Theorem trcoss 38946

Description: Sufficient condition for the transitivity of cosets by 𝑅. (Contributed by Peter Mazsa, 26-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
trcoss	⊢ (∀𝑦∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑅,𝑥   𝑧,𝑅,𝑢   𝑦,𝑢,𝑥   𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑦)

Proof of Theorem trcoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		moantr 38746	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ((∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦) ∧ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑦 ∧ 𝑢𝑅𝑧)) → ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑧)))
2		brcoss 38895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦)))
3	2	el2v 3439	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦))
4		brcoss 38895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝑦 ≀ 𝑅𝑧 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑦 ∧ 𝑢𝑅𝑧)))
5	4	el2v 3439	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ≀ 𝑅𝑧 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑦 ∧ 𝑢𝑅𝑧))
6	3, 5	anbi12i 634	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) ↔ (∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦) ∧ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑦 ∧ 𝑢𝑅𝑧)))
7		brcoss 38895	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝑥 ≀ 𝑅𝑧 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑧)))
8	7	el2v 3439	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≀ 𝑅𝑧 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑧))
9	1, 6, 8	3imtr4g 297	. . . 4 ⊢ (∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))
10	9	alrimiv 1934	. . 3 ⊢ (∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))
11	10	alimi 1818	. 2 ⊢ (∀𝑦∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))
12	11	alrimiv 1934	1 ⊢ (∀𝑦∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396  ∀wal 1545  ∃wex 1786  ∃*wmo 2541  Vcvv 3432   class class class wbr 5079   ≀ ccoss 38557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-br 5080  df-opab 5142  df-coss 38875

This theorem is referenced by:  disjim  39258