ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elvv Unicode version

Theorem elvv 4706
Description: Membership in universal class of ordered pairs. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)
Assertion
Ref Expression
elvv  |-  ( A  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. x E. y  A  =  <. x ,  y >. )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem elvv
StepHypRef Expression
1 elxp 4661 . 2  |-  ( A  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. x E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  _V  /\  y  e.  _V )
) )
2 vex 2755 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
3 vex 2755 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
42, 3pm3.2i 272 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )
54biantru 302 . . 3  |-  ( A  =  <. x ,  y
>. 
<->  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  _V  /\  y  e.  _V )
) )
652exbii 1617 . 2  |-  ( E. x E. y  A  =  <. x ,  y
>. 
<->  E. x E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  _V  /\  y  e.  _V )
) )
71, 6bitr4i 187 1  |-  ( A  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. x E. y  A  =  <. x ,  y >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   _Vcvv 2752   <.cop 3610    X. cxp 4642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-opab 4080  df-xp 4650
This theorem is referenced by:  elvvv  4707  elvvuni  4708  ssrel  4732  elrel  4746  relop  4795  elreldm  4871  dmsnm  5112  1stval2  6180  2ndval2  6181  dfopab2  6214  dfoprab3s  6215  dftpos4  6288  tpostpos  6289  fundmen  6832
  Copyright terms: Public domain W3C validator