Theorem trcoss 39320

Description: Sufficient condition for the transitivity of cosets by 𝑅. (Contributed by Peter Mazsa, 26-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
trcoss	⊢ (∀𝑦∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑅,𝑥   𝑧,𝑅,𝑢   𝑦,𝑢,𝑥   𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑦)

Proof of Theorem trcoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		moantr 39120	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ((∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦) ∧ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑦 ∧ 𝑢𝑅𝑧)) → ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑧)))
2		brcoss 39269	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦)))
3	2	el2v 3457	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦))
4		brcoss 39269	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝑦 ≀ 𝑅𝑧 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑦 ∧ 𝑢𝑅𝑧)))
5	4	el2v 3457	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ≀ 𝑅𝑧 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑦 ∧ 𝑢𝑅𝑧))
6	3, 5	anbi12i 640	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) ↔ (∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦) ∧ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑦 ∧ 𝑢𝑅𝑧)))
7		brcoss 39269	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝑥 ≀ 𝑅𝑧 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑧)))
8	7	el2v 3457	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≀ 𝑅𝑧 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑧))
9	1, 6, 8	3imtr4g 299	. . . 4 ⊢ (∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))
10	9	alrimiv 1960	. . 3 ⊢ (∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))
11	10	alimi 1844	. 2 ⊢ (∀𝑦∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))
12	11	alrimiv 1960	1 ⊢ (∀𝑦∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568  ∃wex 1812  ∃*wmo 2562  Vcvv 3450   class class class wbr 5103   ≀ ccoss 38931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-coss 39249

This theorem is used by:  disjim  39632