Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | rp-fakeanorass 41120 |
. . 3
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∨ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶)))) |
2 | 1 | albii 1822 |
. 2
⊢
(∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑥(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∨ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶)))) |
3 | | dfss2 3907 |
. 2
⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝐴)) |
4 | | dfcleq 2731 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)))) |
5 | | elun 4083 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∨ 𝑥 ∈ 𝐶)) |
6 | | elin 3903 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) |
7 | 6 | orbi1i 911 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∨ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∨ 𝑥 ∈ 𝐶)) |
8 | 5, 7 | bitri 274 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∨ 𝑥 ∈ 𝐶)) |
9 | | elin 3903 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶))) |
10 | | elun 4083 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶)) |
11 | 10 | anbi2i 623 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶))) |
12 | 9, 11 | bitri 274 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶))) |
13 | 8, 12 | bibi12i 340 |
. . . 4
⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶))) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∨ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶)))) |
14 | 13 | albii 1822 |
. . 3
⊢
(∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶))) ↔ ∀𝑥(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∨ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶)))) |
15 | 4, 14 | bitri 274 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)) ↔ ∀𝑥(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∨ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶)))) |
16 | 2, 3, 15 | 3bitr4i 303 |
1
⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶))) |