e. b E. x e. a ph ) )
5	2, 4	anbi12d 473	. . . 4 |- ( z = a -> ( ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) <-> ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) ) )
6	5	exbidv 1873	. . 3 |- ( z = a -> ( E. b ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) <-> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) ) )
7	1, 6	imbi12d 234	. 2 |- ( z = a -> ( ( A. x e. z E. y ph -> E. b ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) ) <-> ( A. x e. a E. y ph -> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) ) ) )
8		ax-strcoll 16681	. . 3 |- A. z ( A. x e. z E. y ph -> E. b ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) )
9	8	spi 1585	. 2 |- ( A. x e. z E. y ph -> E. b ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) )
10	7, 9	chvarv 1990	1 |- ( A. x e. a E. y ph -> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1541   A.wral 2511   E.wrex 2512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-strcoll 16681

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517

This theorem is referenced by:  strcollnft  16683  strcollnfALT  16685