Theorem kmlem8 10240

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 1 <=> 4. (Contributed by NM, 4-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
kmlem8	⊢ ((¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 ∨ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))

Distinct variable group:   𝑦,𝑢,𝑤,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑢)

Proof of Theorem kmlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralnex 3088	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 ¬ ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓)
2		df-rex 3087	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑧 ¬ 𝜓 ↔ ∃𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝜓))
3		rexnal 3114	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑧 ¬ 𝜓 ↔ ¬ ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓)
4	2, 3	bitr3i 280	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝜓) ↔ ¬ ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓)
5		exsimpl 1900	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝜓) → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧)
6		n0 4299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧)
7	5, 6	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝜓) → 𝑧 ≠ ∅)
8	4, 7	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → 𝑧 ≠ ∅)
9	8	ralimi 3099	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 ¬ ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → ∀𝑧 ∈ 𝑢 𝑧 ≠ ∅)
10	1, 9	sylbir 238	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → ∀𝑧 ∈ 𝑢 𝑧 ≠ ∅)
11		kmlem2 10234	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
12		biimt 363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ≠ ∅ → (∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
13	12	ralimi 3099	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 𝑧 ≠ ∅ → ∀𝑧 ∈ 𝑢 (∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
14		ralbi 3117	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 (∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) → (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
15	13, 14	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 𝑧 ≠ ∅ → (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
16	15	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 𝑧 ≠ ∅ → ((¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)))))
17	16	exbidv 1953	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 𝑧 ≠ ∅ → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)))))
18	11, 17	bitr4id 293	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 𝑧 ≠ ∅ → (∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
19	10, 18	syl 18	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → (∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
20	19	pm5.74i 274	. 2 ⊢ ((¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) ↔ (¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
21		pm4.64 863	. 2 ⊢ ((¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 ∨ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
22	20, 21	bitri 278	1 ⊢ ((¬ ∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑧 𝜓 ∨ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑢 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∃!weu 2593   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∩ cin 4089  ∅c0 4278

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-sn 4585  df-pr 4587  df-uni 4867

This theorem is used by:  dfackm  10249