Theorem hbimpg 45645

Description: A closed form of hbim 2332. Derived from hbimpgVD 45994. (Contributed by Alan Sare, 8-Feb-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hbimpg	⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))

Proof of Theorem hbimpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hba1 2326	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
2		hba1 2326	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ∀𝑥∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
3	1, 2	hban 2333	. 2 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)))
4		hbntal 45644	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥(¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
6	5	19.21bi 2225	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → (¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
7		pm2.21 124	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝜑 → (𝜑 → 𝜓))
8	7	alimi 1843	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))
9	6, 8	syl6 36	. . 3 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → (¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))
10		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
11	10	19.21bi 2225	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → (𝜓 → ∀𝑥𝜓))
12		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (𝜓 → (𝜑 → 𝜓))
13	12	alimi 1843	. . . 4 ⊢ (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))
14	11, 13	syl6 36	. . 3 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → (𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))
15	9, 14	jad 189	. 2 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))
16	3, 15	alrimih 1856	1 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401  ∀wal 1567

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-10 2177  ax-12 2212

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1572  df-ex 1812  df-nf 1816

This theorem is used by: (None)