Theorem trcoss 38820

Description: Sufficient condition for the transitivity of cosets by 𝑅. (Contributed by Peter Mazsa, 26-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
trcoss	⊢ (∀𝑦∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑅,𝑥   𝑧,𝑅,𝑢   𝑦,𝑢,𝑥   𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑦)

Proof of Theorem trcoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		moantr 38620	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ((∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦) ∧ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑦 ∧ 𝑢𝑅𝑧)) → ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑧)))
2		brcoss 38769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦)))
3	2	el2v 3449	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦))
4		brcoss 38769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝑦 ≀ 𝑅𝑧 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑦 ∧ 𝑢𝑅𝑧)))
5	4	el2v 3449	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ≀ 𝑅𝑧 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑦 ∧ 𝑢𝑅𝑧))
6	3, 5	anbi12i 629	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) ↔ (∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦) ∧ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑦 ∧ 𝑢𝑅𝑧)))
7		brcoss 38769	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝑥 ≀ 𝑅𝑧 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑧)))
8	7	el2v 3449	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≀ 𝑅𝑧 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑧))
9	1, 6, 8	3imtr4g 296	. . . 4 ⊢ (∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))
10	9	alrimiv 1929	. . 3 ⊢ (∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))
11	10	alimi 1813	. 2 ⊢ (∀𝑦∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))
12	11	alrimiv 1929	1 ⊢ (∀𝑦∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1540  ∃wex 1781  ∃*wmo 2538  Vcvv 3442   class class class wbr 5100   ≀ ccoss 38431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-coss 38749

This theorem is referenced by:  disjim  39132