Theorem xpun 4665

Description: The cross product of two unions. (Contributed by NM, 12-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xpun	|- ( ( A u. B ) X. ( C u. D ) ) = ( ( ( A X. C ) u. ( A X. D ) ) u. ( ( B X. C ) u. ( B X. D ) ) )

Proof of Theorem xpun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpundi 4660	. 2 |- ( ( A u. B ) X. ( C u. D ) ) = ( ( ( A u. B ) X. C ) u. ( ( A u. B ) X. D ) )
2		xpundir 4661	. . 3 |- ( ( A u. B ) X. C ) = ( ( A X. C ) u. ( B X. C ) )
3		xpundir 4661	. . 3 |- ( ( A u. B ) X. D ) = ( ( A X. D ) u. ( B X. D ) )
4	2, 3	uneq12i 3274	. 2 |- ( ( ( A u. B ) X. C ) u. ( ( A u. B ) X. D ) ) = ( ( ( A X. C ) u. ( B X. C ) ) u. ( ( A X. D ) u. ( B X. D ) ) )
5		un4 3282	. 2 |- ( ( ( A X. C ) u. ( B X. C ) ) u. ( ( A X. D ) u. ( B X. D ) ) ) = ( ( ( A X. C ) u. ( A X. D ) ) u. ( ( B X. C ) u. ( B X. D ) ) )
6	1, 4, 5	3eqtri 2190	1 |- ( ( A u. B ) X. ( C u. D ) ) = ( ( ( A X. C ) u. ( A X. D ) ) u. ( ( B X. C ) u. ( B X. D ) ) )

Syntax hints:   = wceq 1343   u. cun 3114   X. cxp 4602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-opab 4044  df-xp 4610

This theorem is referenced by: (None)