Theorem raleq 2749

Description: Equality theorem for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
raleq	|- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ph ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem raleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. 2 |- F/_ x A
2		nfcv 2392	. 2 |- F/_ x B
3	1, 2	raleqf 2745	1 |- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   A.wral 2528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533

This theorem is referenced by:  raleqi  2753  raleqdv  2755  raleqbi1dv  2761  sbralie  2804  inteq  3968  iineq1  4021  bnd2  4305  frforeq2  4485  weeq2  4497  ordeq  4512  reg2exmid  4678  reg3exmid  4722  omsinds  4764  fncnv  5442  funimaexglem  5459  isoeq4  6000  acexmidlemv  6073  tfrlem1  6569  tfr0dm  6583  tfrlemisucaccv  6586  tfrlemi1  6593  tfrlemi14d  6594  tfrexlem  6595  tfr1onlemsucaccv  6602  tfr1onlemaccex  6609  tfr1onlemres  6610  tfrcllemsucaccv  6615  tfrcllembxssdm  6617  tfrcllemaccex  6622  tfrcllemres  6623  tfrcldm  6624  ixpeq1  6981  ac6sfi  7192  fimax2gtri  7196  dcfi  7305  supeq1  7316  supeq2  7319  nnnninfeq2  7459  isomni  7466  ismkv  7483  iswomni  7495  acneq  7548  papeq2  7600  tapeq2  7609  sup3exmid  9277  rexanuz  11732  rexfiuz  11733  fimaxre2  11971  modfsummod  12203  mhmpropd  13750  isghm  14023  iscmn  14073  srgideu  14250  dfrhm2  14434  cnprcl2k  15230  ispsmet  15347  ismet  15368  isxmet  15369  cncfval  15596  dvcn  15724  setindis  16907  bdsetindis  16909  strcoll2  16923  strcollnfALT  16926