Theorem strcoll2 15881

Description: Version of ax-strcoll 15880 with one disjoint variable condition removed and without initial universal quantifier. (Contributed by BJ, 5-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
strcoll2	|- ( A. x e. a E. y ph -> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) )

Distinct variable groups:   a, b, x, y   ph, b

Allowed substitution hints:   ph( x, y, a)

Proof of Theorem strcoll2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2701	. . 3 |- ( z = a -> ( A. x e. z E. y ph <-> A. x e. a E. y ph ) )
2		raleq 2701	. . . . 5 |- ( z = a -> ( A. x e. z E. y e. b ph <-> A. x e. a E. y e. b ph ) )
3		rexeq 2702	. . . . . 6 |- ( z = a -> ( E. x e. z ph <-> E. x e. a ph ) )
4	3	ralbidv 2505	. . . . 5 |- ( z = a -> ( A. y e. b E. x e. z ph <-> A. y e. b E. x e. a ph ) )
5	2, 4	anbi12d 473	. . . 4 |- ( z = a -> ( ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) <-> ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) ) )
6	5	exbidv 1847	. . 3 |- ( z = a -> ( E. b ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) <-> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) ) )
7	1, 6	imbi12d 234	. 2 |- ( z = a -> ( ( A. x e. z E. y ph -> E. b ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) ) <-> ( A. x e. a E. y ph -> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) ) ) )
8		ax-strcoll 15880	. . 3 |- A. z ( A. x e. z E. y ph -> E. b ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) )
9	8	spi 1558	. 2 |- ( A. x e. z E. y ph -> E. b ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) )
10	7, 9	chvarv 1964	1 |- ( A. x e. a E. y ph -> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1514   A.wral 2483   E.wrex 2484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186  ax-strcoll 15880

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489

This theorem is referenced by:  strcollnft  15882  strcollnfALT  15884