Theorem elvv 4721

Description: Membership in universal class of ordered pairs. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elvv	|- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem elvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4676	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) )
2		vex 2763	. . . . 5 |- x e. _V
3		vex 2763	. . . . 5 |- y e. _V
4	2, 3	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( x e. _V /\ y e. _V )
5	4	biantru 302	. . 3 |- ( A = <. x , y >. <-> ( A = <. x , y >. /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) )
6	5	2exbii 1617	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) )
7	1, 6	bitr4i 187	1 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   <.cop 3621   X. cxp 4657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-opab 4091  df-xp 4665

This theorem is referenced by:  elvvv  4722  elvvuni  4723  ssrel  4747  elrel  4761  relop  4812  elreldm  4888  dmsnm  5131  1stval2  6208  2ndval2  6209  dfopab2  6242  dfoprab3s  6243  dftpos4  6316  tpostpos  6317  fundmen  6860