Theorem strcoll2 16088

Description: Version of ax-strcoll 16087 with one disjoint variable condition removed and without initial universal quantifier. (Contributed by BJ, 5-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
strcoll2	|- ( A. x e. a E. y ph -> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) )

Distinct variable groups:   a, b, x, y   ph, b

Allowed substitution hints:   ph( x, y, a)

Proof of Theorem strcoll2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2703	. . 3 |- ( z = a -> ( A. x e. z E. y ph <-> A. x e. a E. y ph ) )
2		raleq 2703	. . . . 5 |- ( z = a -> ( A. x e. z E. y e. b ph <-> A. x e. a E. y e. b ph ) )
3		rexeq 2704	. . . . . 6 |- ( z = a -> ( E. x e. z ph <-> E. x e. a ph ) )
4	3	ralbidv 2507	. . . . 5 |- ( z = a -> ( A. y e. b E. x e. z ph <-> A. y e. b E. x e. a ph ) )
5	2, 4	anbi12d 473	. . . 4 |- ( z = a -> ( ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) <-> ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) ) )
6	5	exbidv 1849	. . 3 |- ( z = a -> ( E. b ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) <-> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) ) )
7	1, 6	imbi12d 234	. 2 |- ( z = a -> ( ( A. x e. z E. y ph -> E. b ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) ) <-> ( A. x e. a E. y ph -> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) ) ) )
8		ax-strcoll 16087	. . 3 |- A. z ( A. x e. z E. y ph -> E. b ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) )
9	8	spi 1560	. 2 |- ( A. x e. z E. y ph -> E. b ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) )
10	7, 9	chvarv 1966	1 |- ( A. x e. a E. y ph -> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1516   A.wral 2485   E.wrex 2486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188  ax-strcoll 16087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491

This theorem is referenced by:  strcollnft  16089  strcollnfALT  16091