Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  strcollnft Unicode version

Theorem strcollnft 12984
Description: Closed form of strcollnf 12985. Version of ax-strcoll 12982 with one disjoint variable condition removed, the other disjoint variable condition replaced with a non-freeness antecedent, and without initial universal quantifier. (Contributed by BJ, 21-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
strcollnft  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  ( A. x  e.  a  E. y ph  ->  E. b A. y
( y  e.  b  <->  E. x  e.  a  ph ) ) )
Distinct variable group:    a, b, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, a, b)

Proof of Theorem strcollnft
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 strcoll2 12983 . 2  |-  ( A. x  e.  a  E. y ph  ->  E. z A. y ( y  e.  z  <->  E. x  e.  a 
ph ) )
2 nfnf1 1506 . . . . 5  |-  F/ b F/ b ph
32nfal 1538 . . . 4  |-  F/ b A. y F/ b
ph
43nfal 1538 . . 3  |-  F/ b A. x A. y F/ b ph
5 nfa2 1541 . . . 4  |-  F/ y A. x A. y F/ b ph
6 nfvd 1492 . . . . 5  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  F/ b  y  e.  z )
7 nfa1 1504 . . . . . . . 8  |-  F/ x A. x F/ b ph
8 nfcvd 2257 . . . . . . . 8  |-  ( A. x F/ b ph  ->  F/_ b a )
9 sp 1471 . . . . . . . 8  |-  ( A. x F/ b ph  ->  F/ b ph )
107, 8, 9nfrexdxy 2443 . . . . . . 7  |-  ( A. x F/ b ph  ->  F/ b E. x  e.  a  ph )
1110sps 1500 . . . . . 6  |-  ( A. y A. x F/ b
ph  ->  F/ b E. x  e.  a  ph )
1211alcoms 1435 . . . . 5  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  F/ b E. x  e.  a  ph )
136, 12nfbid 1550 . . . 4  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  F/ b ( y  e.  z  <->  E. x  e.  a  ph ) )
145, 13nfald 1716 . . 3  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  F/ b A. y ( y  e.  z  <->  E. x  e.  a 
ph ) )
15 nfv 1491 . . . . . 6  |-  F/ y  z  =  b
165, 15nfan 1527 . . . . 5  |-  F/ y ( A. x A. y F/ b ph  /\  z  =  b )
17 elequ2 1674 . . . . . . 7  |-  ( z  =  b  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  b ) )
1817adantl 273 . . . . . 6  |-  ( ( A. x A. y F/ b ph  /\  z  =  b )  -> 
( y  e.  z  <-> 
y  e.  b ) )
1918bibi1d 232 . . . . 5  |-  ( ( A. x A. y F/ b ph  /\  z  =  b )  -> 
( ( y  e.  z  <->  E. x  e.  a 
ph )  <->  ( y  e.  b  <->  E. x  e.  a 
ph ) ) )
2016, 19albid 1577 . . . 4  |-  ( ( A. x A. y F/ b ph  /\  z  =  b )  -> 
( A. y ( y  e.  z  <->  E. x  e.  a  ph )  <->  A. y
( y  e.  b  <->  E. x  e.  a  ph ) ) )
2120ex 114 . . 3  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  ( z  =  b  ->  ( A. y ( y  e.  z  <->  E. x  e.  a 
ph )  <->  A. y
( y  e.  b  <->  E. x  e.  a  ph ) ) ) )
224, 14, 21cbvexd 1877 . 2  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  ( E. z A. y ( y  e.  z  <->  E. x  e.  a 
ph )  <->  E. b A. y ( y  e.  b  <->  E. x  e.  a 
ph ) ) )
231, 22syl5ib 153 1  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  ( A. x  e.  a  E. y ph  ->  E. b A. y
( y  e.  b  <->  E. x  e.  a  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1312   F/wnf 1419   E.wex 1451   A.wral 2391   E.wrex 2392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-strcoll 12982
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397
This theorem is referenced by:  strcollnf  12985
  Copyright terms: Public domain W3C validator