Theorem raleq 2693

Description: Equality theorem for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
raleq	|- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ph ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem raleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2339	. 2 |- F/_ x A
2		nfcv 2339	. 2 |- F/_ x B
3	1, 2	raleqf 2689	1 |- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   A.wral 2475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480

This theorem is referenced by:  raleqi  2697  raleqdv  2699  raleqbi1dv  2705  sbralie  2747  inteq  3877  iineq1  3930  bnd2  4206  frforeq2  4380  weeq2  4392  ordeq  4407  reg2exmid  4572  reg3exmid  4616  omsinds  4658  fncnv  5324  funimaexglem  5341  isoeq4  5851  acexmidlemv  5920  tfrlem1  6366  tfr0dm  6380  tfrlemisucaccv  6383  tfrlemi1  6390  tfrlemi14d  6391  tfrexlem  6392  tfr1onlemsucaccv  6399  tfr1onlemaccex  6406  tfr1onlemres  6407  tfrcllemsucaccv  6412  tfrcllembxssdm  6414  tfrcllemaccex  6419  tfrcllemres  6420  tfrcldm  6421  ixpeq1  6768  ac6sfi  6959  fimax2gtri  6962  dcfi  7047  supeq1  7052  supeq2  7055  nnnninfeq2  7195  isomni  7202  ismkv  7219  iswomni  7231  tapeq2  7320  sup3exmid  8984  rexanuz  11153  rexfiuz  11154  fimaxre2  11392  modfsummod  11623  mhmpropd  13098  isghm  13373  iscmn  13423  srgideu  13528  dfrhm2  13710  cnprcl2k  14442  ispsmet  14559  ismet  14580  isxmet  14581  cncfval  14808  dvcn  14936  setindis  15613  bdsetindis  15615  strcoll2  15629  strcollnfALT  15632