Theorem moantr 35776

Description: Sufficient condition for transitivity of conjunctions inside existential quantifiers. (Contributed by Peter Mazsa, 2-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
moantr	⊢ (∃*𝑥𝜓 → ((∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜒)))

Proof of Theorem moantr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exancom 1862	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑))
2	1	anbi1i 626	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ (∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)))
3	2	anbi2i 625	. . . . 5 ⊢ ((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))) ↔ (∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))))
4		3anass 1092	. . . . 5 ⊢ ((∃*𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ (∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))))
5	3, 4	bitr4i 281	. . . 4 ⊢ ((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))) ↔ (∃*𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)))
6		mopick2 2699	. . . 4 ⊢ ((∃*𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)) → ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒))
7	5, 6	sylbi 220	. . 3 ⊢ ((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))) → ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒))
8		3anass 1092	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒) ↔ (𝜓 ∧ (𝜑 ∧ 𝜒)))
9	8	exbii 1849	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒) ↔ ∃𝑥(𝜓 ∧ (𝜑 ∧ 𝜒)))
10		exsimpr 1870	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝜓 ∧ (𝜑 ∧ 𝜒)) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜒))
11	9, 10	sylbi 220	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜒))
12	7, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜒))
13		impexp 454	. 2 ⊢ (((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜒)) ↔ (∃*𝑥𝜓 → ((∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜒))))
14	12, 13	mpbi 233	1 ⊢ (∃*𝑥𝜓 → ((∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜒)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084  ∃wex 1781  ∃*wmo 2596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598

This theorem is referenced by:  trcoss  35882