Theorem raleq 2673

Description: Equality theorem for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
raleq	|- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ph ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem raleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2319	. 2 |- F/_ x A
2		nfcv 2319	. 2 |- F/_ x B
3	1, 2	raleqf 2669	1 |- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1353   A.wral 2455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460

This theorem is referenced by:  raleqi  2677  raleqdv  2679  raleqbi1dv  2681  sbralie  2722  inteq  3848  iineq1  3901  bnd2  4174  frforeq2  4346  weeq2  4358  ordeq  4373  reg2exmid  4536  reg3exmid  4580  omsinds  4622  fncnv  5283  funimaexglem  5300  isoeq4  5805  acexmidlemv  5873  tfrlem1  6309  tfr0dm  6323  tfrlemisucaccv  6326  tfrlemi1  6333  tfrlemi14d  6334  tfrexlem  6335  tfr1onlemsucaccv  6342  tfr1onlemaccex  6349  tfr1onlemres  6350  tfrcllemsucaccv  6355  tfrcllembxssdm  6357  tfrcllemaccex  6362  tfrcllemres  6363  tfrcldm  6364  ixpeq1  6709  ac6sfi  6898  fimax2gtri  6901  dcfi  6980  supeq1  6985  supeq2  6988  nnnninfeq2  7127  isomni  7134  ismkv  7151  iswomni  7163  tapeq2  7252  sup3exmid  8914  rexanuz  10997  rexfiuz  10998  fimaxre2  11235  modfsummod  11466  mhmpropd  12857  iscmn  13096  srgideu  13155  cnprcl2k  13709  ispsmet  13826  ismet  13847  isxmet  13848  cncfval  14062  dvcn  14167  setindis  14722  bdsetindis  14724  strcoll2  14738  strcollnfALT  14741