HomeHome Metamath Proof Explorer
Theorem List (p. 434 of 470)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  MPE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Color key:    Metamath Proof Explorer  Metamath Proof Explorer
(1-29646)
  Hilbert Space Explorer  Hilbert Space Explorer
(29647-31169)
  Users' Mathboxes  Users' Mathboxes
(31170-46966)
 

Theorem List for Metamath Proof Explorer - 43301-43400   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
Theoremxadd0ge2 43301 A number is less than or equal to itself plus a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต +๐‘’ ๐ด))
 
Theoremnepnfltpnf 43302 An extended real that is not +โˆž is less than +โˆž. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  +โˆž)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < +โˆž)
 
Theoremltadd12dd 43303 Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท))
 
Theoremnemnftgtmnft 43304 An extended real that is not minus infinity, is larger than minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โ‰  -โˆž) โ†’ -โˆž < ๐ด)
 
Theoremxrgtso 43305 'Greater than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
โ—ก < Or โ„*
 
Theoremrpex 43306 The positive reals form a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
โ„+ โˆˆ V
 
Theoremxrge0ge0 43307 A nonnegative extended real is nonnegative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
(๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
 
Theoremxrssre 43308 A subset of extended reals that does not contain +โˆž and -โˆž is a subset of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ +โˆž โˆˆ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ -โˆž โˆˆ ๐ด)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
 
Theoremssuzfz 43309 A finite subset of the upper integers is a subset of a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† ๐‘)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† (๐‘€...sup(๐ด, โ„, < )))
 
Theoremabsfun 43310 The absolute value is a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Fun abs
 
Theoreminfrpge 43311* The infimum of a nonempty, bounded subset of extended reals can be approximated from above by an element of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ง โ‰ค (inf(๐ด, โ„*, < ) +๐‘’ ๐ต))
 
Theoremxrlexaddrp 43312* If an extended real number ๐ด can be approximated from above, adding positive reals to ๐ต, then ๐ด is less than or equal to ๐ต. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต +๐‘’ ๐‘ฅ))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
 
Theoremsupsubc 43313* The supremum function distributes over subtraction in a sense similar to that in supaddc 12056. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ๐ถ = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (๐‘ฃ โˆ’ ๐ต)}    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (sup(๐ด, โ„, < ) โˆ’ ๐ต) = sup(๐ถ, โ„, < ))
 
Theoremxralrple2 43314* Show that ๐ด is less than ๐ต by showing that there is no positive bound on the difference. A variant on xralrple 13053. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค ((1 + ๐‘ฅ) ยท ๐ต)))
 
Theoremnnuzdisj 43315 The first ๐‘ elements of the set of nonnegative integers are distinct from any later members. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
((1...๐‘) โˆฉ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) = โˆ…
 
Theoremltdivgt1 43316 Divsion by a number greater than 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐ต โ†” (๐ด / ๐ต) < ๐ด))
 
Theoremxrltned 43317 'Less than' implies not equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
 
Theoremnnsplit 43318 Express the set of positive integers as the disjoint (see nnuzdisj 43315) union of the first ๐‘ values and the rest. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
(๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ โ„• = ((1...๐‘) โˆช (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))))
 
Theoremdivdiv3d 43319 Division into a fraction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) / ๐ถ) = (๐ด / (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremabslt2sqd 43320 Comparison of the square of two numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < (absโ€˜๐ต))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) < (๐ตโ†‘2))
 
Theoremqenom 43321 The set of rational numbers is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
โ„š โ‰ˆ ฯ‰
 
Theoremqct 43322 The set of rational numbers is countable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
โ„š โ‰ผ ฯ‰
 
Theoremxrltnled 43323 'Less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” ยฌ ๐ต โ‰ค ๐ด))
 
Theoremlenlteq 43324 'less than or equal to' but not 'less than' implies 'equal' . (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ด < ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)
 
Theoremxrred 43325 An extended real that is neither minus infinity, nor plus infinity, is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  -โˆž)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  +โˆž)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
 
