Theorem hbimpgVD 46146

Description: Virtual deduction proof of hbimpg 45797. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. hbimpg 45797 is hbimpgVD 46146 without virtual deductions and was automatically derived from hbimpgVD 46146. (Contributed by Alan Sare, 8-Feb-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

1::	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   )
2:1:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   )
3::	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)), ¬ 𝜑   ▶   ¬ 𝜑   )
4:2:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥(¬ 𝜑 → ∀𝑥¬ 𝜑)   )
5:4:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (¬ 𝜑 → ∀𝑥¬ 𝜑)   )
6:3,5:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)), ¬ 𝜑   ▶   ∀𝑥¬ 𝜑   )
7::	⊢ (¬ 𝜑 → (𝜑 → 𝜓))
8:7:	⊢ (∀𝑥¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))
9:6,8:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)), ¬ 𝜑   ▶   ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)   )
10:9:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
11::	⊢ (𝜓 → (𝜑 → 𝜓))
12:11:	⊢ (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))
13:1:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
14:13:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
15:14,12:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
16:10,15:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
17::	⊢ ((𝜑 → 𝜓) ↔ (¬ 𝜑 ∨ 𝜓))
18:16,17:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
19::	⊢ (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥∀𝑥( 𝜑 → ∀𝑥𝜑))
20::	⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ∀𝑥∀𝑥( 𝜓 → ∀𝑥𝜓))
21:19,20:	⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)))
22:21,18:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
qed:22:	⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))

Assertion

Ref	Expression
hbimpgVD	⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))

Proof of Theorem hbimpgVD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hba1 2330	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
2		hba1 2330	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ∀𝑥∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
3	1, 2	hban 1906	. . 3 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)))
4		idn2 45856	. . . . . . . 8 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ,    ¬ 𝜑   ▶    ¬ 𝜑   )
5		idn1 45817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   )
6		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
7	5, 6	e1a 45870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   )
8		hbntal 45796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥(¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
9	7, 8	e1a 45870	. . . . . . . . 9 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥(¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑)   )
10		sp 2223	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥(¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑) → (¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
11	9, 10	e1a 45870	. . . . . . . 8 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑)   )
12		pm2.27 43	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝜑 → ((¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑) → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
13	4, 11, 12	e21 45972	. . . . . . 7 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ,    ¬ 𝜑   ▶   ∀𝑥 ¬ 𝜑   )
14		pm2.21 124	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝜑 → (𝜑 → 𝜓))
15	14	alimi 1844	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))
16	13, 15	e2 45874	. . . . . 6 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ,    ¬ 𝜑   ▶   ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)   )
17	16	in2 45848	. . . . 5 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
18		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
19	5, 18	e1a 45870	. . . . . . 7 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
20		sp 2223	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → ∀𝑥𝜓))
21	19, 20	e1a 45870	. . . . . 6 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
22		ax-1 6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜓 → (𝜑 → 𝜓))
23	22	alimi 1844	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))
24		imim1 84	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ((∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)) → (𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))))
25	21, 23, 24	e10 45937	. . . . 5 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
26		jao 975	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)) → ((𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)) → ((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))))
27	17, 25, 26	e11 45931	. . . 4 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
28		imor 867	. . . 4 ⊢ ((𝜑 → 𝜓) ↔ (¬ 𝜑 ∨ 𝜓))
29		imbi1 350	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 → 𝜓) ↔ (¬ 𝜑 ∨ 𝜓)) → (((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)) ↔ ((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))))
30	29	biimprcd 253	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)) → (((𝜑 → 𝜓) ↔ (¬ 𝜑 ∨ 𝜓)) → ((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))))
31	27, 28, 30	e10 45937	. . 3 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
32	3, 31	gen11nv 45860	. 2 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
33	32	in1 45814	1 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861  ∀wal 1568

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-10 2180  ax-12 2216

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ex 1813  df-nf 1817  df-vd1 45813  df-vd2 45821

This theorem is used by: (None)