![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > 0cnALT | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Alternate proof of 0cn 11154 which does not reference ax-1cn 11116. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 7-Jan-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
0cnALT | โข 0 โ โ |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-icn 11117 | . . 3 โข i โ โ | |
2 | cnre 11159 | . . 3 โข (i โ โ โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ i = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) | |
3 | ax-rnegex 11129 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ โ โ โ๐ง โ โ (๐ฅ + ๐ง) = 0) | |
4 | readdcl 11141 | . . . . . . . 8 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ง โ โ) โ (๐ฅ + ๐ง) โ โ) | |
5 | eleq1 2826 | . . . . . . . 8 โข ((๐ฅ + ๐ง) = 0 โ ((๐ฅ + ๐ง) โ โ โ 0 โ โ)) | |
6 | 4, 5 | syl5ibcom 244 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((๐ฅ + ๐ง) = 0 โ 0 โ โ)) |
7 | 6 | rexlimdva 3153 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ โ โ (โ๐ง โ โ (๐ฅ + ๐ง) = 0 โ 0 โ โ)) |
8 | 3, 7 | mpd 15 | . . . . 5 โข (๐ฅ โ โ โ 0 โ โ) |
9 | 8 | adantr 482 | . . . 4 โข ((๐ฅ โ โ โง โ๐ฆ โ โ i = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ 0 โ โ) |
10 | 9 | rexlimiva 3145 | . . 3 โข (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ i = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ 0 โ โ) |
11 | 1, 2, 10 | mp2b 10 | . 2 โข 0 โ โ |
12 | 11 | recni 11176 | 1 โข 0 โ โ |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwrex 3074 (class class class)co 7362 โcc 11056 โcr 11057 0cc0 11058 ici 11060 + caddc 11061 ยท cmul 11063 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-ext 2708 ax-resscn 11115 ax-icn 11117 ax-addrcl 11119 ax-rnegex 11129 ax-cnre 11131 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-tru 1545 df-ex 1783 df-sb 2069 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-rex 3075 df-v 3450 df-in 3922 df-ss 3932 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |