Theorem strcollnft 13171

Description: Closed form of strcollnf 13172. Version of ax-strcoll 13169 with one disjoint variable condition removed, the other disjoint variable condition replaced with a non-freeness antecedent, and without initial universal quantifier. (Contributed by BJ, 21-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
strcollnft	|- ( A. x A. y F/ b ph -> ( A. x e. a E. y ph -> E. b A. y ( y e. b <-> E. x e. a ph ) ) )

Distinct variable group:   a, b, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, a, b)

Proof of Theorem strcollnft

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strcoll2 13170	. 2 |- ( A. x e. a E. y ph -> E. z A. y ( y e. z <-> E. x e. a ph ) )
2		nfnf1 1523	. . . . 5 |- F/ b F/ b ph
3	2	nfal 1555	. . . 4 |- F/ b A. y F/ b ph
4	3	nfal 1555	. . 3 |- F/ b A. x A. y F/ b ph
5		nfa2 1558	. . . 4 |- F/ y A. x A. y F/ b ph
6		nfvd 1509	. . . . 5 |- ( A. x A. y F/ b ph -> F/ b y e. z )
7		nfa1 1521	. . . . . . . 8 |- F/ x A. x F/ b ph
8		nfcvd 2280	. . . . . . . 8 |- ( A. x F/ b ph -> F/_ b a )
9		sp 1488	. . . . . . . 8 |- ( A. x F/ b ph -> F/ b ph )
10	7, 8, 9	nfrexdxy 2466	. . . . . . 7 |- ( A. x F/ b ph -> F/ b E. x e. a ph )
11	10	sps 1517	. . . . . 6 |- ( A. y A. x F/ b ph -> F/ b E. x e. a ph )
12	11	alcoms 1452	. . . . 5 |- ( A. x A. y F/ b ph -> F/ b E. x e. a ph )
13	6, 12	nfbid 1567	. . . 4 |- ( A. x A. y F/ b ph -> F/ b ( y e. z <-> E. x e. a ph ) )
14	5, 13	nfald 1733	. . 3 |- ( A. x A. y F/ b ph -> F/ b A. y ( y e. z <-> E. x e. a ph ) )
15		nfv 1508	. . . . . 6 |- F/ y z = b
16	5, 15	nfan 1544	. . . . 5 |- F/ y ( A. x A. y F/ b ph /\ z = b )
17		elequ2 1691	. . . . . . 7 |- ( z = b -> ( y e. z <-> y e. b ) )
18	17	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A. x A. y F/ b ph /\ z = b ) -> ( y e. z <-> y e. b ) )
19	18	bibi1d 232	. . . . 5 |- ( ( A. x A. y F/ b ph /\ z = b ) -> ( ( y e. z <-> E. x e. a ph ) <-> ( y e. b <-> E. x e. a ph ) ) )
20	16, 19	albid 1594	. . . 4 |- ( ( A. x A. y F/ b ph /\ z = b ) -> ( A. y ( y e. z <-> E. x e. a ph ) <-> A. y ( y e. b <-> E. x e. a ph ) ) )
21	20	ex 114	. . 3 |- ( A. x A. y F/ b ph -> ( z = b -> ( A. y ( y e. z <-> E. x e. a ph ) <-> A. y ( y e. b <-> E. x e. a ph ) ) ) )
22	4, 14, 21	cbvexd 1897	. 2 |- ( A. x A. y F/ b ph -> ( E. z A. y ( y e. z <-> E. x e. a ph ) <-> E. b A. y ( y e. b <-> E. x e. a ph ) ) )
23	1, 22	syl5ib 153	1 |- ( A. x A. y F/ b ph -> ( A. x e. a E. y ph -> E. b A. y ( y e. b <-> E. x e. a ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1329   F/wnf 1436   E.wex 1468   A.wral 2414   E.wrex 2415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-strcoll 13169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420

This theorem is referenced by:  strcollnf  13172