Theorem elvv 4645

Description: Membership in universal class of ordered pairs. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elvv	|- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem elvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4600	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) )
2		vex 2715	. . . . 5 |- x e. _V
3		vex 2715	. . . . 5 |- y e. _V
4	2, 3	pm3.2i 270	. . . 4 |- ( x e. _V /\ y e. _V )
5	4	biantru 300	. . 3 |- ( A = <. x , y >. <-> ( A = <. x , y >. /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) )
6	5	2exbii 1586	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) )
7	1, 6	bitr4i 186	1 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   <.cop 3563   X. cxp 4581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-opab 4026  df-xp 4589

This theorem is referenced by:  elvvv  4646  elvvuni  4647  ssrel  4671  elrel  4685  relop  4733  elreldm  4809  dmsnm  5048  1stval2  6097  2ndval2  6098  dfopab2  6131  dfoprab3s  6132  dftpos4  6204  tpostpos  6205  fundmen  6744