Theoremrr2sscn2 43326 The cartesian square of โ„ is a subset of the cartesian square of โ„‚. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
(โ„ ร— โ„) โŠ† (โ„‚ ร— โ„‚)
 
Theoreminfxr 43327* The infimum of a set of extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘    &   โ„ฒ๐‘ฆ๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ยฌ ๐‘ฅ < ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต < ๐‘ฅ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ < ๐‘ฅ))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ inf(๐ด, โ„*, < ) = ๐ต)
 
Theoreminfxrunb2 43328* The infimum of an unbounded-below set of extended reals is minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
(๐ด โŠ† โ„* โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ < ๐‘ฅ โ†” inf(๐ด, โ„*, < ) = -โˆž))
 
Theoreminfxrbnd2 43329* The infimum of a bounded-below set of extended reals is greater than minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
(๐ด โŠ† โ„* โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ โ†” -โˆž < inf(๐ด, โ„*, < )))
 
Theoreminfleinflem1 43330 Lemma for infleinf 43332, case ๐ต โ‰  โˆ… โˆง -โˆž < inf(๐ต, โ„*, < ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค (inf(๐ต, โ„*, < ) +๐‘’ (๐‘Š / 2)))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘‹ +๐‘’ (๐‘Š / 2)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ inf(๐ด, โ„*, < ) โ‰ค (inf(๐ต, โ„*, < ) +๐‘’ ๐‘Š))
 
Theoreminfleinflem2 43331 Lemma for infleinf 43332, when inf(๐ต, โ„*, < ) = -โˆž. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ < (๐‘… โˆ’ 2))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘‹ +๐‘’ 1))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < ๐‘…)
 
Theoreminfleinf 43332* If any element of ๐ต can be approximated from above by members of ๐ด, then the infimum of ๐ด is less than or equal to the infimum of ๐ต. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† โ„*)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ง โ‰ค (๐‘ฅ +๐‘’ ๐‘ฆ))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ inf(๐ด, โ„*, < ) โ‰ค inf(๐ต, โ„*, < ))
 
Theoremxralrple4 43333* Show that ๐ด is less than ๐ต by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐‘ฅโ†‘๐‘))))
 
Theoremxralrple3 43334* Show that ๐ด is less than ๐ต by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))))
 
Theoremeluzelzd 43335 A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
 
Theoremsuplesup2 43336* If any element of ๐ด is less than or equal to an element in ๐ต, then the supremum of ๐ด is less than or equal to the supremum of ๐ต. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† โ„*)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ sup(๐ด, โ„*, < ) โ‰ค sup(๐ต, โ„*, < ))
 
Theoremrecnnltrp 43337 ๐‘ is a natural number large enough that its reciprocal is smaller than the given positive ๐ธ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
๐‘ = ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ธ)) + 1)    โ‡’   (๐ธ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (1 / ๐‘) < ๐ธ))
 
Theoremnnn0 43338 The set of positive integers is nonempty. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
โ„• โ‰  โˆ…
 
Theoremfzct 43339 A finite set of sequential integer is countable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
(๐‘...๐‘€) โ‰ผ ฯ‰
 
Theoremrpgtrecnn 43340* Any positive real number is greater than the reciprocal of a positive integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
(๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (1 / ๐‘›) < ๐ด)
 
Theoremfzossuz 43341 A half-open integer interval is a subset of an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
(๐‘€..^๐‘) โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
 
Theoreminfxrrefi 43342 The real and extended real infima match when the set is finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ inf(๐ด, โ„*, < ) = inf(๐ด, โ„, < ))
 
Theoremxrralrecnnle 43343* Show that ๐ด is less than ๐ต by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
โ„ฒ๐‘›๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ๐ด โ‰ค (๐ต + (1 / ๐‘›))))
 
Theoremfzoct 43344 A finite set of sequential integer is countable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
(๐‘..^๐‘€) โ‰ผ ฯ‰
 
Theoremfrexr 43345 A function taking real values, is a function taking extended real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโŸถโ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโŸถโ„*)
 
