Proof of Theorem moantr
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | exancom 1869 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑)) |
2 | 1 | anbi1i 627 |
. . . . . 6
⊢
((∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ (∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))) |
3 | 2 | anbi2i 626 |
. . . . 5
⊢
((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))) ↔ (∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)))) |
4 | | 3anass 1097 |
. . . . 5
⊢
((∃*𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ (∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)))) |
5 | 3, 4 | bitr4i 281 |
. . . 4
⊢
((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))) ↔ (∃*𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))) |
6 | | mopick2 2640 |
. . . 4
⊢
((∃*𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)) → ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)) |
7 | 5, 6 | sylbi 220 |
. . 3
⊢
((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))) → ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)) |
8 | | 3anass 1097 |
. . . . 5
⊢ ((𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒) ↔ (𝜓 ∧ (𝜑 ∧ 𝜒))) |
9 | 8 | exbii 1855 |
. . . 4
⊢
(∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒) ↔ ∃𝑥(𝜓 ∧ (𝜑 ∧ 𝜒))) |
10 | | exsimpr 1877 |
. . . 4
⊢
(∃𝑥(𝜓 ∧ (𝜑 ∧ 𝜒)) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜒)) |
11 | 9, 10 | sylbi 220 |
. . 3
⊢
(∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜒)) |
12 | 7, 11 | syl 17 |
. 2
⊢
((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜒)) |
13 | | impexp 454 |
. 2
⊢
(((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜒)) ↔ (∃*𝑥𝜓 → ((∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜒)))) |
14 | 12, 13 | mpbi 233 |
1
⊢
(∃*𝑥𝜓 → ((∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜒))) |