Theorem raleq 2686

Description: Equality theorem for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
raleq	|- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ph ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem raleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2332	. 2 |- F/_ x A
2		nfcv 2332	. 2 |- F/_ x B
3	1, 2	raleqf 2682	1 |- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   A.wral 2468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473

This theorem is referenced by:  raleqi  2690  raleqdv  2692  raleqbi1dv  2698  sbralie  2740  inteq  3869  iineq1  3922  bnd2  4198  frforeq2  4370  weeq2  4382  ordeq  4397  reg2exmid  4560  reg3exmid  4604  omsinds  4646  fncnv  5308  funimaexglem  5325  isoeq4  5833  acexmidlemv  5902  tfrlem1  6341  tfr0dm  6355  tfrlemisucaccv  6358  tfrlemi1  6365  tfrlemi14d  6366  tfrexlem  6367  tfr1onlemsucaccv  6374  tfr1onlemaccex  6381  tfr1onlemres  6382  tfrcllemsucaccv  6387  tfrcllembxssdm  6389  tfrcllemaccex  6394  tfrcllemres  6395  tfrcldm  6396  ixpeq1  6743  ac6sfi  6934  fimax2gtri  6937  dcfi  7019  supeq1  7024  supeq2  7027  nnnninfeq2  7167  isomni  7174  ismkv  7191  iswomni  7203  tapeq2  7292  sup3exmid  8955  rexanuz  11044  rexfiuz  11045  fimaxre2  11282  modfsummod  11513  mhmpropd  12948  isghm  13215  iscmn  13265  srgideu  13361  dfrhm2  13541  cnprcl2k  14227  ispsmet  14344  ismet  14365  isxmet  14366  cncfval  14580  dvcn  14702  setindis  15258  bdsetindis  15260  strcoll2  15274  strcollnfALT  15277