Theoremnnrecrp 43346 The reciprocal of a positive natural number is a positive real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
(๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ๐‘) โˆˆ โ„+)
 
Theoremreclt0d 43347 The reciprocal of a negative number is negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ด) < 0)
 
Theoremlt0neg1dd 43348 If a number is negative, its negative is positive. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 0 < -๐ด)
 
Theoremmnfled 43349 Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ -โˆž โ‰ค ๐ด)
 
Theoreminfxrcld 43350 The infimum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„*)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ inf(๐ด, โ„*, < ) โˆˆ โ„*)
 
Theoremxrralrecnnge 43351* Show that ๐ด is less than ๐ต by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
โ„ฒ๐‘›๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐ด โˆ’ (1 / ๐‘›)) โ‰ค ๐ต))
 
Theoremreclt0 43352 The reciprocal of a negative number is negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด < 0 โ†” (1 / ๐ด) < 0))
 
Theoremltmulneg 43353 Multiplying by a negative number, swaps the order. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ < 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ)))
 
Theoremallbutfi 43354* For all but finitely many. Some authors say "cofinitely many". Some authors say "ultimately". Compare with eliuniin 43042 and eliuniin2 43063 (here, the precondition can be dropped; see eliuniincex 43052). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   ๐ด = โˆช ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆฉ ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)๐ต    โ‡’   (๐‘‹ โˆˆ ๐ด โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
 
Theoremltdiv23neg 43355 Swap denominator with other side of 'less than', when both are negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต < 0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ < 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))
 
Theoremxreqnltd 43356 A consequence of trichotomy. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ด < ๐ต)
 
Theoremmnfnre2 43357 Minus infinity is not a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
ยฌ -โˆž โˆˆ โ„
 
Theoremzssxr 43358 The integers are a subset of the extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
โ„ค โŠ† โ„*
 
Theoremfisupclrnmpt 43359* A nonempty finite indexed set contains its supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘… Or ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  โˆ…)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ด)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ sup(ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ), ๐ด, ๐‘…) โˆˆ ๐ด)
 
Theoremsupxrunb3 43360* The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
(๐ด โŠ† โ„* โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ โ†” sup(๐ด, โ„*, < ) = +โˆž))
 
Theoremelfzod 43361 Membership in a half-open integer interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ < ๐‘)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (๐‘€..^๐‘))
 
Theoremfimaxre4 43362* A nonempty finite set of real numbers is bounded (image set version). (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค ๐‘ฆ)
 
Theoremren0 43363 The set of reals is nonempty. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
โ„ โ‰  โˆ…
 
Theoremeluzelz2 43364 A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    โ‡’   (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
 
Theoremresabs2d 43365 Absorption law for restriction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โ†พ ๐ต) โ†พ ๐ถ) = (๐ด โ†พ ๐ต))
 
Theoremuzid2 43366 Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
(๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
 
Theoremsupxrleubrnmpt 43367* The supremum of a nonempty bounded indexed set of extended reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„*)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (sup(ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต), โ„*, < ) โ‰ค ๐ถ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค ๐ถ))
 
Theoremuzssre2 43368 An upper set of integers is a subset of the Reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    โ‡’   ๐‘ โŠ† โ„
 
Theoremuzssd 43369 Subset relationship for two sets of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
 
Theoremeluzd 43370 Membership in an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
 
Theoreminfxrlbrnmpt2 43371* A member of a nonempty indexed set of reals is greater than or equal to the set's lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„*)    &   (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ ๐ต = ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ inf(ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต), โ„*, < ) โ‰ค ๐ท)
 
Theoremxrre4 43372 An extended real is real iff it is not an infinty. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
(๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (๐ด โ‰  -โˆž โˆง ๐ด โ‰  +โˆž)))
 
Theoremuz0 43373 The upper integers function applied to a non-integer, is the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
(ยฌ ๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) = โˆ…)
 
