Theorem kmlem13 10123

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 1 <=> 4. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
kmlem9.1	⊢ 𝐴 = {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ 𝑥 𝑢 = (𝑡 ∖ ∪ (𝑥 ∖ {𝑡}))}

Assertion

Ref	Expression
kmlem13	⊢ (∀𝑥((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅)) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ ∀𝑥(¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡   𝑦,𝐴,𝑧,𝑤,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑢,𝑡)

Proof of Theorem kmlem13

Dummy variables ℎ 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kmlem1 10111	. . 3 ⊢ (∀𝑥((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅)) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) → ∀𝑥(∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
2		raleq 3298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ℎ → (∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅) ↔ ∀𝑤 ∈ ℎ (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅)))
3	2	raleqbi1dv 3313	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ℎ → (∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅) ↔ ∀𝑧 ∈ ℎ ∀𝑤 ∈ ℎ (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅)))
4		raleq 3298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ℎ → (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℎ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
5	4	exbidv 1921	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ℎ → (∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑦∀𝑧 ∈ ℎ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
6	3, 5	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ℎ → ((∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℎ ∀𝑤 ∈ ℎ (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ ℎ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)))))
7	6	cbvalvw 2036	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) ↔ ∀ℎ(∀𝑧 ∈ ℎ ∀𝑤 ∈ ℎ (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ ℎ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
8		kmlem9.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ 𝑥 𝑢 = (𝑡 ∖ ∪ (𝑥 ∖ {𝑡}))}
9	8	kmlem10 10120	. . . . . 6 ⊢ (∀ℎ(∀𝑧 ∈ ℎ ∀𝑤 ∈ ℎ (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ ℎ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)))
10		ineq2 4180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑔 → (𝑧 ∩ 𝑦) = (𝑧 ∩ 𝑔))
11	10	eleq2d 2815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑔 → (𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑔)))
12	11	eubidv 2580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑔 → (∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑔)))
13	12	imbi2d 340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑔 → ((𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑔))))
14	13	ralbidv 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑔 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑔))))
15	14	cbvexvw 2037	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑔∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑔)))
16		kmlem3 10113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∖ ∪ (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑧 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → ¬ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)))
17		ralinexa 3084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → ¬ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)))
18	17	rexbii 3077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑧 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → ¬ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑧 ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)))
19		rexnal 3083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑧 ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) ↔ ¬ ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)))
20	16, 18, 19	3bitri 297	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∖ ∪ (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ ↔ ¬ ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)))
21	20	ralbii 3076	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ∖ ∪ (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)))
22		ralnex 3056	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)))
23	21, 22	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ∖ ∪ (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)))
24	8	kmlem12 10122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ∖ ∪ (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑔)) → ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ (𝑔 ∩ ∪ 𝐴)))))
25		vex 3454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑔 ∈ V
26	25	inex1 5275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 ∩ ∪ 𝐴) ∈ V
27		ineq2 4180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑔 ∩ ∪ 𝐴) → (𝑧 ∩ 𝑦) = (𝑧 ∩ (𝑔 ∩ ∪ 𝐴)))
28	27	eleq2d 2815	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑔 ∩ ∪ 𝐴) → (𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ (𝑔 ∩ ∪ 𝐴))))
29	28	eubidv 2580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑔 ∩ ∪ 𝐴) → (∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ (𝑔 ∩ ∪ 𝐴))))
30	29	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑔 ∩ ∪ 𝐴) → ((𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ (𝑔 ∩ ∪ 𝐴)))))
31	30	ralbidv 3157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑔 ∩ ∪ 𝐴) → (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ (𝑔 ∩ ∪ 𝐴)))))
32	26, 31	spcev 3575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ (𝑔 ∩ ∪ 𝐴))) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)))
33	24, 32	syl6 35	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ∖ ∪ (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑔)) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
34	33	exlimdv 1933	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ∖ ∪ (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ → (∃𝑔∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑔)) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
35	34	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑔∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑔)) → (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ∖ ∪ (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
36	23, 35	biimtrrid 243	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑔∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑔)) → (¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
37	15, 36	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) → (¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
38	9, 37	syl 17	. . . . 5 ⊢ (∀ℎ(∀𝑧 ∈ ℎ ∀𝑤 ∈ ℎ (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ ℎ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) → (¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
39	38	alrimiv 1927	. . . 4 ⊢ (∀ℎ(∀𝑧 ∈ ℎ ∀𝑤 ∈ ℎ (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ ℎ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) → ∀𝑥(¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
40	7, 39	sylbi 217	. . 3 ⊢ (∀𝑥(∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) → ∀𝑥(¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
41	1, 40	syl 17	. 2 ⊢ (∀𝑥((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅)) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) → ∀𝑥(¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
42		kmlem7 10117	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅)) → ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)))
43	42	imim1i 63	. . . 4 ⊢ ((¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) → ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅)) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
44		biimt 360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ≠ ∅ → (∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
45	44	ralimi 3067	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≠ ∅ → ∀𝑧 ∈ 𝑥 (∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
46		ralbi 3086	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 (∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) → (∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
47	45, 46	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≠ ∅ → (∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
48	47	exbidv 1921	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≠ ∅ → (∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
49	48	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅)) → (∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦) ↔ ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
50	49	pm5.74i 271	. . . 4 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅)) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅)) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))
51	43, 50	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) → ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅)) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)))
52	51	alimi 1811	. 2 ⊢ (∀𝑥(¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))) → ∀𝑥((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅)) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)))
53	41, 52	impbii 209	1 ⊢ (∀𝑥((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 → (𝑧 ∩ 𝑤) = ∅)) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦)) ↔ ∀𝑥(¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) → ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∃!weu 2562  {cab 2708   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ∖ cdif 3914   ∩ cin 3916  ∅c0 4299  {csn 4592  ∪ cuni 4874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-pw 4568  df-sn 4593  df-uni 4875  df-iun 4960

This theorem is referenced by:  dfackm  10127