Theorem kmlem8 10198

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 1 <=> 4. (Contributed by NM, 4-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
kmlem8	⊢ ((¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 ∨ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))

Distinct variable group:   𝑦,𝑢,𝑤,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑦,𝑧,𝑤,𝑢)

Proof of Theorem kmlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralnex 3072	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 ¬ ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓)
2		df-rex 3071	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑧 ¬ 𝜓 ↔ ∃𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝜓))
3		rexnal 3100	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑧 ¬ 𝜓 ↔ ¬ ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓)
4	2, 3	bitr3i 277	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝜓) ↔ ¬ ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓)
5		exsimpl 1868	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝜓) → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧)
6		n0 4353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧)
7	5, 6	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝜓) → 𝑧 ≠ ∅)
8	4, 7	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → 𝑧 ≠ ∅)
9	8	ralimi 3083	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 ¬ ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → ∀𝑧 ∈ 𝑢 𝑧 ≠ ∅)
10	1, 9	sylbir 235	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → ∀𝑧 ∈ 𝑢 𝑧 ≠ ∅)
11		kmlem2 10192	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
12		biimt 360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ≠ ∅ → (∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
13	12	ralimi 3083	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 𝑧 ≠ ∅ → ∀𝑧 ∈ 𝑢 (∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
14		ralbi 3103	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 (∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) → (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 𝑧 ≠ ∅ → (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
16	15	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 𝑧 ≠ ∅ → ((¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)))))
17	16	exbidv 1921	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 𝑧 ≠ ∅ → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)))))
18	11, 17	bitr4id 290	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 𝑧 ≠ ∅ → (∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
19	10, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → (∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
20	19	pm5.74i 271	. 2 ⊢ ((¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) ↔ (¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
21		pm4.64 850	. 2 ⊢ ((¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 ∨ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
22	20, 21	bitri 275	1 ⊢ ((¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 ∨ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∃!weu 2568   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ∩ cin 3950  ∅c0 4333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-sn 4627  df-pr 4629  df-uni 4908

This theorem is referenced by:  dfackm  10207