Theorem strcollnfALT 13868

Description: Alternate proof of strcollnf 13867, not using strcollnft 13866. (Contributed by BJ, 5-Oct-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
strcollnf.nf	|- F/ b ph

Assertion

Ref	Expression
strcollnfALT	|- ( A. x e. a E. y ph -> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) )

Distinct variable group:   a, b, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, a, b)

Proof of Theorem strcollnfALT

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strcoll2 13865	. 2 |- ( A. x e. a E. y ph -> E. z ( A. x e. a E. y e. z ph /\ A. y e. z E. x e. a ph ) )
2		nfcv 2308	. . . . 5 |- F/_ b a
3		nfcv 2308	. . . . . 6 |- F/_ b z
4		strcollnf.nf	. . . . . 6 |- F/ b ph
5	3, 4	nfrexxy 2505	. . . . 5 |- F/ b E. y e. z ph
6	2, 5	nfralxy 2504	. . . 4 |- F/ b A. x e. a E. y e. z ph
7	2, 4	nfrexxy 2505	. . . . 5 |- F/ b E. x e. a ph
8	3, 7	nfralxy 2504	. . . 4 |- F/ b A. y e. z E. x e. a ph
9	6, 8	nfan 1553	. . 3 |- F/ b ( A. x e. a E. y e. z ph /\ A. y e. z E. x e. a ph )
10		nfv 1516	. . . 4 |- F/ z A. x e. a E. y e. b ph
11		nfv 1516	. . . 4 |- F/ z A. y e. b E. x e. a ph
12	10, 11	nfan 1553	. . 3 |- F/ z ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph )
13		rexeq 2662	. . . . 5 |- ( z = b -> ( E. y e. z ph <-> E. y e. b ph ) )
14	13	ralbidv 2466	. . . 4 |- ( z = b -> ( A. x e. a E. y e. z ph <-> A. x e. a E. y e. b ph ) )
15		raleq 2661	. . . 4 |- ( z = b -> ( A. y e. z E. x e. a ph <-> A. y e. b E. x e. a ph ) )
16	14, 15	anbi12d 465	. . 3 |- ( z = b -> ( ( A. x e. a E. y e. z ph /\ A. y e. z E. x e. a ph ) <-> ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) ) )
17	9, 12, 16	cbvex 1744	. 2 |- ( E. z ( A. x e. a E. y e. z ph /\ A. y e. z E. x e. a ph ) <-> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) )
18	1, 17	sylib 121	1 |- ( A. x e. a E. y ph -> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   F/wnf 1448   E.wex 1480   A.wral 2444   E.wrex 2445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-strcoll 13864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450

This theorem is referenced by: (None)