Theoremeluzelz2d 43374 A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
 
Theoreminfleinf2 43375* If any element in ๐ต is greater than or equal to an element in ๐ด, then the infimum of ๐ด is less than or equal to the infimum of ๐ต. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘    &   โ„ฒ๐‘ฆ๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† โ„*)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ inf(๐ด, โ„*, < ) โ‰ค inf(๐ต, โ„*, < ))
 
Theoremunb2ltle 43376* "Unbounded below" expressed with < and with โ‰ค. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
(๐ด โŠ† โ„* โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ < ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ))
 
Theoremuzidd2 43377 Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘)
 
Theoremuzssd2 43378 Subset relationship for two sets of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โŠ† ๐‘)
 
Theoremrexabslelem 43379* An indexed set of absolute values of real numbers is bounded if and only if the original values are bounded above and below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (absโ€˜๐ต) โ‰ค ๐‘ฆ โ†” (โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค ๐‘ค โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ง โ‰ค ๐ต)))
 
Theoremrexabsle 43380* An indexed set of absolute values of real numbers is bounded if and only if the original values are bounded above and below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (absโ€˜๐ต) โ‰ค ๐‘ฆ โ†” (โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค ๐‘ค โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ง โ‰ค ๐ต)))
 
Theoremallbutfiinf 43381* Given a "for all but finitely many" condition, the condition holds from ๐‘ on. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   ๐ด = โˆช ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆฉ ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)๐ต    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ด)    &   ๐‘ = inf({๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆฃ โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)๐‘‹ โˆˆ ๐ต}, โ„, < )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)๐‘‹ โˆˆ ๐ต))
 
Theoremsupxrrernmpt 43382* The real and extended real indexed suprema match when the indexed real supremum exists. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค ๐‘ฆ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ sup(ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต), โ„*, < ) = sup(ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต), โ„, < ))
 
Theoremsuprleubrnmpt 43383* The supremum of a nonempty bounded indexed set of reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค ๐‘ฆ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (sup(ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต), โ„, < ) โ‰ค ๐ถ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค ๐ถ))
 
Theoreminfrnmptle 43384* An indexed infimum of extended reals is smaller than another indexed infimum of extended reals, when every indexed element is smaller than the corresponding one. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„*)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ inf(ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต), โ„*, < ) โ‰ค inf(ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ), โ„*, < ))
 
Theoreminfxrunb3 43385* The infimum of an unbounded-below set of extended reals is minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
(๐ด โŠ† โ„* โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ โ†” inf(๐ด, โ„*, < ) = -โˆž))
 
Theoremuzn0d 43386 The upper integers are all nonempty. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  โˆ…)
 
Theoremuzssd3 43387 Subset relationship for two sets of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    โ‡’   (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โŠ† ๐‘)
 
Theoremrexabsle2 43388* An indexed set of absolute values of real numbers is bounded if and only if the original values are bounded above and below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (absโ€˜๐ต) โ‰ค ๐‘ฆ โ†” (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค ๐‘ฆ โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐ต)))
 
Theoreminfxrunb3rnmpt 43389* The infimum of an unbounded-below set of extended reals is minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘    &   โ„ฒ๐‘ฆ๐œ‘    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค ๐‘ฆ โ†” inf(ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต), โ„*, < ) = -โˆž))
 
Theoremsupxrre3rnmpt 43390* The indexed supremum of a nonempty set of reals, is real if and only if it is bounded-above . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (sup(ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต), โ„*, < ) โˆˆ โ„ โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค ๐‘ฆ))
 
Theoremuzublem 43391* A set of reals, indexed by upper integers, is bound if and only if any upper part is bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
โ„ฒ๐‘—๐œ‘    &   โ„ฒ๐‘—๐‘‹    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)    &   ๐‘Š = sup(ran (๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐พ) โ†ฆ ๐ต), โ„, < )    &   ๐‘‹ = if(๐‘Š โ‰ค ๐‘Œ, ๐‘Œ, ๐‘Š)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐‘)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)๐ต โ‰ค ๐‘Œ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ ๐ต โ‰ค ๐‘ฅ)
 
