Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trcoss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trcoss 38387
Description: Sufficient condition for the transitivity of cosets by 𝑅. (Contributed by Peter Mazsa, 26-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
trcoss (∀𝑦∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑅,𝑥   𝑧,𝑅,𝑢   𝑦,𝑢,𝑥   𝑦,𝑧
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑦)

Proof of Theorem trcoss
StepHypRef Expression
1 moantr 38269 . . . . 5 (∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ((∃𝑢(𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑦) ∧ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑦𝑢𝑅𝑧)) → ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑧)))
2 brcoss 38336 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑦)))
32el2v 3490 . . . . . 6 (𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑦))
4 brcoss 38336 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝑦𝑅𝑧 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑦𝑢𝑅𝑧)))
54el2v 3490 . . . . . 6 (𝑦𝑅𝑧 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑦𝑢𝑅𝑧))
63, 5anbi12i 627 . . . . 5 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) ↔ (∃𝑢(𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑦) ∧ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑦𝑢𝑅𝑧)))
7 brcoss 38336 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝑥𝑅𝑧 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑧)))
87el2v 3490 . . . . 5 (𝑥𝑅𝑧 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑧))
91, 6, 83imtr4g 296 . . . 4 (∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
109alrimiv 1926 . . 3 (∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ∀𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
1110alimi 1809 . 2 (∀𝑦∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ∀𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
1211alrimiv 1926 1 (∀𝑦∃*𝑢 𝑢𝑅𝑦 → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1535  wex 1777  ∃*wmo 2535  Vcvv 3482   class class class wbr 5169  ccoss 38084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pr 5450
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-rab 3439  df-v 3484  df-dif 3973  df-un 3975  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5170  df-opab 5232  df-coss 38316
This theorem is referenced by:  disjim  38686
  Copyright terms: Public domain W3C validator