Theorem raleq 2690

Description: Equality theorem for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
raleq	|- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ph ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem raleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2336	. 2 |- F/_ x A
2		nfcv 2336	. 2 |- F/_ x B
3	1, 2	raleqf 2686	1 |- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   A.wral 2472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477

This theorem is referenced by:  raleqi  2694  raleqdv  2696  raleqbi1dv  2702  sbralie  2744  inteq  3873  iineq1  3926  bnd2  4202  frforeq2  4376  weeq2  4388  ordeq  4403  reg2exmid  4568  reg3exmid  4612  omsinds  4654  fncnv  5320  funimaexglem  5337  isoeq4  5847  acexmidlemv  5916  tfrlem1  6361  tfr0dm  6375  tfrlemisucaccv  6378  tfrlemi1  6385  tfrlemi14d  6386  tfrexlem  6387  tfr1onlemsucaccv  6394  tfr1onlemaccex  6401  tfr1onlemres  6402  tfrcllemsucaccv  6407  tfrcllembxssdm  6409  tfrcllemaccex  6414  tfrcllemres  6415  tfrcldm  6416  ixpeq1  6763  ac6sfi  6954  fimax2gtri  6957  dcfi  7040  supeq1  7045  supeq2  7048  nnnninfeq2  7188  isomni  7195  ismkv  7212  iswomni  7224  tapeq2  7313  sup3exmid  8976  rexanuz  11132  rexfiuz  11133  fimaxre2  11370  modfsummod  11601  mhmpropd  13038  isghm  13313  iscmn  13363  srgideu  13468  dfrhm2  13650  cnprcl2k  14374  ispsmet  14491  ismet  14512  isxmet  14513  cncfval  14727  dvcn  14849  setindis  15459  bdsetindis  15461  strcoll2  15475  strcollnfALT  15478