Theorem rexdifpr 4658

Description: Restricted existential quantification over a set with two elements removed. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Feb-2018.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 15-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rexdifpr	⊢ (∃𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ∧ 𝜑))

Proof of Theorem rexdifpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 468	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶) ∧ 𝜑)))
2		eldifpr 4657	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶))
3		3anass 1094	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)))
4	2, 3	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)))
5	4	anbi1i 624	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶}) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)) ∧ 𝜑))
6		df-3an 1088	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶) ∧ 𝜑))
7	6	anbi2i 623	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶) ∧ 𝜑)))
8	1, 5, 7	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶}) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ∧ 𝜑)))
9	8	rexbii2 3089	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ∧ 𝜑))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069   ∖ cdif 3947  {cpr 4627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2707

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ne 2940  df-rex 3070  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-sn 4626  df-pr 4628

This theorem is referenced by:  usgr2pth0  29786