Theorem raleq 2703

Description: Equality theorem for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
raleq	|- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ph ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem raleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2349	. 2 |- F/_ x A
2		nfcv 2349	. 2 |- F/_ x B
3	1, 2	raleqf 2699	1 |- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1373   A.wral 2485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490

This theorem is referenced by:  raleqi  2707  raleqdv  2709  raleqbi1dv  2715  sbralie  2757  inteq  3893  iineq1  3946  bnd2  4224  frforeq2  4399  weeq2  4411  ordeq  4426  reg2exmid  4591  reg3exmid  4635  omsinds  4677  fncnv  5348  funimaexglem  5365  isoeq4  5885  acexmidlemv  5954  tfrlem1  6406  tfr0dm  6420  tfrlemisucaccv  6423  tfrlemi1  6430  tfrlemi14d  6431  tfrexlem  6432  tfr1onlemsucaccv  6439  tfr1onlemaccex  6446  tfr1onlemres  6447  tfrcllemsucaccv  6452  tfrcllembxssdm  6454  tfrcllemaccex  6459  tfrcllemres  6460  tfrcldm  6461  ixpeq1  6808  ac6sfi  7009  fimax2gtri  7012  dcfi  7097  supeq1  7102  supeq2  7105  nnnninfeq2  7245  isomni  7252  ismkv  7269  iswomni  7281  acneq  7329  tapeq2  7380  sup3exmid  9045  rexanuz  11369  rexfiuz  11370  fimaxre2  11608  modfsummod  11839  mhmpropd  13368  isghm  13649  iscmn  13699  srgideu  13804  dfrhm2  13986  cnprcl2k  14748  ispsmet  14865  ismet  14886  isxmet  14887  cncfval  15114  dvcn  15242  setindis  16037  bdsetindis  16039  strcoll2  16053  strcollnfALT  16056