Theoremuzub 43392* A set of reals, indexed by upper integers, is bound if and only if any upper part is bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
โ„ฒ๐‘—๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘˜)๐ต โ‰ค ๐‘ฅ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ ๐ต โ‰ค ๐‘ฅ))
 
Theoremssrexr 43393 A subset of the reals is a subset of the extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„*)
 
Theoremsupxrmnf2 43394 Removing minus infinity from a set does not affect its supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
(๐ด โŠ† โ„* โ†’ sup((๐ด โˆ– {-โˆž}), โ„*, < ) = sup(๐ด, โ„*, < ))
 
Theoremsupxrcli 43395 The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
๐ด โŠ† โ„*    โ‡’   sup(๐ด, โ„*, < ) โˆˆ โ„*
 
Theoremuzid3 43396 Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    โ‡’   (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
 
Theoreminfxrlesupxr 43397 The supremum of a nonempty set is greater than or equal to the infimum. The second condition is needed, see supxrltinfxr 43410. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ inf(๐ด, โ„*, < ) โ‰ค sup(๐ด, โ„*, < ))
 
Theoremxnegeqd 43398 Equality of two extended numbers with -๐‘’ in front of them. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ -๐‘’๐ด = -๐‘’๐ต)
 
Theoremxnegrecl 43399 The extended real negative of a real number is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
(๐ด โˆˆ โ„ โ†’ -๐‘’๐ด โˆˆ โ„)
 
