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Theorem strcoll2 13108
Description: Version of ax-strcoll 13107 with one disjoint variable condition removed and without initial universal quantifier. (Contributed by BJ, 5-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
strcoll2  |-  ( A. x  e.  a  E. y ph  ->  E. b A. y ( y  e.  b  <->  E. x  e.  a 
ph ) )
Distinct variable groups:    a, b, x, y    ph, b
Allowed substitution hints:    ph( x, y, a)

Proof of Theorem strcoll2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2603 . . 3  |-  ( z  =  a  ->  ( A. x  e.  z  E. y ph  <->  A. x  e.  a  E. y ph ) )
2 rexeq 2604 . . . . . 6  |-  ( z  =  a  ->  ( E. x  e.  z  ph 
<->  E. x  e.  a 
ph ) )
32bibi2d 231 . . . . 5  |-  ( z  =  a  ->  (
( y  e.  b  <->  E. x  e.  z  ph )  <->  ( y  e.  b  <->  E. x  e.  a 
ph ) ) )
43albidv 1780 . . . 4  |-  ( z  =  a  ->  ( A. y ( y  e.  b  <->  E. x  e.  z 
ph )  <->  A. y
( y  e.  b  <->  E. x  e.  a  ph ) ) )
54exbidv 1781 . . 3  |-  ( z  =  a  ->  ( E. b A. y ( y  e.  b  <->  E. x  e.  z  ph )  <->  E. b A. y ( y  e.  b  <->  E. x  e.  a 
ph ) ) )
61, 5imbi12d 233 . 2  |-  ( z  =  a  ->  (
( A. x  e.  z  E. y ph  ->  E. b A. y
( y  e.  b  <->  E. x  e.  z  ph ) )  <->  ( A. x  e.  a  E. y ph  ->  E. b A. y ( y  e.  b  <->  E. x  e.  a 
ph ) ) ) )
7 ax-strcoll 13107 . . 3  |-  A. z
( A. x  e.  z  E. y ph  ->  E. b A. y
( y  e.  b  <->  E. x  e.  z  ph ) )
87spi 1501 . 2  |-  ( A. x  e.  z  E. y ph  ->  E. b A. y ( y  e.  b  <->  E. x  e.  z 
ph ) )
96, 8chvarv 1889 1  |-  ( A. x  e.  a  E. y ph  ->  E. b A. y ( y  e.  b  <->  E. x  e.  a 
ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104   A.wal 1314   E.wex 1453   A.wral 2393   E.wrex 2394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-strcoll 13107
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399
This theorem is referenced by:  strcollnft  13109  strcollnfALT  13111
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