Theorem strcoll2 16304

Description: Version of ax-strcoll 16303 with one disjoint variable condition removed and without initial universal quantifier. (Contributed by BJ, 5-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
strcoll2	|- ( A. x e. a E. y ph -> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) )

Distinct variable groups:   a, b, x, y   ph, b

Allowed substitution hints:   ph( x, y, a)

Proof of Theorem strcoll2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2728	. . 3 |- ( z = a -> ( A. x e. z E. y ph <-> A. x e. a E. y ph ) )
2		raleq 2728	. . . . 5 |- ( z = a -> ( A. x e. z E. y e. b ph <-> A. x e. a E. y e. b ph ) )
3		rexeq 2729	. . . . . 6 |- ( z = a -> ( E. x e. z ph <-> E. x e. a ph ) )
4	3	ralbidv 2530	. . . . 5 |- ( z = a -> ( A. y e. b E. x e. z ph <-> A. y e. b E. x e. a ph ) )
5	2, 4	anbi12d 473	. . . 4 |- ( z = a -> ( ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) <-> ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) ) )
6	5	exbidv 1871	. . 3 |- ( z = a -> ( E. b ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) <-> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) ) )
7	1, 6	imbi12d 234	. 2 |- ( z = a -> ( ( A. x e. z E. y ph -> E. b ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) ) <-> ( A. x e. a E. y ph -> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) ) ) )
8		ax-strcoll 16303	. . 3 |- A. z ( A. x e. z E. y ph -> E. b ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) )
9	8	spi 1582	. 2 |- ( A. x e. z E. y ph -> E. b ( A. x e. z E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. z ph ) )
10	7, 9	chvarv 1988	1 |- ( A. x e. a E. y ph -> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1538   A.wral 2508   E.wrex 2509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-strcoll 16303

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514

This theorem is referenced by:  strcollnft  16305  strcollnfALT  16307