![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > 0cnALT | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Alternate proof of 0cn 11210 which does not reference ax-1cn 11170. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 7-Jan-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
0cnALT | โข 0 โ โ |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-icn 11171 | . . 3 โข i โ โ | |
2 | cnre 11215 | . . 3 โข (i โ โ โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ i = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) | |
3 | ax-rnegex 11183 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ โ โ โ๐ง โ โ (๐ฅ + ๐ง) = 0) | |
4 | readdcl 11195 | . . . . . . . 8 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ง โ โ) โ (๐ฅ + ๐ง) โ โ) | |
5 | eleq1 2821 | . . . . . . . 8 โข ((๐ฅ + ๐ง) = 0 โ ((๐ฅ + ๐ง) โ โ โ 0 โ โ)) | |
6 | 4, 5 | syl5ibcom 244 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((๐ฅ + ๐ง) = 0 โ 0 โ โ)) |
7 | 6 | rexlimdva 3155 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ โ โ (โ๐ง โ โ (๐ฅ + ๐ง) = 0 โ 0 โ โ)) |
8 | 3, 7 | mpd 15 | . . . . 5 โข (๐ฅ โ โ โ 0 โ โ) |
9 | 8 | adantr 481 | . . . 4 โข ((๐ฅ โ โ โง โ๐ฆ โ โ i = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ 0 โ โ) |
10 | 9 | rexlimiva 3147 | . . 3 โข (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ i = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ 0 โ โ) |
11 | 1, 2, 10 | mp2b 10 | . 2 โข 0 โ โ |
12 | 11 | recni 11232 | 1 โข 0 โ โ |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โง wa 396 = wceq 1541 โ wcel 2106 โwrex 3070 (class class class)co 7411 โcc 11110 โcr 11111 0cc0 11112 ici 11114 + caddc 11115 ยท cmul 11117 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-ext 2703 ax-resscn 11169 ax-icn 11171 ax-addrcl 11173 ax-rnegex 11183 ax-cnre 11185 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-tru 1544 df-ex 1782 df-sb 2068 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-rex 3071 df-v 3476 df-in 3955 df-ss 3965 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |