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Theorem strcollnft 11536
Description: Closed form of strcollnf 11537. Version of ax-strcoll 11534 with one disjoint variable condition removed, the other disjoint variable condition replaced with a non-freeness antecedent, and without initial universal quantifier. (Contributed by BJ, 21-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
strcollnft  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  ( A. x  e.  a  E. y ph  ->  E. b A. y
( y  e.  b  <->  E. x  e.  a  ph ) ) )
Distinct variable group:    a, b, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, a, b)

Proof of Theorem strcollnft
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 strcoll2 11535 . 2  |-  ( A. x  e.  a  E. y ph  ->  E. z A. y ( y  e.  z  <->  E. x  e.  a 
ph ) )
2 nfnf1 1481 . . . . 5  |-  F/ b F/ b ph
32nfal 1513 . . . 4  |-  F/ b A. y F/ b
ph
43nfal 1513 . . 3  |-  F/ b A. x A. y F/ b ph
5 nfa2 1516 . . . 4  |-  F/ y A. x A. y F/ b ph
6 nfvd 1467 . . . . 5  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  F/ b  y  e.  z )
7 nfa1 1479 . . . . . . . 8  |-  F/ x A. x F/ b ph
8 nfcvd 2229 . . . . . . . 8  |-  ( A. x F/ b ph  ->  F/_ b a )
9 sp 1446 . . . . . . . 8  |-  ( A. x F/ b ph  ->  F/ b ph )
107, 8, 9nfrexdxy 2411 . . . . . . 7  |-  ( A. x F/ b ph  ->  F/ b E. x  e.  a  ph )
1110sps 1475 . . . . . 6  |-  ( A. y A. x F/ b
ph  ->  F/ b E. x  e.  a  ph )
1211alcoms 1410 . . . . 5  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  F/ b E. x  e.  a  ph )
136, 12nfbid 1525 . . . 4  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  F/ b ( y  e.  z  <->  E. x  e.  a  ph ) )
145, 13nfald 1690 . . 3  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  F/ b A. y ( y  e.  z  <->  E. x  e.  a 
ph ) )
15 nfv 1466 . . . . . 6  |-  F/ y  z  =  b
165, 15nfan 1502 . . . . 5  |-  F/ y ( A. x A. y F/ b ph  /\  z  =  b )
17 elequ2 1648 . . . . . . 7  |-  ( z  =  b  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  b ) )
1817adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( A. x A. y F/ b ph  /\  z  =  b )  -> 
( y  e.  z  <-> 
y  e.  b ) )
1918bibi1d 231 . . . . 5  |-  ( ( A. x A. y F/ b ph  /\  z  =  b )  -> 
( ( y  e.  z  <->  E. x  e.  a 
ph )  <->  ( y  e.  b  <->  E. x  e.  a 
ph ) ) )
2016, 19albid 1551 . . . 4  |-  ( ( A. x A. y F/ b ph  /\  z  =  b )  -> 
( A. y ( y  e.  z  <->  E. x  e.  a  ph )  <->  A. y
( y  e.  b  <->  E. x  e.  a  ph ) ) )
2120ex 113 . . 3  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  ( z  =  b  ->  ( A. y ( y  e.  z  <->  E. x  e.  a 
ph )  <->  A. y
( y  e.  b  <->  E. x  e.  a  ph ) ) ) )
224, 14, 21cbvexd 1850 . 2  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  ( E. z A. y ( y  e.  z  <->  E. x  e.  a 
ph )  <->  E. b A. y ( y  e.  b  <->  E. x  e.  a 
ph ) ) )
231, 22syl5ib 152 1  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  ( A. x  e.  a  E. y ph  ->  E. b A. y
( y  e.  b  <->  E. x  e.  a  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1287   F/wnf 1394   E.wex 1426   A.wral 2359   E.wrex 2360
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-strcoll 11534
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365
This theorem is referenced by:  strcollnf  11537
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