Theorem strcollnft 13518

Description: Closed form of strcollnf 13519. (Contributed by BJ, 21-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
strcollnft	|- ( A. x A. y F/ b ph -> ( A. x e. a E. y ph -> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) ) )

Distinct variable group:   a, b, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, a, b)

Proof of Theorem strcollnft

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strcoll2 13517	. 2 |- ( A. x e. a E. y ph -> E. z ( A. x e. a E. y e. z ph /\ A. y e. z E. x e. a ph ) )
2		nfnf1 1524	. . . . 5 |- F/ b F/ b ph
3	2	nfal 1556	. . . 4 |- F/ b A. y F/ b ph
4	3	nfal 1556	. . 3 |- F/ b A. x A. y F/ b ph
5		nfa1 1521	. . . . 5 |- F/ x A. x A. y F/ b ph
6		nfcvd 2300	. . . . 5 |- ( A. x A. y F/ b ph -> F/_ b a )
7		nfa1 1521	. . . . . . 7 |- F/ y A. y F/ b ph
8	7	nfal 1556	. . . . . 6 |- F/ y A. x A. y F/ b ph
9		nfcvd 2300	. . . . . 6 |- ( A. x A. y F/ b ph -> F/_ b z )
10		sp 1491	. . . . . . 7 |- ( A. y F/ b ph -> F/ b ph )
11	10	sps 1517	. . . . . 6 |- ( A. x A. y F/ b ph -> F/ b ph )
12	8, 9, 11	nfrexdxy 2491	. . . . 5 |- ( A. x A. y F/ b ph -> F/ b E. y e. z ph )
13	5, 6, 12	nfraldxy 2490	. . . 4 |- ( A. x A. y F/ b ph -> F/ b A. x e. a E. y e. z ph )
14	5, 6, 11	nfrexdxy 2491	. . . . 5 |- ( A. x A. y F/ b ph -> F/ b E. x e. a ph )
15	8, 9, 14	nfraldxy 2490	. . . 4 |- ( A. x A. y F/ b ph -> F/ b A. y e. z E. x e. a ph )
16	13, 15	nfand 1548	. . 3 |- ( A. x A. y F/ b ph -> F/ b ( A. x e. a E. y e. z ph /\ A. y e. z E. x e. a ph ) )
17		nfv 1508	. . . . . . 7 |- F/ x z = b
18	5, 17	nfan 1545	. . . . . 6 |- F/ x ( A. x A. y F/ b ph /\ z = b )
19		rexeq 2653	. . . . . . 7 |- ( z = b -> ( E. y e. z ph <-> E. y e. b ph ) )
20	19	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A. x A. y F/ b ph /\ z = b ) -> ( E. y e. z ph <-> E. y e. b ph ) )
21	18, 20	ralbid 2455	. . . . 5 |- ( ( A. x A. y F/ b ph /\ z = b ) -> ( A. x e. a E. y e. z ph <-> A. x e. a E. y e. b ph ) )
22		nfv 1508	. . . . . . 7 |- F/ y z = b
23	8, 22	nfan 1545	. . . . . 6 |- F/ y ( A. x A. y F/ b ph /\ z = b )
24		eleq2 2221	. . . . . . . 8 |- ( z = b -> ( y e. z <-> y e. b ) )
25	24	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( A. x A. y F/ b ph /\ z = b ) -> ( y e. z <-> y e. b ) )
26	25	imbi1d 230	. . . . . 6 |- ( ( A. x A. y F/ b ph /\ z = b ) -> ( ( y e. z -> E. x e. a ph ) <-> ( y e. b -> E. x e. a ph ) ) )
27	23, 26	ralbid2 2461	. . . . 5 |- ( ( A. x A. y F/ b ph /\ z = b ) -> ( A. y e. z E. x e. a ph <-> A. y e. b E. x e. a ph ) )
28	21, 27	anbi12d 465	. . . 4 |- ( ( A. x A. y F/ b ph /\ z = b ) -> ( ( A. x e. a E. y e. z ph /\ A. y e. z E. x e. a ph ) <-> ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) ) )
29	28	ex 114	. . 3 |- ( A. x A. y F/ b ph -> ( z = b -> ( ( A. x e. a E. y e. z ph /\ A. y e. z E. x e. a ph ) <-> ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) ) ) )
30	4, 16, 29	cbvexd 1907	. 2 |- ( A. x A. y F/ b ph -> ( E. z ( A. x e. a E. y e. z ph /\ A. y e. z E. x e. a ph ) <-> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) ) )
31	1, 30	syl5ib 153	1 |- ( A. x A. y F/ b ph -> ( A. x e. a E. y ph -> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1333   F/wnf 1440   E.wex 1472   A.wral 2435   E.wrex 2436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139  ax-strcoll 13516

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441

This theorem is referenced by:  strcollnf  13519