Theorem 0cnALT2 11446

Description: Alternate proof of 0cnALT 11445 which is shorter, but depends on ax-8 2100, ax-13 2363, ax-sep 5289, ax-nul 5296, ax-pow 5353, ax-pr 5417, ax-un 7718, and every complex number axiom except ax-pre-mulgt0 11183 and ax-pre-sup 11184. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0cnALT2	⊢ 0 ∈ ℂ

Proof of Theorem 0cnALT2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11165	. . 3 ⊢ i ∈ ℂ
2		cnegex 11392	. . 3 ⊢ (i ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (i + 𝑥) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℂ (i + 𝑥) = 0
4		addcl 11188	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i + 𝑥) ∈ ℂ)
5	1, 4	mpan 687	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (i + 𝑥) ∈ ℂ)
6		eleq1 2813	. . . 4 ⊢ ((i + 𝑥) = 0 → ((i + 𝑥) ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
7	5, 6	syl5ibcom 244	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((i + 𝑥) = 0 → 0 ∈ ℂ))
8	7	rexlimiv 3140	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℂ (i + 𝑥) = 0 → 0 ∈ ℂ)
9	3, 8	ax-mp 5	1 ⊢ 0 ∈ ℂ

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3062  (class class class)co 7401  ℂcc 11104  0cc0 11106  ici 11108   + caddc 11109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-ltxr 11250

This theorem is referenced by: (None)