Theorem strcoll2 13865

Description: Version of ax-strcoll 13864 with one disjoint variable condition removed and without initial universal quantifier. (Contributed by BJ, 5-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
strcoll2	|- ( A. x e. a E. y ph -> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) )

Distinct variable groups:   a, b, x, y   ph, b

Allowed substitution hints:   ph( x, y, a)

Proof of Theorem strcoll2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2661	. . 3 |- ( z = a -> ( A. x e. z E. y ph <-> A. x e. a E. y ph ) )
2		raleq 2661	. . . . 5 |- ( z = a -> ( A. x e. z E. y e. b ph <-> A. x e. a E. y e. b ph ) )
3		rexeq 2662	. . . . . 6 |- ( z = a -> ( E. x e. z ph <-> E. x e. a ph ) )
4	3	ralbidv 2466	. . . . 5 |- ( z = a -> ( A. y e. b E. x e. z ph <-> A. y e. b E. x e. a ph ) )
5	2, 4	anbi12d 465	. . . 4 |- ( z = a -> ( ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) <-> ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) ) )
6	5	exbidv 1813	. . 3 |- ( z = a -> ( E. b ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) <-> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) ) )
7	1, 6	imbi12d 233	. 2 |- ( z = a -> ( ( A. x e. z E. y ph -> E. b ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) ) <-> ( A. x e. a E. y ph -> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) ) ) )
8		ax-strcoll 13864	. . 3 |- A. z ( A. x e. z E. y ph -> E. b ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) )
9	8	spi 1524	. 2 |- ( A. x e. z E. y ph -> E. b ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) )
10	7, 9	chvarv 1925	1 |- ( A. x e. a E. y ph -> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   E.wex 1480   A.wral 2444   E.wrex 2445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-strcoll 13864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450

This theorem is referenced by:  strcollnft  13866  strcollnfALT  13868