MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0cnALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cnALT 11448
Description: Alternate proof of 0cn 11206 which does not reference ax-1cn 11168. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 7-Jan-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0cnALT 0 โˆˆ โ„‚

Proof of Theorem 0cnALT
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11169 . . 3 i โˆˆ โ„‚
2 cnre 11211 . . 3 (i โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ i = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
3 ax-rnegex 11181 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ (๐‘ฅ + ๐‘ง) = 0)
4 readdcl 11193 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆˆ โ„)
5 eleq1 2822 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ + ๐‘ง) = 0 โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆˆ โ„ โ†” 0 โˆˆ โ„))
64, 5syl5ibcom 244 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) = 0 โ†’ 0 โˆˆ โ„))
76rexlimdva 3156 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ (๐‘ฅ + ๐‘ง) = 0 โ†’ 0 โˆˆ โ„))
83, 7mpd 15 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
98adantr 482 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ i = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
109rexlimiva 3148 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ i = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
111, 2, 10mp2b 10 . 2 0 โˆˆ โ„
1211recni 11228 1 0 โˆˆ โ„‚
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3071  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  ici 11112   + caddc 11113   ยท cmul 11115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-resscn 11167  ax-icn 11169  ax-addrcl 11171  ax-rnegex 11181  ax-cnre 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-tru 1545  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rex 3072  df-v 3477  df-in 3956  df-ss 3966
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator