Theorem eldifpr 4598

Description: Membership in a set with two elements removed. Similar to eldifsn 4725 and eldiftp 4627. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eldifpr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))

Proof of Theorem eldifpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprg 4587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝐶, 𝐷} ↔ (𝐴 = 𝐶 ∨ 𝐴 = 𝐷)))
2	1	notbid 317	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ {𝐶, 𝐷} ↔ ¬ (𝐴 = 𝐶 ∨ 𝐴 = 𝐷)))
3		neanior 3038	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ↔ ¬ (𝐴 = 𝐶 ∨ 𝐴 = 𝐷))
4	2, 3	bitr4di 288	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ {𝐶, 𝐷} ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷)))
5	4	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷)))
6		eldif 3901	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶, 𝐷}))
7		3anass 1093	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷)))
8	5, 6, 7	3bitr4i 302	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944   ∖ cdif 3888  {cpr 4568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2710

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-ex 1786  df-sb 2071  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-ne 2945  df-v 3432  df-dif 3894  df-un 3896  df-sn 4567  df-pr 4569

This theorem is referenced by:  rexdifpr  4599  logbcl  25898  logbid1  25899  logb1  25900  elogb  25901  logbchbase  25902  relogbval  25903  relogbcl  25904  relogbreexp  25906  relogbmul  25908  relogbexp  25911  nnlogbexp  25912  relogbcxp  25916  cxplogb  25917  relogbcxpb  25918  logbmpt  25919  logbfval  25921  logbgt0b  25924  2logb9irrALT  25929  sqrt2cxp2logb9e3  25930  neldifpr1  30860  neldifpr2  30861  eluz2cnn0n1  45804  rege1logbrege0  45856  relogbmulbexp  45859  relogbdivb  45860  nnpw2blen  45878