Theorem strcollnfALT 16702

Description: Alternate proof of strcollnf 16701, not using strcollnft 16700. (Contributed by BJ, 5-Oct-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
strcollnf.nf	|- F/ b ph

Assertion

Ref	Expression
strcollnfALT	|- ( A. x e. a E. y ph -> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) )

Distinct variable group:   a, b, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, a, b)

Proof of Theorem strcollnfALT

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strcoll2 16699	. 2 |- ( A. x e. a E. y ph -> E. z ( A. x e. a E. y e. z ph /\ A. y e. z E. x e. a ph ) )
2		nfcv 2375	. . . . 5 |- F/_ b a
3		nfcv 2375	. . . . . 6 |- F/_ b z
4		strcollnf.nf	. . . . . 6 |- F/ b ph
5	3, 4	nfrexw 2572	. . . . 5 |- F/ b E. y e. z ph
6	2, 5	nfralxy 2571	. . . 4 |- F/ b A. x e. a E. y e. z ph
7	2, 4	nfrexw 2572	. . . . 5 |- F/ b E. x e. a ph
8	3, 7	nfralxy 2571	. . . 4 |- F/ b A. y e. z E. x e. a ph
9	6, 8	nfan 1614	. . 3 |- F/ b ( A. x e. a E. y e. z ph /\ A. y e. z E. x e. a ph )
10		nfv 1577	. . . 4 |- F/ z A. x e. a E. y e. b ph
11		nfv 1577	. . . 4 |- F/ z A. y e. b E. x e. a ph
12	10, 11	nfan 1614	. . 3 |- F/ z ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph )
13		rexeq 2732	. . . . 5 |- ( z = b -> ( E. y e. z ph <-> E. y e. b ph ) )
14	13	ralbidv 2533	. . . 4 |- ( z = b -> ( A. x e. a E. y e. z ph <-> A. x e. a E. y e. b ph ) )
15		raleq 2731	. . . 4 |- ( z = b -> ( A. y e. z E. x e. a ph <-> A. y e. b E. x e. a ph ) )
16	14, 15	anbi12d 473	. . 3 |- ( z = b -> ( ( A. x e. a E. y e. z ph /\ A. y e. z E. x e. a ph ) <-> ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) ) )
17	9, 12, 16	cbvex 1804	. 2 |- ( E. z ( A. x e. a E. y e. z ph /\ A. y e. z E. x e. a ph ) <-> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) )
18	1, 17	sylib 122	1 |- ( A. x e. a E. y ph -> E. b ( A. x e. a E. y e. b ph /\ A. y e. b E. x e. a ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   F/wnf 1509   E.wex 1541   A.wral 2511   E.wrex 2512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-strcoll 16698

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517

This theorem is referenced by: (None)