Theorem moantr 38387

Description: Sufficient condition for transitivity of conjunctions inside existential quantifiers. (Contributed by Peter Mazsa, 2-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
moantr	⊢ (∃*𝑥𝜓 → ((∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜒)))

Proof of Theorem moantr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exancom 1861	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑))
2	1	anbi1i 624	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ (∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)))
3	2	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ ((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))) ↔ (∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))))
4		3anass 1094	. . . . 5 ⊢ ((∃*𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ (∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))))
5	3, 4	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ ((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))) ↔ (∃*𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)))
6		mopick2 2637	. . . 4 ⊢ ((∃*𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)) → ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒))
7	5, 6	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))) → ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒))
8		3anass 1094	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒) ↔ (𝜓 ∧ (𝜑 ∧ 𝜒)))
9	8	exbii 1848	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒) ↔ ∃𝑥(𝜓 ∧ (𝜑 ∧ 𝜒)))
10		exsimpr 1869	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝜓 ∧ (𝜑 ∧ 𝜒)) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜒))
11	9, 10	sylbi 217	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜒))
12	7, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜒))
13		impexp 450	. 2 ⊢ (((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜒)) ↔ (∃*𝑥𝜓 → ((∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜒))))
14	12, 13	mpbi 230	1 ⊢ (∃*𝑥𝜓 → ((∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜒)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∃wex 1779  ∃*wmo 2538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-ex 1780  df-nf 1784  df-mo 2540

This theorem is referenced by:  trcoss  38505