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Theorem strcollnft 14358
Description: Closed form of strcollnf 14359. (Contributed by BJ, 21-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
strcollnft  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  ( A. x  e.  a  E. y ph  ->  E. b ( A. x  e.  a  E. y  e.  b  ph  /\ 
A. y  e.  b  E. x  e.  a 
ph ) ) )
Distinct variable group:    a, b, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, a, b)

Proof of Theorem strcollnft
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 strcoll2 14357 . 2  |-  ( A. x  e.  a  E. y ph  ->  E. z
( A. x  e.  a  E. y  e.  z  ph  /\  A. y  e.  z  E. x  e.  a  ph ) )
2 nfnf1 1544 . . . . 5  |-  F/ b F/ b ph
32nfal 1576 . . . 4  |-  F/ b A. y F/ b
ph
43nfal 1576 . . 3  |-  F/ b A. x A. y F/ b ph
5 nfa1 1541 . . . . 5  |-  F/ x A. x A. y F/ b ph
6 nfcvd 2320 . . . . 5  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  F/_ b a )
7 nfa1 1541 . . . . . . 7  |-  F/ y A. y F/ b
ph
87nfal 1576 . . . . . 6  |-  F/ y A. x A. y F/ b ph
9 nfcvd 2320 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  F/_ b z )
10 sp 1511 . . . . . . 7  |-  ( A. y F/ b ph  ->  F/ b ph )
1110sps 1537 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  F/ b ph )
128, 9, 11nfrexdxy 2511 . . . . 5  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  F/ b E. y  e.  z  ph )
135, 6, 12nfraldxy 2510 . . . 4  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  F/ b A. x  e.  a  E. y  e.  z  ph )
145, 6, 11nfrexdxy 2511 . . . . 5  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  F/ b E. x  e.  a  ph )
158, 9, 14nfraldxy 2510 . . . 4  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  F/ b A. y  e.  z  E. x  e.  a  ph )
1613, 15nfand 1568 . . 3  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  F/ b ( A. x  e.  a  E. y  e.  z 
ph  /\  A. y  e.  z  E. x  e.  a  ph ) )
17 nfv 1528 . . . . . . 7  |-  F/ x  z  =  b
185, 17nfan 1565 . . . . . 6  |-  F/ x
( A. x A. y F/ b ph  /\  z  =  b )
19 rexeq 2673 . . . . . . 7  |-  ( z  =  b  ->  ( E. y  e.  z  ph 
<->  E. y  e.  b 
ph ) )
2019adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( A. x A. y F/ b ph  /\  z  =  b )  -> 
( E. y  e.  z  ph  <->  E. y  e.  b  ph ) )
2118, 20ralbid 2475 . . . . 5  |-  ( ( A. x A. y F/ b ph  /\  z  =  b )  -> 
( A. x  e.  a  E. y  e.  z  ph  <->  A. x  e.  a  E. y  e.  b  ph ) )
22 nfv 1528 . . . . . . 7  |-  F/ y  z  =  b
238, 22nfan 1565 . . . . . 6  |-  F/ y ( A. x A. y F/ b ph  /\  z  =  b )
24 eleq2 2241 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  b  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  b ) )
2524adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x A. y F/ b ph  /\  z  =  b )  -> 
( y  e.  z  <-> 
y  e.  b ) )
2625imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( ( A. x A. y F/ b ph  /\  z  =  b )  -> 
( ( y  e.  z  ->  E. x  e.  a  ph )  <->  ( y  e.  b  ->  E. x  e.  a  ph ) ) )
2723, 26ralbid2 2481 . . . . 5  |-  ( ( A. x A. y F/ b ph  /\  z  =  b )  -> 
( A. y  e.  z  E. x  e.  a  ph  <->  A. y  e.  b  E. x  e.  a  ph ) )
2821, 27anbi12d 473 . . . 4  |-  ( ( A. x A. y F/ b ph  /\  z  =  b )  -> 
( ( A. x  e.  a  E. y  e.  z  ph  /\  A. y  e.  z  E. x  e.  a  ph ) 
<->  ( A. x  e.  a  E. y  e.  b  ph  /\  A. y  e.  b  E. x  e.  a  ph ) ) )
2928ex 115 . . 3  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  ( z  =  b  ->  ( ( A. x  e.  a  E. y  e.  z  ph  /\  A. y  e.  z  E. x  e.  a  ph )  <->  ( A. x  e.  a  E. y  e.  b  ph  /\ 
A. y  e.  b  E. x  e.  a 
ph ) ) ) )
304, 16, 29cbvexd 1927 . 2  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  ( E. z
( A. x  e.  a  E. y  e.  z  ph  /\  A. y  e.  z  E. x  e.  a  ph ) 
<->  E. b ( A. x  e.  a  E. y  e.  b  ph  /\ 
A. y  e.  b  E. x  e.  a 
ph ) ) )
311, 30imbitrid 154 1  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  ( A. x  e.  a  E. y ph  ->  E. b ( A. x  e.  a  E. y  e.  b  ph  /\ 
A. y  e.  b  E. x  e.  a 
ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105   A.wal 1351   F/wnf 1460   E.wex 1492   A.wral 2455   E.wrex 2456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-strcoll 14356
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461
This theorem is referenced by:  strcollnf  14359
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