Theorem strcollnfALT 13355

Description: Alternate proof of strcollnf 13354, not using strcollnft 13353. (Contributed by BJ, 5-Oct-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
strcollnf.nf	|- F/ b ph

Assertion

Ref	Expression
strcollnfALT	|- ( A. x e. a E. y ph -> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) )

Distinct variable group:   a, b, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, a, b)

Proof of Theorem strcollnfALT

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strcoll2 13352	. 2 |- ( A. x e. a E. y ph -> E. z ( A. x e. a E. y e. z ph /\ A. y e. z E. x e. a ph ) )
2		nfcv 2282	. . . . 5 |- F/_ b a
3		nfcv 2282	. . . . . 6 |- F/_ b z
4		strcollnf.nf	. . . . . 6 |- F/ b ph
5	3, 4	nfrexxy 2475	. . . . 5 |- F/ b E. y e. z ph
6	2, 5	nfralxy 2474	. . . 4 |- F/ b A. x e. a E. y e. z ph
7	2, 4	nfrexxy 2475	. . . . 5 |- F/ b E. x e. a ph
8	3, 7	nfralxy 2474	. . . 4 |- F/ b A. y e. z E. x e. a ph
9	6, 8	nfan 1545	. . 3 |- F/ b ( A. x e. a E. y e. z ph /\ A. y e. z E. x e. a ph )
10		nfv 1509	. . . 4 |- F/ z A. x e. a E. y e. b ph
11		nfv 1509	. . . 4 |- F/ z A. y e. b E. x e. a ph
12	10, 11	nfan 1545	. . 3 |- F/ z ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph )
13		rexeq 2630	. . . . 5 |- ( z = b -> ( E. y e. z ph <-> E. y e. b ph ) )
14	13	ralbidv 2438	. . . 4 |- ( z = b -> ( A. x e. a E. y e. z ph <-> A. x e. a E. y e. b ph ) )
15		raleq 2629	. . . 4 |- ( z = b -> ( A. y e. z E. x e. a ph <-> A. y e. b E. x e. a ph ) )
16	14, 15	anbi12d 465	. . 3 |- ( z = b -> ( ( A. x e. a E. y e. z ph /\ A. y e. z E. x e. a ph ) <-> ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) ) )
17	9, 12, 16	cbvex 1730	. 2 |- ( E. z ( A. x e. a E. y e. z ph /\ A. y e. z E. x e. a ph ) <-> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) )
18	1, 17	sylib 121	1 |- ( A. x e. a E. y ph -> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   F/wnf 1437   E.wex 1469   A.wral 2417   E.wrex 2418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-strcoll 13351

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423

This theorem is referenced by: (None)