ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elvv Unicode version

Theorem elvv 4569
Description: Membership in universal class of ordered pairs. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)
Assertion
Ref Expression
elvv  |-  ( A  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. x E. y  A  =  <. x ,  y >. )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem elvv
StepHypRef Expression
1 elxp 4524 . 2  |-  ( A  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. x E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  _V  /\  y  e.  _V )
) )
2 vex 2661 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
3 vex 2661 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
42, 3pm3.2i 268 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )
54biantru 298 . . 3  |-  ( A  =  <. x ,  y
>. 
<->  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  _V  /\  y  e.  _V )
) )
652exbii 1568 . 2  |-  ( E. x E. y  A  =  <. x ,  y
>. 
<->  E. x E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  _V  /\  y  e.  _V )
) )
71, 6bitr4i 186 1  |-  ( A  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. x E. y  A  =  <. x ,  y >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   _Vcvv 2658   <.cop 3498    X. cxp 4505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-v 2660  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-opab 3958  df-xp 4513
This theorem is referenced by:  elvvv  4570  elvvuni  4571  ssrel  4595  elrel  4609  relop  4657  elreldm  4733  dmsnm  4972  1stval2  6019  2ndval2  6020  dfopab2  6053  dfoprab3s  6054  dftpos4  6126  tpostpos  6127  fundmen  6666
  Copyright terms: Public domain W3C validator