Theorem 0cnALT2 11373

Description: Alternate proof of 0cnALT 11372 which is shorter, but depends on ax-8 2121, ax-13 2380, ax-sep 5218, ax-nul 5228, ax-pow 5294, ax-pr 5362, ax-un 7678, and every complex number axiom except ax-pre-mulgt0 11106 and ax-pre-sup 11107. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0cnALT2	⊢ 0 ∈ ℂ

Proof of Theorem 0cnALT2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11088	. . 3 ⊢ i ∈ ℂ
2		cnegex 11318	. . 3 ⊢ (i ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (i + 𝑥) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℂ (i + 𝑥) = 0
4		addcl 11111	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i + 𝑥) ∈ ℂ)
5	1, 4	mpan 696	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (i + 𝑥) ∈ ℂ)
6		eleq1 2827	. . . 4 ⊢ ((i + 𝑥) = 0 → ((i + 𝑥) ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
7	5, 6	syl5ibcom 246	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((i + 𝑥) = 0 → 0 ∈ ℂ))
8	7	rexlimiv 3133	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℂ (i + 𝑥) = 0 → 0 ∈ ℂ)
9	3, 8	ax-mp 5	1 ⊢ 0 ∈ ℂ

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  0cc0 11029  ici 11031   + caddc 11032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175

This theorem is referenced by: (None)