Theorem raleq 2629

Description: Equality theorem for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
raleq	|- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ph ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem raleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2282	. 2 |- F/_ x A
2		nfcv 2282	. 2 |- F/_ x B
3	1, 2	raleqf 2625	1 |- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1332   A.wral 2417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422

This theorem is referenced by:  raleqi  2633  raleqdv  2635  raleqbi1dv  2637  sbralie  2673  inteq  3782  iineq1  3835  bnd2  4105  frforeq2  4275  weeq2  4287  ordeq  4302  reg2exmid  4459  reg3exmid  4502  omsinds  4543  fncnv  5197  funimaexglem  5214  isoeq4  5713  acexmidlemv  5780  tfrlem1  6213  tfr0dm  6227  tfrlemisucaccv  6230  tfrlemi1  6237  tfrlemi14d  6238  tfrexlem  6239  tfr1onlemsucaccv  6246  tfr1onlemaccex  6253  tfr1onlemres  6254  tfrcllemsucaccv  6259  tfrcllembxssdm  6261  tfrcllemaccex  6266  tfrcllemres  6267  tfrcldm  6268  ixpeq1  6611  ac6sfi  6800  fimax2gtri  6803  supeq1  6881  supeq2  6884  isomni  7016  ismkv  7035  iswomni  7047  sup3exmid  8739  rexanuz  10792  rexfiuz  10793  fimaxre2  11030  modfsummod  11259  cnprcl2k  12414  ispsmet  12531  ismet  12552  isxmet  12553  cncfval  12767  dvcn  12872  setindis  13336  bdsetindis  13338  strcoll2  13352  strcollnfALT  13355