Theorem kmlem7 10226

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 4 => 1. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
kmlem7	⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅)) → ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑣,𝑤,𝑧

Proof of Theorem kmlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kmlem6 10225	. 2 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅)) → ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃𝑣 ∈ 𝑧 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → ¬ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)))
2		ralinexa 3107	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → ¬ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)))
3	2	rexbii 3100	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑧 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → ¬ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑧 ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)))
4		rexnal 3106	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑧 ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) ↔ ¬ ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)))
5	3, 4	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑧 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → ¬ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) ↔ ¬ ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)))
6	5	ralbii 3099	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃𝑣 ∈ 𝑧 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → ¬ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)))
7		ralnex 3078	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)))
8	6, 7	bitri 275	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃𝑣 ∈ 𝑧 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → ¬ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)))
9	1, 8	sylib 218	1 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅)) → ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ∩ cin 3975  ∅c0 4352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-dif 3979  df-nul 4353

This theorem is referenced by:  kmlem13  10232