Theorem rexdifpr 4598

Description: Restricted existential quantification over a set with two elements removed. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Feb-2018.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 15-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rexdifpr	⊢ (∃𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ∧ 𝜑))

Proof of Theorem rexdifpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 469	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶) ∧ 𝜑)))
2		eldifpr 4597	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶))
3		3anass 1100	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)))
4	2, 3	bitri 276	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)))
5	4	anbi1i 630	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶}) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)) ∧ 𝜑))
6		df-3an 1094	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶) ∧ 𝜑))
7	6	anbi2i 629	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶) ∧ 𝜑)))
8	1, 5, 7	3bitr4i 304	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶}) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ∧ 𝜑)))
9	8	rexbii2 3083	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ∧ 𝜑))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3887  {cpr 4564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ne 2936  df-rex 3065  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-sn 4563  df-pr 4565

This theorem is referenced by:  usgr2pth0  29858