Theorem hbimpgVD 45994

Description: Virtual deduction proof of hbimpg 45645. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. hbimpg 45645 is hbimpgVD 45994 without virtual deductions and was automatically derived from hbimpgVD 45994. (Contributed by Alan Sare, 8-Feb-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

1::	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   )
2:1:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   )
3::	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)), ¬ 𝜑   ▶   ¬ 𝜑   )
4:2:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥(¬ 𝜑 → ∀𝑥¬ 𝜑)   )
5:4:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (¬ 𝜑 → ∀𝑥¬ 𝜑)   )
6:3,5:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)), ¬ 𝜑   ▶   ∀𝑥¬ 𝜑   )
7::	⊢ (¬ 𝜑 → (𝜑 → 𝜓))
8:7:	⊢ (∀𝑥¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))
9:6,8:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)), ¬ 𝜑   ▶   ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)   )
10:9:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
11::	⊢ (𝜓 → (𝜑 → 𝜓))
12:11:	⊢ (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))
13:1:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
14:13:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
15:14,12:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
16:10,15:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
17::	⊢ ((𝜑 → 𝜓) ↔ (¬ 𝜑 ∨ 𝜓))
18:16,17:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
19::	⊢ (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥∀𝑥( 𝜑 → ∀𝑥𝜑))
20::	⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ∀𝑥∀𝑥( 𝜓 → ∀𝑥𝜓))
21:19,20:	⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)))
22:21,18:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
qed:22:	⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))

Assertion

Ref	Expression
hbimpgVD	⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))

Proof of Theorem hbimpgVD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hba1 2326	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
2		hba1 2326	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ∀𝑥∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
3	1, 2	hban 2333	. . 3 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)))
4		idn2 45704	. . . . . . . 8 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ,    ¬ 𝜑   ▶    ¬ 𝜑   )
5		idn1 45665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   )
6		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
7	5, 6	e1a 45718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   )
8		hbntal 45644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥(¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
9	7, 8	e1a 45718	. . . . . . . . 9 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥(¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑)   )
10		sp 2219	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥(¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑) → (¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
11	9, 10	e1a 45718	. . . . . . . 8 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑)   )
12		pm2.27 43	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝜑 → ((¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑) → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
13	4, 11, 12	e21 45820	. . . . . . 7 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ,    ¬ 𝜑   ▶   ∀𝑥 ¬ 𝜑   )
14		pm2.21 124	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝜑 → (𝜑 → 𝜓))
15	14	alimi 1843	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))
16	13, 15	e2 45722	. . . . . 6 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ,    ¬ 𝜑   ▶   ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)   )
17	16	in2 45696	. . . . 5 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
18		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
19	5, 18	e1a 45718	. . . . . . 7 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
20		sp 2219	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → ∀𝑥𝜓))
21	19, 20	e1a 45718	. . . . . 6 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
22		ax-1 6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜓 → (𝜑 → 𝜓))
23	22	alimi 1843	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))
24		imim1 84	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ((∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)) → (𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))))
25	21, 23, 24	e10 45785	. . . . 5 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
26		jao 975	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)) → ((𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)) → ((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))))
27	17, 25, 26	e11 45779	. . . 4 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
28		imor 867	. . . 4 ⊢ ((𝜑 → 𝜓) ↔ (¬ 𝜑 ∨ 𝜓))
29		imbi1 350	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 → 𝜓) ↔ (¬ 𝜑 ∨ 𝜓)) → (((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)) ↔ ((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))))
30	29	biimprcd 253	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)) → (((𝜑 → 𝜓) ↔ (¬ 𝜑 ∨ 𝜓)) → ((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))))
31	27, 28, 30	e10 45785	. . 3 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
32	3, 31	gen11nv 45708	. 2 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
33	32	in1 45662	1 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861  ∀wal 1567

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-10 2177  ax-12 2212

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1572  df-ex 1812  df-nf 1816  df-vd1 45661  df-vd2 45669

This theorem is used by: (None)