Theorem hbimpgVD 45348

Description: Virtual deduction proof of hbimpg 44999. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. hbimpg 44999 is hbimpgVD 45348 without virtual deductions and was automatically derived from hbimpgVD 45348. (Contributed by Alan Sare, 8-Feb-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

1::	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   )
2:1:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   )
3::	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)), ¬ 𝜑   ▶   ¬ 𝜑   )
4:2:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥(¬ 𝜑 → ∀𝑥¬ 𝜑)   )
5:4:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (¬ 𝜑 → ∀𝑥¬ 𝜑)   )
6:3,5:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)), ¬ 𝜑   ▶   ∀𝑥¬ 𝜑   )
7::	⊢ (¬ 𝜑 → (𝜑 → 𝜓))
8:7:	⊢ (∀𝑥¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))
9:6,8:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)), ¬ 𝜑   ▶   ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)   )
10:9:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
11::	⊢ (𝜓 → (𝜑 → 𝜓))
12:11:	⊢ (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))
13:1:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
14:13:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
15:14,12:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
16:10,15:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
17::	⊢ ((𝜑 → 𝜓) ↔ (¬ 𝜑 ∨ 𝜓))
18:16,17:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
19::	⊢ (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥∀𝑥( 𝜑 → ∀𝑥𝜑))
20::	⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ∀𝑥∀𝑥( 𝜓 → ∀𝑥𝜓))
21:19,20:	⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)))
22:21,18:	⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
qed:22:	⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))

Assertion

Ref	Expression
hbimpgVD	⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))

Proof of Theorem hbimpgVD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hba1 2300	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
2		hba1 2300	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ∀𝑥∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
3	1, 2	hban 2307	. . 3 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)))
4		idn2 45058	. . . . . . . 8 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ,    ¬ 𝜑   ▶    ¬ 𝜑   )
5		idn1 45019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   )
6		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
7	5, 6	e1a 45072	. . . . . . . . . 10 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   )
8		hbntal 44998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥(¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
9	7, 8	e1a 45072	. . . . . . . . 9 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥(¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑)   )
10		sp 2191	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥(¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑) → (¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
11	9, 10	e1a 45072	. . . . . . . 8 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑)   )
12		pm2.27 42	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝜑 → ((¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑) → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
13	4, 11, 12	e21 45174	. . . . . . 7 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ,    ¬ 𝜑   ▶   ∀𝑥 ¬ 𝜑   )
14		pm2.21 123	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝜑 → (𝜑 → 𝜓))
15	14	alimi 1813	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))
16	13, 15	e2 45076	. . . . . 6 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ,    ¬ 𝜑   ▶   ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)   )
17	16	in2 45050	. . . . 5 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
18		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
19	5, 18	e1a 45072	. . . . . . 7 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
20		sp 2191	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → ∀𝑥𝜓))
21	19, 20	e1a 45072	. . . . . 6 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
22		ax-1 6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜓 → (𝜑 → 𝜓))
23	22	alimi 1813	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))
24		imim1 83	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ((∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)) → (𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))))
25	21, 23, 24	e10 45139	. . . . 5 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
26		jao 963	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)) → ((𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)) → ((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))))
27	17, 25, 26	e11 45133	. . . 4 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
28		imor 854	. . . 4 ⊢ ((𝜑 → 𝜓) ↔ (¬ 𝜑 ∨ 𝜓))
29		imbi1 347	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 → 𝜓) ↔ (¬ 𝜑 ∨ 𝜓)) → (((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)) ↔ ((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))))
30	29	biimprcd 250	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝜑 ∨ 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)) → (((𝜑 → 𝜓) ↔ (¬ 𝜑 ∨ 𝜓)) → ((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))))
31	27, 28, 30	e10 45139	. . 3 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
32	3, 31	gen11nv 45062	. 2 ⊢ (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ∀𝑥((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))   )
33	32	in1 45016	1 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥((𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848  ∀wal 1540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-10 2147  ax-12 2185

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-tru 1545  df-ex 1782  df-nf 1786  df-vd1 45015  df-vd2 45023

This theorem is referenced by: (None)