Theoremxnegnegi 43400 Extended real version of negneg 11385. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
๐ด โˆˆ โ„*    โ‡’   -๐‘’-๐‘’๐ด = ๐ด
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14900 150 14901-15000 151 15001-15100 152 15101-15200 153 15201-15300 154 15301-15400 155 15401-15500 156 15501-15600 157 15601-15700 158 15701-15800 159 15801-15900 160 15901-16000 161 16001-16100 162 16101-16200 163 16201-16300 164 16301-16400 165 16401-16500 166 16501-16600 167 16601-16700 168 16701-16800 169 16801-16900 170 16901-17000 171 17001-17100 172 17101-17200 173 17201-17300 174 17301-17400 175 17401-17500 176 17501-17600 177 17601-17700 178 17701-17800 179 17801-17900 180 17901-18000 181 18001-18100 182 18101-18200 183 18201-18300 184 18301-18400 185 18401-18500 186 18501-18600 187 18601-18700 188 18701-18800 189 18801-18900 190 18901-19000 191 19001-19100 192 19101-19200 193 19201-19300 194 19301-19400 195 19401-19500 196 19501-19600 197 19601-19700 198 19701-19800 199 19801-19900 200 19901-20000 201 20001-20100 202 20101-20200 203 20201-20300 204 20301-20400 205 20401-20500 206 20501-20600 207 20601-20700 208 20701-20800 209 20801-20900 210 20901-21000 211 21001-21100 212 21101-21200 213 21201-21300 214 21301-21400 215 21401-21500 216 21501-21600 217 21601-21700 218 21701-21800 219 21801-21900 220 21901-22000 221 22001-22100 222 22101-22200 223 22201-22300 224 22301-22400 225 22401-22500 226 22501-22600 227 22601-22700 228 22701-22800 229 22801-22900 230 22901-23000 231 23001-23100 232 23101-23200 233 23201-23300 234 23301-23400 235 23401-23500 236 23501-23600 237 23601-23700 238 23701-23800 239 23801-23900 240 23901-24000 241 24001-24100 242 24101-24200 243 24201-24300 244 24301-24400 245 24401-24500 246 24501-24600 247 24601-24700 248 24701-24800 249 24801-24900 250 24901-25000 251 25001-25100 252 25101-25200 253 25201-25300 254 25301-25400 255 25401-25500 256 25501-25600 257 25601-25700 258 25701-25800 259 25801-25900 260 25901-26000 261 26001-26100 262 26101-26200 263 26201-26300 264 26301-26400 265 26401-26500 266 26501-26600 267 26601-26700 268 26701-26800 269 26801-26900 270 26901-27000 271 27001-27100 272 27101-27200 273 27201-27300 274 27301-27400 275 27401-27500 276 27501-27600 277 27601-27700 278 27701-27800 279 27801-27900 280 27901-28000 281 28001-28100 282 28101-28200 283 28201-28300 284 28301-28400 285 28401-28500 286 28501-28600 287 28601-28700 288 28701-28800 289 28801-28900 290 28901-29000 291 29001-29100 292 29101-29200 293 29201-29300 294 29301-29400 295 29401-29500 296 29501-29600 297 29601-29700 298 29701-29800 299 29801-29900 300 29901-30000 301 30001-30100 302 30101-30200 303 30201-30300 304 30301-30400 305 30401-30500 306 30501-30600 307 30601-30700 308 30701-30800 309 30801-30900 310 30901-31000 311 31001-31100 312 31101-31200 313 31201-31300 314 31301-31400 315 31401-31500 316 31501-31600 317 31601-31700 318 31701-31800 319 31801-31900 320 31901-32000 321 32001-32100 322 32101-32200 323 32201-32300 324 32301-32400 325 32401-32500 326 32501-32600 327 32601-32700 328 32701-32800 329 32801-32900 330 32901-33000 331 33001-33100 332 33101-33200 333 33201-33300 334 33301-33400 335 33401-33500 336 33501-33600 337 33601-33700 338 33701-33800 339 33801-33900 340 33901-34000 341 34001-34100 342 34101-34200 343 34201-34300 344 34301-34400 345 34401-34500 346 34501-34600 347 34601-34700 348 34701-34800 349 34801-34900 350 34901-35000 351 35001-35100 352 35101-35200 353 35201-35300 354 35301-35400 355 35401-35500 356 35501-35600 357 35601-35700 358 35701-35800 359 35801-35900 360 35901-36000 361 36001-36100 362 36101-36200 363 36201-36300 364 36301-36400 365 36401-36500 366 36501-36600 367 36601-36700 368 36701-36800 369 36801-36900 370 36901-37000 371 37001-37100 372 37101-37200 373 37201-37300 374 37301-37400 375 37401-37500 376 37501-37600 377 37601-37700 378 37701-37800 379 37801-37900 380 37901-38000 381 38001-38100 382 38101-38200 383 38201-38300 384 38301-38400 385 38401-38500 386 38501-38600 387 38601-38700 388 38701-38800 389 38801-38900 390 38901-39000 391 39001-39100 392 39101-39200 393 39201-39300 394 39301-39400 395 39401-39500 396 39501-39600 397 39601-39700 398 39701-39800 399 39801-39900 400 39901-40000 401 40001-40100 402 40101-40200 403 40201-40300 404 40301-40400 405 40401-40500 406 40501-40600 407 40601-40700 408 40701-40800 409 40801-40900 410 40901-41000 411 41001-41100 412 41101-41200 413 41201-41300 414 41301-41400 415 41401-41500 416 41501-41600 417 41601-41700 418 41701-41800 419 41801-41900 420 41901-42000 421 42001-42100 422 42101-42200 423 42201-42300 424 42301-42400 425 42401-42500 426 42501-42600 427 42601-42700 428 42701-42800 429 42801-42900 430 42901-43000 431 43001-43100 432 43101-43200 433 43201-43300 434 43301-43400 435 43401-43500 436 43501-43600 437 43601-43700 438 43701-43800 439 43801-43900 440 43901-44000 441 44001-44100 442 44101-44200 443 44201-44300 444 44301-44400 445 44401-44500 446 44501-44600 447 44601-44700 448 44701-44800 449 44801-44900 450 44901-45000 451 45001-45100 452 45101-45200 453 45201-45300 454 45301-45400 455 45401-45500 456 45501-45600 457 45601-45700 458 45701-45800 459 45801-45900 460 45901-46000 461 46001-46100 462 46101-46200 463 46201-46300 464 46301-46400 465 46401-46500 466 46501-46600 467 46601-46700 468 46701-46800 469 46801-46900 470 46901-46966
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >