Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  moantr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem moantr 35487
Description: Sufficient condition for transitivity of conjunctions inside existential quantifiers. (Contributed by Peter Mazsa, 2-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
moantr (∃*𝑥𝜓 → ((∃𝑥(𝜑𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒)) → ∃𝑥(𝜑𝜒)))

Proof of Theorem moantr
StepHypRef Expression
1 exancom 1854 . . . . . . 7 (∃𝑥(𝜑𝜓) ↔ ∃𝑥(𝜓𝜑))
21anbi1i 623 . . . . . 6 ((∃𝑥(𝜑𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒)) ↔ (∃𝑥(𝜓𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒)))
32anbi2i 622 . . . . 5 ((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒))) ↔ (∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜓𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒))))
4 3anass 1089 . . . . 5 ((∃*𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜓𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒)) ↔ (∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜓𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒))))
53, 4bitr4i 279 . . . 4 ((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒))) ↔ (∃*𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜓𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒)))
6 mopick2 2721 . . . 4 ((∃*𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜓𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒)) → ∃𝑥(𝜓𝜑𝜒))
75, 6sylbi 218 . . 3 ((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒))) → ∃𝑥(𝜓𝜑𝜒))
8 3anass 1089 . . . . 5 ((𝜓𝜑𝜒) ↔ (𝜓 ∧ (𝜑𝜒)))
98exbii 1841 . . . 4 (∃𝑥(𝜓𝜑𝜒) ↔ ∃𝑥(𝜓 ∧ (𝜑𝜒)))
10 exsimpr 1863 . . . 4 (∃𝑥(𝜓 ∧ (𝜑𝜒)) → ∃𝑥(𝜑𝜒))
119, 10sylbi 218 . . 3 (∃𝑥(𝜓𝜑𝜒) → ∃𝑥(𝜑𝜒))
127, 11syl 17 . 2 ((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒))) → ∃𝑥(𝜑𝜒))
13 impexp 451 . 2 (((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒))) → ∃𝑥(𝜑𝜒)) ↔ (∃*𝑥𝜓 → ((∃𝑥(𝜑𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒)) → ∃𝑥(𝜑𝜒))))
1412, 13mpbi 231 1 (∃*𝑥𝜓 → ((∃𝑥(𝜑𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒)) → ∃𝑥(𝜑𝜒)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081  wex 1773  ∃*wmo 2618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620
This theorem is referenced by:  trcoss  35592
  Copyright terms: Public domain W3C validator