Theorem hbimpg 44998

Description: A closed form of hbim 2310. Derived from hbimpgVD 45347. (Contributed by Alan Sare, 8-Feb-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hbimpg	⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))

Proof of Theorem hbimpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hba1 2304	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
2		hba1 2304	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ∀𝑥∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
3	1, 2	hban 2311	. 2 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)))
4		hbntal 44997	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥(¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
5	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
6	5	19.21bi 2201	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → (¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
7		pm2.21 123	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝜑 → (𝜑 → 𝜓))
8	7	alimi 1818	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))
9	6, 8	syl6 35	. . 3 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → (¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))
10		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
11	10	19.21bi 2201	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → (𝜓 → ∀𝑥𝜓))
12		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (𝜓 → (𝜑 → 𝜓))
13	12	alimi 1818	. . . 4 ⊢ (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))
14	11, 13	syl6 35	. . 3 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → (𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))
15	9, 14	jad 188	. 2 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))
16	3, 15	alrimih 1831	1 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396  ∀wal 1545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-10 2152  ax-12 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-tru 1550  df-ex 1787  df-nf 1791

This theorem is referenced by: (None)